презентация Power Point 2007/2010

Report
Статистическое моделирование
факторных планов
Лекция 5
1. Статистическое описание межгруппового
факторного эксперимента
2. Двухфакторный дисперсионный анализ
3. Структурные модели двухфакторного
дисперсионного анализа
Вопросы для
обсуждения
ВОПРОС №1
Факторный экспериментальный план…
• Факторными называют планы, в которых исследуется
влияние двух и более независимых переменных на
одну зависимую переменную.
• Число экспериментальных условий, исследуемых в
полных факторных планах, равно произведению всех
уровней всех независимых переменных
• Факторные планы могут быть межгрупповыми,
внутригрупповыми и смешанными.
• В данной теме мы рассмотрим лишь
внутригрупповой план.
Факторный план
• При межгрупповом плане каждому испытуемому
предъявляется единственное сочетание уровней всех
переменных
• Таким образом, в межгрупповых факторных планах
число групп испытуемых, необходимых для
эксперимента, равно произведению числа всех
уровней всех независимых переменных (факторов).
• Например, если используется двухфакторный план
2х2, то для проведения эксперимента потребуется 4
группы испытуемых, каждая из которых будет иметь
дело лишь с одним сочетанием факторов.
Межгрупповой план
Уровни
факторов
А1
А2
Среднее
B1
AB11
AB21
AB.1
B2
AB12
AB22
AB.2
Среднее
AB1.
AB2.
AB..
Пример: межгрупповой
план 2х2
Уровни
факторов
А1
…
Аi
…
Аp
Среднее
B1
AB11
…
AB21
…
ABp1
AB.1
…
…
…
…
…
…
AB1j
…
AB22
…
ABpj
AB.j
…
…
…
…
…
…
Bq
AB1q
…
ABiq
…
ABpq
AB.q
Среднее
AB1.
…
ABj.
…
Abp.
AB..
…
Bj
Пример: межгрупповой
план pхq
• Двухфакторный план позволяет исследовать три
эффекта: два основных эффекта факторов и их
взаимодействие.
• Кроме того, в двухфакторном межгрупповом плане
присутствует эффект статистической
(экспериментальной) ошибки, который определяет
внутригрупповые различия между испытуемыми.
Двухфакторный план
Факторы
A
B
Эффект
. − ..
. − ..
Дисперсия


. − ..
−1
. − ..
−1
Основные эффекты
2
2
Взаимодействие AB
Дисперсия
 −  +  + ..
 −  +  + ..
−1 −1
Где
 - основной эффект фактора A на уровне i
 - основной эффект фактора B на уровне j
Взаимодействие
2
 − 
Внутри группы

Дисперсия внутри группы
Дисперсия по всем группам


 − 
−1
2
  − 
  − 1
Экспериментальная
ошибка
2
ВОПРОС №2
Двухфакторный дисперсионный анализ
Общая дисперсия
Между группами
Фактор A
Фактор B
Взаимодействие
AB
Анализ дисперсии
Внутри
групп
•  =
  . −.. 2
−1
•  =
  . −..
−1
2
Средние квадраты:
основные эффекты
•  =

 − . +. −..
2
−1 −1
Средние квадраты:
взаимодействие
•  =
    −
 −1
2
Средний квадрат:
внутри групп
• Построение F-отношения определяется выбранной
структурной моделью и зависит от того, каким
образом трактуются независимые переменные
(факторы) – как случайные или как фиксированные.
• Всего возможные три структурные модели в
зависимости от случайности или фиксированности
факторов A и B.
Построение F-отношения
A фиксирован
A случаен
B фиксирован
Фиксированная модель
Смешанная модель
B случаен
Смешанная модель
Случайная модель
Модели ANOVA для двух
факторов
ВОПРОС №3
Структурные модели…
•  =  + α + β + αβ + ε
• Предполагается, что все случайные переменные
распределены по закону нормального распределения,
и математическое ожидание для статистической
ошибки равно 0
Структурная модель
• Будем обозначать большой буквой – число уровней
фактора в генеральной совокупности, а маленькой – в
выборке.
• Например, Q – число уровней фактора B в
генеральной совокупности, т.е. предельно возможное
число уровней этого фактора, q – число уровней
фактора B, исследуемое в эксперименте.
Соглашение
q
2
2
E ( MS a )     (1  )n   nq 
Q
p
2
2
2
E ( MSb )     (1  )n   np 
P
2
2
E ( MS ab )     n 
2
E ( MS e )   
2
Ожидаемые эффекты
Фиксированные
Случайные
• В эксперименте
исследуются все
возможные уровни
факторов A и B
• Т.е. P=p, а Q=q.
• Тогда 1 −   = 0 и 1 −

 =0
• В эксперименте
исследуется лишь очень
незначительное число
возможных значений
факторов A и B
• Т.е. P>>p, а Q>>q
• Тогда 1 −   = 1 и 1 −

 =1
Факторы
MS
Фиксированная
модель
Смешенная
модель
Случайная
модель

 2  nq 2
2
 2  n 
 nq 2
2
 2  n
 nq2

 2  np 2
 2  np 2
2
 2  n 
 np 2
2
 2  n 
2
 2  n 
2
 2  n 
 2
 2
 2


В данном случае смешанная модель подразумевает
случайность фактора A и фиксированность фактора B
Отсюда…
Фиксированная
модель
• Все эффекты
(средние квадраты)
оцениваются
относительно
внутригрупповой
дисперсии
Смешанная модель
Случайная модель
• Эффект случайного
фактора
оценивается
относительно его
взаимодействия с
фиксированным
фактором
• Эффект
фиксированного
фактора и
взаимодействие
оценивается
относительно
внутригрупповой
дисперсии
• Основные эффекты
оцениваются
относительно их
взаимодействия
• Взаимодействие
оценивается
относительно
внутригрупповой
дисперсии
F-отношение
• В случае многофакторных экспериментов построить
правильное F-отношение в ряде случае оказывается
возможным лишь для полностью фиксированной
модели.
• Например, теоретически невозможно построить
верное F-отношение для трехфакторной модели
дисперсионного анализа, если все переменные
являются случайными.
• В последнем случае для оценки статистических
эффектов может использоваться статистика квази-F.
Многофакторные
модели
MS a
F'
MS ac  MS ab  MS abc
Число степеней свободы для данной статистики
может быть определено по специальным формулам
Квази-F
www.ebbinghaus.ru

similar documents