r - Fyzika

Report
Tuhé teleso
Dokonale tuhé teleso
je také teleso, ktorého ktorákoľvek dvojica bodov zachováva
počas pohybu telesa svoju vzájomnú vzdialenosť
Dokonale tuhé teleso nemení svoj tvar – je nedeformovateľné
l  1010 m
15
d  10 m
l
 10 5
d
vyhovuje predstava hm. b.
Všetky zákony pre sústavu hm. b.
budú platiť aj pre tuhé teleso.
Skladanie síl v tuhom telese
A
F
B
F
F
posunutie pôsobiska sily
v priamke sily
Účinok sily na teleso
sa nemení, keď vektor
sily posúvame po jej
vektorovej priamke

F1
A

F1

F

F

F2
B

F2

F1
Skladanie rôznorodých síl:
•
Posunieme vektory sily po vektorovým
priamkam do spoločného bodu
•
•
Určíme (graficky) výslednicu síl
Posunieme výslednicu síl po jej
vektorovej priamke do ľubovoľného
bodu telesa

 F

F1
A
B

F

F2

F2
F
Pohybové rovnice tuhého telesa
Plná analógia vzťahov pre SHB a TT:


 F   Fi 


i
*
a
alebo
a
je výslednica síl,
pôsobiacich na teleso
je zrýchlenie ťažiska
1. Veta impulzová
(translačný pohyb)
2. Veta impulzová
(rotačný pohyb)
Moment dvojice síl
dvojica síl – 2 rovnako veľké a opačne
orientované sily, ležiace mimo priamky sily
F1
A
r1
r
r2
B
F2
r2  r1  r
Odvodenie momentu dvojice síl:
M  M1  M 2
M  r1  F1  r2  F2
M1  r1  F1
M  r1  F1  F2   r  F2
M 2  r2  F2
0
M  r1  F1  r1  r  F2
M  r  F2
Polohový vektor ťažiska tuhého telesa (TT)
TT
SHB
z
mi
ri
*
r 
Δmi  0
 Δmi  dm
 
y
x
1
x   xdm
m
*
y* 
Trojrozmerné teleso
(Objemová hustota)
Dvojrozmerné teleso
(Plošná hustota)
Jednorozmerné teleso
(lineárna hustota)

r
 i mi
i
m
*
r 
i
i
*
r 
1
ydm

m

r
 dm
 dm  m
 dm
z* 
m
dm  ρdV
ρ
V
m
dm  σdS
σ
S
m
dm  λdl
λ
L

ri Δmi
i
i Δmi

1 
r *   r dm
m
1
zdm

m
* 1 
r   r ρdV
m
* 1 
r   r dS
m

1 
r *   r dl
m
Pohybové rovnice tuhého telesa
Plná analógia vzťahov pre SHB a TT:


 F   Fi 


i
*
a
alebo
a
je výslednica síl,
pôsobiacich na teleso
je zrýchlenie ťažiska
1. Veta impulzová
(translačný pohyb)
2. Veta impulzová
(rotačný pohyb)
Príklady na vetu o ťažisku
Príklady na vetu o ťažisku
Podmienky rovnovahy pre tuhé teleso
1. V.I.
2. V.I.


 dH
Fv   F 
dt


dL
M 
dt

Keď Fv  0

keď H  0

Keď M  0

Keď L  0

H  konst

L  konst
Rovnovážna poloha – platia podmienky rovnováhy
 Stabilná – pri vychýlení z RP vzniká
sila (resp. moment sily) navracajúca
teleso do RP
 Labilná
 Indiferentná
Ft1
FN1
r

d3
r
FN2
Fg
d2
d1
Ft2
O
Rovnováha rebríka

x : FN1  Ft 2  0
F  0 y: F F F
t1

M  0
N2
g
0
Vzhľadom k bodu O


M N 2  Mt2  0

 
l
l
M g = r × Fg = mg .sin (π - α ) = mg .sin α = mg .d1
2
2

 
M t1 = r × Ft1 = l.Ft1.sin α = Ft1 .l .sin α = Ft1 .d 2

 
M N 1 = r × FN 1 = l .FN 1cosα = FN 1d 3
l
 mg  sin  l  Ft1  sin   l  FN 1  cos   0
2
Ft1  μ1  FN 1
Ft 2  μ2  FN 2
Otáčanie tuhého telesa okolo pevnej osi

Pevná os je os, ktorá sa nepohybuje
otáčanie = rotácia
Element telesa dm má kinetickú energiu:
1
dE k   dm  v 2
2
Celé teleso má kinetickú energiu:
dm
r


v
Ek 
v r
 je pre všetky body telesa
rovnaká
 d Ek 
(m)
1
1
2 2
2


dm


r

dm

v
(m) 2
(m) 2
1 2 2
Ek    r dm
2 ( m)
SHB
J   rk2 mk
k
[kg.m2]
1
1
Ek   J  ω 2
2
3. Steinerova veta
oo
o
- vyjadruje vzťah medzi momentmi zotrvačnosti
vzhľadom na rovnobežné osi, z ktorých jedna
prechádza ťažiskom:
2
r
 dm 
J
r
dm
(m)
ro
J
T
Jo
a
r  ro  a
(m)
2
r
 o dm 
(m)
2
(
r

a
)
dm
 o
 2aro dm 
(m)
m
2a   ro dm
m (m)
xTo je súradnica ťažiska vzhľadom na os
prechádzajúcu ťažiskom
Steinerova veta
2
a
 dm
(m)
a2  m
 2 a m  xTo
xTo  0
J  Jo  m  a2
Momenty zotrvačnosti vzhľadom na rovnobežné osi, z ktorých jedna
prechádza ťažiskom sa líšia o m.a2, kde a je vzdialenosť týchto osí.
8
Vlastnosti momentu zotrvačnosti
1. Moment zotrvačnosti je aditívna funkcia
I1
I  I1  I 2  I 3    
I2
I3
2. Hlavné osi rotácie – osi, ktoré nemenia orientáciu v priestore pri rotacii
telesa
•
•
Pre ľubovoľné teleso sa dá nájsť 3 navzájom koľme osi, prechádzajúce
cez ťažisko, ktoré sú hlavnými osami
Pre symetrické teleso hlavne osi sú osi symetrie
z
obdĺžniková doska, alebo tyč:
L
J
L
T
x
y
plný valec, alebo doska tvaru kruhu:
7
J  m r2
obruč:
doska tvaru rovnoramenného
trojuholníka:
a
a
1
mL2
12
J 
1
ma 2
6
J
1 2
mr
2
Moment hybnosti tuhého telesa
Dokážeme, že len pre hlavné osi

Určíme L pre tyč, ktorá sa otáča okolo zvislej osi,
 
L 

L

z
prechádzajúcej ťažiskom pod uhlom ku tyči
 

 
dL  r  dm v   dm r  v 

 
  
 
dL  dm r    r   dm r  r   dm r r  

 Zložka v smere
2
dL  dm r   dm r    cos  r
tyče

 2  

L

ω
zložka po osi
 r  r r  ωdm
z

  t

L
L

dL
dm
Len pre
θ π


dL

r


L   dL
dm
2
(hlavná os a osi im rovnobežné)

v

L
  2
 
L  ω  r dm  L  ω  J


 ΔL dL d ω  J  
M
 
 ε J
Δt dt
dt


L  J 
 
L 
 
M ω

v
Analógia vzťahov pre postupný a otáčavý
pohyb

r

v
 a 
H  m  v
 dH
F
dt


F  ma
1
2
Ek  m  v
2
m







L  J 
 dL
M
dt


M  J 
1
2
Ek  J  
2
J
Precesia
Kardanov záves

 L
M
t
M
FN
Fg
Gyroskop je zariadenie na
meranie, alebo udržiavanie
rovnakej orientácie, resp.
rovnakého smeru.
Keď os nie je hlavná ( 

 /2)
Pre zložky vektorov na os otáčania platí
Nech
Δt
Za čas
pritom

ω  konst,
sa vektor
to znamená

L


Lz  J  ω

že veľkosť vektora L
pootočil o uhol

 
Mz  ε  J

z
ω  Δt ,
 
to znamená, že v každý okamih

 ΔL  
M
 ω L
Δt
 
 
M  ω, M  L

ω

sa nemení ( L  konst )
 

ΔL  ω,



L

L

sin



  t
 
2 
ΔL  L
  
Δ L  ω L  Δ t

L


 
L   ω r 2  r r  ω dm
ω  Δt

L

ΔL

čo privádza k rotácie vektora L
tak že jeho koniec pohybuje po
kružnice. Teleso koná precesný
pohyb.
Rotácia okolo ľubovolnej osi

 2  
L   ω r  r r  ω dm


   x ,  y ,  z 
 
 ω  y

 
r  r  x2  y2  z 2

r  x , y , z 
 
r  ω  xωx  yω y  zωz


Lx   ωx x 2  y 2  z 2  x xωx  yω y  zωz  dm
Lx
2
x
Podobne

 ω  x

 z 2 dm  ω y  xy dm  ωz  xz dm
Lx   x J xx   y J yx   z J xz

dm  ω  zx dm  ω  zy dm
L y   x J yx   y J yy   z J yz
L y  ω y  x 2  z 2 dm  ωx  yx dm  ωz  yz dm
Lz
2
z
 y2
x
y
Lz   x J zx   y J zy   z J zz
Označenie:


  x  z dm
  x  y dm
J xx   y 2  z 2 dm
J yy
J zz
2
2
2
2
J xy  J yx    xy dm
J yz  J zy    yz dm
J zx  J xz    zx dm
 Lx   J xx
  
 Ly    J yx
  
 Lz   J zx
J yx
J yy
J zy
J zx   ωx 
 
J yz   ωy 
 
J zz   ωz 
Tenzor momentu zotrvačnosti
Lx   x J xx   y J yx   z J xz
L y   x J yx   y J yy   z J yz
Lz   x J zx   y J zy   z J zz


L  J .
 J11 0 0 



J   0 J 22 0 


0
0
J
33 


 dL

M
 J ε
dt
 Lx   J xx
  
 Ly    J yx
  
 Lz   J zx

J
J yx
J yy
J zy
J zx    x 
 
J yz    y 
 
J zz    z 
je tenzor momentu
zotrvačnosti (mení
smer vektora)
Hlavné osi:


L  J 
 
L || ,
Pohybová rovnica rotujúceho telesa
Vplyv odstredivých síl

  0,0,  

r  x , y , z 

b ≡(x , y ,0)


2
dF = ω b dm


 
2
2 
dM = r × ω b dm = ω (r × b )dm


 
 
2
M    xi  yj  zk  xi  yj dm
 
i i  0

j j0
 
k k 0
 

i  j k
  
j k i
  
k i  j


 2
 2
M   i   yz dm  j   xz dm
  2
 2
M  i z J yz  j z J xz

z

 
j  i  k
  
j k  i
  
k i  j
M x   2 J yz

L

M y   2 J xz
Momenty Mx a My vyvíjajú rotáciu okolo osi kolmej na os z

r

b

v
dm
Mz  0
Valenie
Valenie ako kombinacia posuvného
a otáčavého pohybu
Valenie ako otáčavý pohyb
Ak sa pohybuje aj os otáčania, pohyb je zložený:
z posuvného (translačného) a otáčavého (rotačného) pohybu.
Potom kinetická energia je zložená z kinetických energií oboch pohybov:
Ek  Ekr  Ekp
Valenie
1
1
2
  I T     m  vT2
2
2
P
Kinetická energia


1
1
1
2
2
2
2
I T ω  mRω   I T  mR ω
2
2
2
v2
T
3
IP
1
 I Pω2
2
Príklad:
Z definície vypočítajte moment zotrvačnosti dutého
valca (r1,r2,h) vzhľadom na jeho geometrickú os.
J
Riešenie:
2
r
 dm
(m)
r2
r1
h
J
2
r
 dm 
(m)
2
2


r
r


dV
 drdsdh

(V )
Jρ
r
d
dh
(V )
2
r
 dr  r  dα  dh
( r ,α ,h )
ds dr

dm    dV
od osi otáčania
V   (r22  r12 )h
ds  r  d
dV  dr  ds  dh
r – vzdialenosť dm
r2
h
2π
r1
0
0
r2
 r  h 2π
  h0 α 0
 4 r
J  ρ  r 3 dr  dh  dα  ρ 
4
1
r
r 
r24  r14
J  ρ    h  2π    h  
2
4 4
4
2
m
V
m
r24  r14
J
hπ
2
2
π r2  r1  h
2


4
1

1
J   m  r12  r22
2

Príklad:
Z definície vypočítajte moment zotrvačnosti dutého
valca (r1,r2,h) vzhľadom na jeho geometrickú os.
J
Riešenie:
2
r
 dm
(m)
r2
dr
r1
r
r – vzdialenosť dm
od osi otáčania
dm    dV
V   (r22  r12 )h
dV = h2πrdr
J
2
r
 dm 
(m)
h
2
r
  dV  
(V )
2
r
∫ h2rdr
(V )
r2
J  2h ∫
r 3dr
r1

4
4
 r24 r14 
r

r
1
J  ρ    h  2π    h   2
2
4 4
m
V
m
r24  r14
J
hπ
2
2
π r2  r1  h
2



1
J   m  r12  r22
2


similar documents