Wykład 13

Report
Metody analizy decyzji
Wykład 13 – wybór grupowy
Dyscypliny naukowe a wybór grupowy
2
•
Teoria gier kooperatywnych [cooperative game theory]
– Podział wartości gry pomiędzy graczy z możliwością zawierania koalicji
•
Negocjacje [bargaining]
– W ramach podejścia interaktywnego bądź aksjomatycznego (propozycja podziału wartości
pomiędzy strony negocjacji)
•
Teoria dobrobytu [welfare economics]
– co jest dobre dla grupy?
•
Teoria wyboru grupowego [social choice theory] / Teoria głosowania [voting
theory]
– jakie reguły wyboru grupowego prowadzą do pożądanych wyników
•
Zarządzanie
– jak wspierać proces wyboru grupowego/eksperckiego
Metody wyboru grupowego w życiu
• Głosowanie:
– większościowe z progiem (konklawe)
– większościowe z drugą turą (wybory prezydenckie
w Polsce)
– większościowe z jedną turą (wybory prezydenckie
w USA)
– większościowe w porównaniach parami
– większościowe z możliwością dokupienia głosów
(Mam talent – publiczność)
3
Jak podejmować decyzje grupowe?
4
• Głosowanie w porównaniach parami
• Tabela pokazuje korzyści z poszczególnych
wariantów
Polityka:
1/3 społeczeństwa
1/3 społeczeństwa
1/3 społeczeństwa
A
B
C
0
500
1000
1000
0
500
500
1000
0
• Niestety – cykl (paradoks) Condorcet:
– możliwa manipulacja (dowolny wynik/brak wyniku)
– możliwe nieskończone głosowanie
Jak podejmować decyzje grupowe?
5
• Zawodniczki konkurują w programie Taniec z gwizdami
• 3 sędziów buduje własny ranking zawodniczek
(nie można ex aequo)
• Następnie przydziela punkty od 4 do 1 (metoda Bordy)
Sędzia 1
Sędzia 2
Sędzia 3
A.M
I
I
III
N.U.
III
II
I
O.J.
II
IV
IV
I.W.
IV
III
II
6
Decyzje grupowe – zwyciężczyni
pierwszej edycji
Sędzia 1
Sędzia 2
Sędzia 3
A.M
I
I
III
N.U.
III
II
I
O.J.
II
IV
IV
I.W.
IV
III
II
Sędzia 1
Sędzia 2
Sędzia 3
Suma
A.M
4
4
2
10
N.U.
2
3
4
9
O.J.
3
1
1
5
I.W.
1
2
3
6
Gwiazdy tańczą na głodzie –
druga edycja
7
• Zachęcone miejscem na podium I.W., doszły jej 2 koleżanki: W.R. i G.W.
• Koleżanki są podobne – zajmują sąsiednie miejsca w rankingu u każdego
sędziego
•
•
•
•
Rozszerz poniższą tabelę
Dokonaj wyboru
Co ciekawego się stało?
Czemu?
Sędzia 1
Sędzia 2
Sędzia 3
Suma
A.M
4
4
2
10
N.U.
2
3
4
9
O.J.
3
1
1
5
I.W.
1
2
3
6
Wpływ nowych wariantów na wybór
8
A.M
N.U.
O.J.
I.W.
W.R.
G.W.
Sędzia 1
Sędzia 2
Sędzia 3
Suma
6
4
5
1
2
3
6
5
1
2
3
4
2
6
1
3
4
5
14
15
7
6
9
12
Głosowanie strategiczne
9
A.W.
A.M
C.L.
N.U.
E.M.
O.J.
L.L.
I.W.
B.S.
W.R.
N.R.
G.W.
Sędzia 1
Sędzia 2
Sędzia 3
Suma
6
4
5
1
6
553
1
2
2
6
1
3
14
151513
7
6
2
3
335
4
4
5
9 911
12
Głosowanie większościowe
(plurality rule)
• Wybieramy wariant, który uzyskał najwięcej głosów
(w jedynej turze)
• Wybory prezydenckie w USA, 2000 (Floryda):
– George W. Bush:
– Al Gore:
– Ralph Nader:
2 912 790 (48,847%)
2 912 253 (48,838%)
97 421 (1,634%)
• Wyborcy Nadera głosowaliby:
– w 25% na Busha
– w 38% na Gore’a
– w 37% w ogóle by nie głosowali
• Co niepokojącego się dzieje? Jaka własność jest naruszona?
10
Porównanie
• Większościowe: Bush
• Większościowe z drugą turą: Gore
– Paradoks braku uczestnictwa
• Metoda Bordy: Gore
49 + 40 + 40 + 11 > 98 + 20 > 20 + 22
• Metoda Condorcet (czy wygrywa parami): Gore
12
Podsumowanie dotychczasowych
obserwacji
• Naturalne metody dokonania wyboru
grupowego mają niepożądane własności:
– możliwość manipulacja wynikiem, brak koherencji
– money pump
– głosowanie strategiczne
• Czy istnieje dobra metoda wyboru?
• Co znaczy „dobra”?
Twierdzenie Arrowa o niemożliwości
13
• Dobra metoda głosowania:
– daje taki sam ranking dla dowolnych rankingów
cząstkowych
– zachowuje zasadę Pareto (jednomyślność preferencji
zachowana)
– ranking końcowy dwóch alternatyw nie zależy od
pozostałych alternatyw
• Dobra wiadomość i zła wiadomość (dla >2 wariantów):
– istnieje!
– jest to dyktatura!
Twierdzenia Gibbarda-Satterthwaite’a
• (b. zbliżone do twierdzenia Arrowa)
• Jeśli metoda wyboru wariantu na podstawie
rankingów cząstkowych:
– ma dawać każdemu wariantowi możliwość
wygrania
– ma być odporna na głosowanie strategiczne,
• to …
– … jest to dyktatura
14
zaspokojenie
potrzeby
15
Kiedy się udaje w głosowaniu parami,
czyli jak ustalić podatki
warianty
Czemu u nas nie działało?
zaspokojenie
potrzeby
16
A
B
C
warianty
Inna dobra sytuacja dla głosowania
parami
• Wyrazisty wariant – zawsze na 1. lub na
ostatnim miejscu w rankingu
– jeśli A+B > 50%, to wygrywa „Czacha dymi”
– jeśli A+B < 50%, to decyduje A+C:
• jeśli A+C > 50%, to „American Beauty”,
• jeśli A+C < 50%, to „Powrót do przyszłości”
Film:
A%
B%
C%
D%
American Beauty
2
3
1
2
Powrót do przyszłości
Czacha dymi
3
1
2
1
2
3
1
3
17
Wybór ekspercki
• Panel delficki
– prognozowanie i decydowanie
– rozwinięte w latach 1950-1960 przez RAND
– etapy (powtarzane cyklicznie):
• anonimowe opinie ekspertów
• podsumowania moderatora
18
Wybór ekspercki
• Wariant metody Data Envelopment Analysis
(DEA)
– Assurance Region Method
• Kejs:
– przeniesienie stolicy Japonii w 1992
– wybór spomiędzy 9 alternatyw
– konieczność uzyskania konsensusu przy wyborze
wielokryterialnym:
• odległość od Tokyo, ryzyko trzęsienia ziemi/wybuchu
wulkanu, dostęp do międzynarodowego lotniska, dostępność
gruntów, krajobraz, dostępność wody, …
19
Uproszczone dane
Wariant
Kryterium 1
Kryterium 2
Kryterium 3
Kryterium 4
Suma
A
5
10
3
5
23
B
7
10
3
10
30
C
8
7
10
5
30
D
4
8
3
10
25
E
9
4
4
2
19
F
10
5
10
3
28
G
4
7
7
8
26
Kryteria oceniane w skali 0-10 (lepszą są wyższe wartości)
Wartości ocen dane (jeden zestaw) – zmierzone obiektywnie
Eksperci różnią się oceną ważności kryterium!
20
Ważność kryteriów
Ekspert
Kryterium 1
Kryterium 2
Kryterium 3
Kryterium 4
Suma
I
1,67
3,33
1,67
3,33
10
II
2,11
3,16
1,58
3,16
10
III
2,5
1,88
1,88
3,75
10
IV
2
2
2
4
10
V
2,4
1,9
1,9
3,8
10
średnia
2,14
2,45
1,81
3,61
10
Uwzględnienie średnich wag nie bierze pod uwagę zróżnicowania ocen
21
Assurance region method
• Idea:
– każdy wariant może „dobrać” wagi kryteriów
najkorzystniej dla siebie,
– ale w zakresie wskazanym przez ekspertów
• Oznaczenia:
– ui – waga kryterium i (u1, u2, u3, u4)
– u2/u1 jest dla kolejnych ekspertów jest równe:
2; 1,5; ¾; 1; 0,79
– nakładamy ograniczenie
¾ ≤ u2/u1 ≤ 2
22
Względna ważności kryteriów
Kryteria
Dolne ograniczenie
Górne ograniczenie
u2/u1
0,75
2
u3/u1
0,74
1
u4/u1
1,5
2
u3/u2
0,5
1
u4/u2
1
2
u4/u3
2
2
23
Zadanie programowania liniowego
• Oznaczmy:
,
– ocena wariantu i według kryterium j

– waga kryterium j

– liczba kryteriów

– liczba wariantów
• Wówczas dla wariantu 1. rozwiązujemy zadanie:
– f. celu:
– zm. dec.:
– przy warunkach:
1 1,1 + 2 1,2 + ⋯ +  1, → 
1 , … , 
1 1,1 + 2 1,2 + ⋯ +  1, ≤ 1
…
1 ,1 + 2 ,2 + ⋯ +  , ≤ 1
 ≥ 0


zawiera się w dopuszczalnym przedziale
24
Rozwiązania ZPL
Wariant
Waga 1
Waga 2
Waga 3
Waga 4
Efektywność
Ranking
A
0,02
0,04
0,02
0,04
0,76
6
B
0,03
0,028
0,022
0,045
1
1
C
0,031
0,024
0,024
0,047
0,89
2
D
0,025
0,025
0,025
0,05
0,875
3
E
0,031
0,024
0,024
0,047
0,567
7
F
0,031
0,024
0,024
0,047
0,81
5
G
0,025
0,025
0,025
0,05
0,85
4
Uwaga – w powyższej tabeli wagi i miary efektywności są wynikiem różnych
zadań programowania liniowego!
Tutaj otrzymaliśmy ten sam wynik, co dla średnich wag.
Dla innych wartości ocen może wskazać kilka wariantów jako efektywnych
25
Zalety Assurance Region Method
• Dla wariantów
– dobór optymalnych dla siebie wag
• Dla ekspertów
– wagi względne kryteriów uwzględnione w analizie
– powiększają dopuszczalny obszar wag
• Dla wariantów nieoptymalnych
– wskazuje skalę braków
26
Problemy sprawiedliwego podziału
(fair division)
Problemy podziału ciastka (3 osoby)
1. Pierwszy sposób
–
–
–
–
2.
Adaś dzieli ciastko na 2 części
Bodziu wybiera część
Adaś i Bodziu dzielą swoje połowy na 3 części
Czesio wybiera jedną część od Adasia i jedną od
Bodzia
Drugi sposób (Banach, Knaster)
–
–
–
–
Adaś wycina część
Bodziu ma prawo (ale nie obiowiązek) zmniejszyć tą
część
Czesio ma prawo (nie obowiązek) zmniejszyć tą
część
Ten kto ostatnio zmniejszył musi wziąć
Jak podzielić spadek? Knaster
•
•
•
Ojciec zostawia w spadku 4 niepodzielne rzeczy dla swoich 3 synów do podziału po
równo
Obiekty A, B, C i D mają następującą wartość dla synów
Załóżmy, że wartość monetarna dla każdego syna i dla jakiegokolwiek podzbioru
obiektów to po prostu suma wartości poszczególnych obiektów
Obiekty \ Synowie
1
2
3
A
10000
4000
7000
B
2000
1000
4000
C
500
1500
2000
D
800
2000
1000
Procedura
Obiekty \ Synowie
1
2
3
A
10000
4000
7000
B
2000
1000
4000
C
500
1500
2000
D
800
2000
1000
Łącznie
13300
8500
14000
Sprawiedliwy udział
4425
2833.33
4666.67
Otrzymane obiekty
A
D
BiC
Wartość monet. obiektów
10000
2000
6000
Nadwyżka
+5575
-833.33
+1333.33
Końcowy podział
A - 3550
D + 2858.33
B,C + 691.67
Łączna nadwyżka = 6908.33
Spłacamy deficyt 2 syna zostaje 6075
Dzielimy na 3 = 2025
Uogólnienia
• Prcoedurę można uogólnić na nierówne udziały
– Np. 0.5 dla 1, 0.375 dla 2 oraz 0.125 dla 3
– Wówczas sprawiedliwe udziały to 0.5*13300, 0.375*8500 oraz
0.125*14000
– Następnie analiza jest kontynuowana podobnie
• Niestety procedura ma w sobie bodźce do fałszywego
podawania wartości oraz do wchodzenia w koalicje
– Np. załóżmy, że 1 zna wyceny 2 i 3
– Wówczas opłaca mu się wycenić A na 7001, B na 3999, C na
1999 oraz D na 1999.
– Wtedy jego sprawiedliwy udział to 4999, posiadanie A prowadzi
do nadwyżki tylko 2002.
– Zatem końcowy przydział to A – 1135 zamiast A – 3550
– Jeśli 1 nie zna wycen pozostałych, to fałszywe podanie wycen
jest niebezpieczne
– Jednak wówczas wejście w koalicję i wspólne fałszywe podanie
wycen jest mniej niebezpieczne
Obejście problemu – Dziel i zdobywaj
• Niech każdy z synów doda do garnuszka 10000
• Wówczas do podziału jest (A, B, C, D, 30000)
• I teraz zastosuj algorytm Banacha, Knastera do
podziału ciastka
• Kolejność dzielenia ustalamy w sposób losowy
– Od tego, ile wiemy o wycenach innych zależy nasza
korzyść bądź niekorzyść bycia pierwszym
Dziękuję!
32

similar documents