exemplo

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DETERMINAÇÃO DE VELOCIDADE
EM MECANISMOS
POR POLÍGONO DE VETORES
Os métodos gráficos podem ser
usados para determinar velocidades
de todos os pontos do mecanismo
rapidamente com poucos cálculos
VELOCIDADE RELATIVA
DE PONTOS
EM UM ELO COMUM



V PQ  V P  V Q
Em uma análise de elos,
apenas uma das velocidades
absolutas
é
usualmente
conhecida.
A velocidade
desconhecida
pode
ser
determinada na seguinte
forma:



V P  V Q  V PQ
Na figura, se observações
são feitas em relação a Q,
então Q está em repouso.
Em relação a Q o elo gira
com
uma
velocidade
absoluta ω3 em torno de Q
como se Q fosse um centro
fixo.
A partícula P se movimenta
em uma trajetória circular em
relação a Q com um raio de
curvatura PQ. A magnitude
da velocidade relativa pode
ser determinada como:

VPQ  PQ  3
EXEMPLO: Para o
mecanismo mostrado
obtenha a velocidade do
ponto B, e as velocidades
angulares ω3 e ω4 .
Obtenha também as
velocidades angulares
relativas ω32 , ω43 e a
velocidade do ponto C.



V B  V A  V BA

VB  O 4 B

VA  O 2 A  2


 102  30
 3060

VA 

V BA

mm / s
O 2A
AB

VBA

VB
Medido do polígono:

V B  1800
mm / s

V BA  3180
mm / s
3 
VBA
BA
203
4 
VB
1800
O 4B


3180
 15 ,7 rad / s
anti
 horário

 23 ,6 rad / s ( anti  horário )
76 ,2
 32   3   2  15 ,7    30   45 ,7 rad / s ( anti  horário )
 43   4   3  23 ,6  15 ,7  7 ,9 rad / s ( anti  horário )



V C  V A  V CA



V C  V B  V CB

VC
desconheci

V CA

do
CA

V CA

V CB

CB

V CB
A imagem de velocidades
girou de 90º em relação à
imagem original no
mesmo sentido de ω3.
Medido do polígono:

V C  3050
mm / s

V CA  1600
mm / s

V CB  2390
mm / s
3 
3 
V BA
V CA

CA
BA
V CB
CB

V DA
DA
VELOCIDADE RELATIVA
DE PONTOS
COINCIDENTES
EM ELOS SEPARADOS
Na figura o ponto P3 pertence ao
pino 3 e o ponto Q2 pertence ao elo
2.
A velocidade relativa

VP Q
3
2
é tangente à trajetória relativa de
P3 ao elo 2.
EXEMPLO: Para o mecanismo mostrado obtenha as velocidades dos pontos A e B considerando
que ω2 = 10 rad/s.



VA  VA  VA
4

VA
2

4
4
A2
O4A 4

V A  O 2 A 2  2  2 ,5  10

2
 25

VA
4
A2

pol / s
//

O 2A 2
tan gente
ao came

VA
4

VA
4
 12 ,3 pol / s
A2
 26 ,3 pol / s



VB  VB  VB
5

VA
2
// linha
5
B2
de
centro
de

V B  O 2 B 2  2  2,8  10
2
 28

VB
5
4
5
B2


pol / s
//

O 2B 2
tan gente
ao
came

VB
5

VB
5
 14 ,7 pol / s
B2
 31,6 pol / s
VELOCIDADE RELATIVA DE PONTOS COINCIDENTES EM PONTOS DE CONTATO
DE ELEMENTOS ROLANTES
No ponto de contato existe rolamento puro,
sem deslizamento entre as superfícies.


VP  VP
3
2

VP P  0
3
2
EXEMPLO: Para o mecanismo mostrado

V A  122
m /s
Determine as velocidades angulares das engrenagens 4 e 5. Mostre as imagens de velocidade
das duas engrenagens. Determine também a velocidade do ponto D na engrenagem 5



V B  V A  V BA

V B //
cremalheir

V A  122

VA

V BA

a
m /s
O 2A


V B  104

V BA  116

VB
AB
m /s
m /s

VA

V BA



V C  V B  V CB

VC

V CB

O 6C

CB

V C  36 ,6 m / s

V CB  112

VB
m /s

VC

V CB
Para criar a imagem do
elo 4 deve-se considerar
que o centro do círculo é
o ponto B no polígono de
velocidades, e um ponto
do círculo deve passar
por zero (ponto P4 que
tem velocidade igual a
zero, correspondente ao
ponto Ov no polígono)
Para criar a imagem do
elo 5 deve-se considerar
que o centro do círculo é
o ponto C no polígono de
velocidades, e um ponto
do círculo deve coincidir
com algum ponto do
círculo da imagem do elo
4 (ponto M5 e M4 que têm
velocidades iguais)
Das imagens de
velocidade pode-se obter:

V BP
4

V CM

VM

 V B  104
 207
m /s
m /s
5
5

 VM
 206

V D  215
4 
V BP
m /s

4
m /s
4
BP
104
102
 1020
rad / s
horário 
 4060
rad / s
anti
1000
5 
V CM
CM
5

207
51
1000
 horário

CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE
Em um dado instante, um par de pontos coincidentes em dois elos em movimento terão
velocidades absolutas iguais, e portanto, velocidade relativa igual a zero
TEOREMA DE KENNEDY
Para três corpos independentes em movimento plano geral, os três centros instantâneos se
localizam na mesma linha reta.
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
1 2 3
12
23
13
1 3 4
14
34
13
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
2 3 4
34
23
24
1 2 4
14
12
24
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
123
12
23
13
134
14
34
13
Elos
Centro conhecido
Centro conhecido
Centro desconhecido
234
34
23
24
124
14
12
24
NÚMERO DE LOCALIZAÇÕES DE CENTROS INSTANTÂNEOS
Em um mecanismo consistindo de n elos, há n-1 centros instantâneos em relação a qualquer elo
dado. Para um número de n elos, há um total de n(n-1) centros instantâneos. Porém, desde que
para cada localização de centros instantâneos há dois centros, o número total de localizações é
dado por:
N
n ( n  1)
2
1 
2

12
2  1 
21
3  1 
31
1 
3

13
2 
23
3 
32
3

2

EXEMPLO: Para o mecanismo
mostrado determine as 15 localizações
de centros instantâneos
EXEMPLO: Para o mecanismo
mostrado determine a velocidade
absoluta VC quando o elo motor gira
com uma velocidade tal que VA = 30
pés/s, como mostrado
Elos 135
Elos 126
ACELERAÇÃO DE PARTÍCULAS EM UM ELO COMUM
2

V
n
2
A PQ  PQ  3  PQ
PQ
 

t
A PQ  PQ  3
 
EXEMPLO: Quando o mecanismo está na fase mostrada na figura, o elo 2 gira com a
velocidade angular ω2=30 rad/s e uma aceleração angular α2=240 rad/s². Determine as
acelerações dos pontos B e C e as acelerações angulares dos elos 3 e 4. Construa as imagens de
velocidade e de aceleração do elo 3.



V B  V A  V BA

VB

O 4B

VA  O 2 A  2


 102  30
 3060

VA

V BA

VB
mm / s
B
Ov

O 2A

AB

V BA

VA
A



V C  V A  V CA



V C  V B  V CB

VC
desconheci

V CA

do

VB
CA

VC
Ov

V CB

CB

VA

V CA
B

V CB

V BA
C
A
Medido do polígono:

V B  3660
mm / s

V BA  2300
mm / s

V CA  1130
mm / s

V CB  2300
mm / s

VB

VC

VA

V CA

V CB

V BA



A B  A A  A BA






n
t
n
t
n
t
A B  A B  A A  A A  A BA  A BA
2

VB
3660
n
AB 

203
O 4B
 66000
mm / s

t
AB 
O 4B

2
2

V
3060
n
A
AA 

102
O 2A
 91800
mm / s
2
2

BO

AO 2
4
2






n
t
n
t
n
t
A B  A B  A A  A A  A BA  A BA

t
A A  O 2 A  2  102 240


 24500 mm / s

2
2

V
2300
n
BA
A BA 

203
BA
 26100

t
A BA 
mm / s

O 2A
2
2
AB

BA
Medido do polígono:

A B  70400
mm / s
2

t
A B  24700
mm / s
2

t
A BA  129000
mm / s
2
As acelerações angulares podem ser calculadas como:
3 
4 

t
A BA
AB

t
AB
O 4B

129000
 635
rad / s
203

24700
 122
rad / s
2
203
 34   3   4  635    122   757
2
anti
 horário

horário 
rad / s
2
anti
 horário





n
t
A C  A A  A CA  A CA




n
t
A C  A B  A CB  A CB

A C  desconheci
2

V
1130
n
CA
A CA 

102
CA


t
A CA 
2
 12500
mm / s
2
 20100
mm / s
2
CA
2

V
1750
n
CB
A CB 

152
CB

da
2
CB

CA

t
A CB 

CB
Medido do polígono:

A C  104000
mm / s
2
ACELERAÇÃO RELATIVA DE PARTÍCULAS EM ELOS SEPARADOS.
COMPONENTE DE ACELERAÇÃO DE CORIOLIS

VA2



VA  VA  VA
4
2
4
A2

VA4

VA 4A2



 
 

 
A P  A O  A  2  V    R      R





A A  A A  A A A  2 2  VA A







t
n
t
n
t
 A A  A A  A A  A A A  A A A  2 2  VA


n
AA
4
4
4
2
2
4
2
2
4
4
2
4
2

2
4
A2





n
t
n
t
n
AA  AA  AA  AA  AA
4
4
2
2

n
AA
4
A2

t
 AA
2
4
A2

VA
4
R
A2
4
A2


 2 2  VA
4
A2

n
AA
2
4
A2

VA
4
A2
R
O raio de curvatura R
não é facilmente
determinado





n
t
n
t
n
AA  AA  AA  AA  AA
4
4
2
2





n
t
n
t
n
AA  AA  AA  AA  AA
2
Nesse caso a trajetória
relativa é retilínea:
2
4

n
AA
4
2
4
A2
A4

t
 AA

t
 AA
2
2
A4

VA
2
A4
R  
0
2
4
A2
A4


 2 2  VA


 2 4  VA
2
4
A2
A4
Quando o raio de curvatura R da trajetória relativa é conhecido:

n
AA
2
2
A4

VA
2
A4
R  
 0
EXEMPLO: Para o mecanismo mostrado na figura, o elo 2 gira com a velocidade angular ω2=50
rad/s e o raio de curvatura R da ranhura no elo 3 é 305 mm. Determine a aceleração do ponto B3
no elo 3 e a aceleração angular α3.



VB 3  VB 2  VB 3B 2

VB 3

VB
2

O 3B 3


 O 2B 2  2
 50 ,8  50  2540


VB
3
O 2B 2
B2

R
mm / s
Medido do polígono:

VB
 1650
mm / s
3

VB
3
B2
3 
 2540

VB 3
mm / s
 2540
O 3B 3
( anti  horário )
mm / s




n
t
n
t
AB  AB  AB  AB




n
t
 A B B  A B B  2  3  VB
2
2
2

n
AB 
2
3
3
2
2
VB

t
A B2  0

n
A B3 
mm / s
 2
O 3B 3

t
A B3
B3
2

1650

B 2O 2
2
208
mm / s

2
 0
2
VB 3
 13100
2
50 ,8
O 2B 2
 127000
3
2540

2
3
2
O 3B 3

B 3O 3




n
t
n
t
A B2  A B2  A B3  A B3




n
t
 A B 2B 3  A B 2B 3  2  3  VB 2B 3
2

V
2540
B 2B 3
n
A B 2B 3 

R
305
 21200
mm / s
2
2

B 2C


2  3  V B 2 B 3  2  7 ,93  2540  40300


VB 2B 3

t
A B 2B 3
R
mm / s
2
Medido do polígono:

AB

t
AB
3 
 122000
mm / s
2
 120000
mm / s
2
3
3

t
AB
3
O 3B 3

120000
208
 577
rad / s
2
horário 
ACELERAÇÃO RELATIVA DE PARTÍCULAS COINCIDENTES EM PONTO DE
CONTATO DE ELEMENTOS ROLANTES

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