Asymptotes

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Asymptotes
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre

Élément de compétence

Définition d’asymptote

Asymptotes verticales

Asymptotes horizontales

Levée d'indéterminations

Asymptotes obliques
Département de mathématiques
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Élément de compétence


Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction
représentée sous forme d'expression symbolique ou sous
forme graphique
Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser
les variations d'une fonction et tracer son graphique
•
•
•
Déterminer algébriquement et représenter graphiquement
les asymptotes verticales de la courbe d’une fonction
Déterminer algébriquement et représenter graphiquement
les asymptotes horizontales de la courbe d’une fonction
Déterminer algébriquement et représenter graphiquement
les asymptotes obliques de la courbe d’une fonction
Département de mathématiques
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Définition d’asymptote

Une asymptote est une
droite dont la distance
aux points d’une courbe
tend vers zéro lorsqu’on
s’éloigne sur la courbe à
l’infini.

Remarque : Une asymptote
ne fait pas partie de la courbe
représentative d’une fonction
et c’est pourquoi on la
représente en pointillé dans
le graphique.
Département de mathématiques
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Asymptote verticale

La droite x = a est une asymptote verticale (AV)
de la courbe de f(x) si et seulement si
lim f(x)   ou lim f(x)  
x  a
x  a
a-
a+
x=a

Remarque : Pour localiser les AV, on cherche les
valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent la
fonction infinie.
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Exemple

9  x2
.
Trouver les asymptotes verticales de f(x)  2
x 4
x = -2
x=2

AH : y = -1
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Asymptote horizontale

La droite y = b est une asymptote horizontale
(AH) de la courbe de f(x) si et seulement si
lim f(x)  b ou lim f(x)  b
x  
x 
y=b
-


Remarque : Pour localiser les AH, on évalue des
limites à l’infini.
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Exemple 1

2
Trouver l’asymptote horizontale de f(x)  1  2
.
x x
y=1
Département de mathématiques
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Exemple 2

Trouver les asymptotes horizontales de
2x 2  4x  3
f(x) 
.
2
x 4
 22  4  3 
?? 

2
 4


y=2

AV : x = -2 et x = 2
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Levée de l’indétermination

Mette en évidence la plus grande puissance
de x au numérateur et/ou au dénominateur
•
3x 4  2x  5
Exemple 1 : xlim
  2x 2  x  6
•
3x 2  x  5
Exemple 2 : lim
x   2x 2  2x  6
• Exemple 3 :
Département de mathématiques
lim 7x6  4x 2  9
x
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Asymptote oblique

La droite y = a x + b est une asymptote oblique (AO)
de la courbe de f (x) si et seulement si
lim f ( x)   et lim  f ( x)  y   0
x 
x 
f ( x)
et b  lim  f ( x)  a x 
où a  lim
x 
x 
x

Exemple : Trouver l’asymptote oblique de la fonction
2x 2  3x  2
f(x) 
y = 2x + 1
x 1
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Asymptote oblique (Cas particulier)

Soit la courbe f(x) définie par le quotient de deux
polynômes
•
•
On a y = ax + b est une asymptote oblique de la courbe de
f(x) uniquement si le polynôme du numérateur est d’un
degré supérieur à celui du dénominateur.
Pour trouver l’AO, on effectue la division des deux
polynômes qui donnera f(x) = ax + b +r(x) où lim r(x) = 0.
→
x ±∞
3
2x 2  3x  2

2x

1

f(x)

 Exemple : Soit
x 1
x 1
où y = 2x + 1 est une asymptote oblique.
2x 3  5x 2  1
Exercice : Trouver l’AO de f(x) 
2
x
1
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Asymptote oblique (Exemple)


Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales,
horizontales et obliques de f(x)  9x 2  1  4.
Remarque : Lorsque x   ou  , s’il y a une
asymptote horizontale, il n’y a pas d’asymptote
oblique et vice et versa.
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Exemple récapitulatif

Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales,
x2
.
horizontales et obliques de f(x)  2
x  2x  8
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Devoir

Exercices 6.4, page 273, nos 1, 2, 4, 5, 6, 7a, 7b,
7c, 7d, 8, 9, 10.

Exercices récapitulatifs, page 284, #12a (sauf
vi), 12b, 13 (sauf e), 14 (sauf k et l), 15a, 15b,
15e et 15j.
• 12a) 1, -,1, ,- 
• 12b) x = -2, x = 3, y = 1, y = -1/2x - 1
• 13b) n’existe pas, 13d) 0, 13f) 
• 14) V, V, F, F, V, F, V, F, V, V , F, F
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