教學網頁規劃

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多項式函數
教學網頁規劃
組別:第四組
組員:499402314周佳蓉
499403148郭宇晨
499403289曾廂圓
目錄
 1.多項式函數教材分析
 2.學生學習切入點分析
 3.教學網頁設計理念
 4.教學網頁教學目標
 5.網頁設計規劃流程
 6.參考資料
多項式函數教材分析
--多項函數的定義
 多項函數的定義
設n為自然數或零,則形如
f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的式子,
稱為x的多項式其中 an,an-1,...,a1,a0 為實數
多項式函數教材分析
--相關的名詞說明
相關的名詞說明:設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為x的多項式
★項:anxn,an-1xn-1,…,a1x,a0分別稱為此多項式的n次項,n-1次
項,…一次項,常數項。
★係數:an,an-1,…,a1,a0分別為此多項式的n次項,n-1次項,…一次項,
常數項的係數。
★領導係數:多項式中最高次項之係數(不為0)稱為此多項式之領導
係數。
★次數:當an¹0時,稱此多項式為n次多項式,記為:deg f(x)=n。
★單項式:只有一項的多項式稱為單項式。
★常數多項式:若一多項式僅含常數項a0,則稱此多項式為常數多項
式。當a0=0,又稱為零多項式。
★升羃與降羃式:若一多項式一變數x的次方由大而小排列者稱為降
羃式,由小而大排列者稱為升羃式。
多項式函數教材分析
-多項式的四則運算
(1)多項式的加減法:兩多項式相加減,則同次項的係數相加減
(2)多項式的乘法:利用乘法對加法的分配律,再合併同類項
(3)多項式的除法:
設f(x),g(x)為二多項式且g(x)不是零多項式,則可找到二
多項式q(x)及r(x)滿足f(x)=q(x)×g(x)+r(x),其中r(x)=0
或deg r(x)<deg g(x)。
此時稱f(x)為被除式,g(x)為除式,q(x)為商式,r(x)為餘
式。
例如:設f(x)=2x3+5x2+x-2,g(x)=x2+2x-3
多項式函數教材分析
--多項式的四則運算
(4)綜合除法:
◆綜合除法的原理:
設f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0,g(x)=x-b,若存在商式
q(x)=c2x2+c1x+c0, 餘式r(x)=d。
由除法的定義:(a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)(x-b)+d
經比較係數可得:
上面的關係可寫成以下的形式
多項式函數教材分析
--多項式的四則運算
◆當f(x)除以g(x)=ax+b時,我們也可利用綜合除法求餘式
r(x)、商式q(x)。
由除法的定義:
f(x)=(ax+b)×q(x)+r(x)=(x+ )×[aq(x)]+r(x)可先利
用綜合除法求出f(x)除以(x+ )
的商式q'(x)=aq(x)與餘式r(x),
而所要求的商式q(x)=
,餘式r(x)不變。
◆多項式的係數和:
f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
則各項係數之和=f(1),常數項=f(0),
奇次項係數之和=
偶數項的係數之和=
多項式函數教材分析
--多項式方程式
如何由n次多項式到n次方程式:
(1)f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 是n次多項式,
方程式f(x)=0稱為n次(多項)方程式。
(2)方程式的根:
一個數x0若滿足f(x0)=0,就稱x0為方程式f(x)=0
的根或解。有時特別強調x0為複數、實數、有理數
或整數,x0又稱為複數根、實根、有理根或整數根。
多項式函數教材分析
--多項式方程式
(3)實根的幾何解釋: 例如:
(1)y=f(x)=x2-3x-4的圖形,如右圖所示:
圖形與x軸相交於兩點(-1,0)、(4,0),
其橫坐標-1與4就是x2-3x-4=0的實根。
(2)y=g(x)=x2+x+1的圖形,如右圖所示:
圖形與x軸沒有交點,因為y=g(x)=
所以沒有任何實數x,使得g(x)=0,故
g(x)=0 沒有實根。方程式x2+x+1=0 的解
x=
。
,
多項式函數教材分析
--多項式方程式
一般而言,n次多項式y=f(x)的圖形是一條波浪形、
平滑的連續曲線。
若該曲線和x軸相交,那麼交點P(x0,f(x0))的橫坐標
x0必滿足f(x0)=0,所以x0是方程式f(x)=0的一個實
根,如果該曲線與x軸沒有交點,此時任何實數均不
是方程式f(x)=0的根,因此方程式f(x)=0無實根。
結論:實係數n次方程式f(x)=0的實根α<=>n次函數
y=f(x)的圖形與x軸交於點(α,0)
多項式函數教材分析
--多項式方程式
 函數的定義和圖形、二次函數的極值
若ax+bx+c為二次函數
(1)a>0開口向上
x=  2ba
, f(x)有最大值
(2)a<0開口向下
x=  2ba , f(x)有最小值
b-4ac>0和x軸交於兩點(兩個相異實數解)
b-4ac=0和x軸交於一點(重根)
b-4ac<0和x軸沒交點(無實數解)
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(甲)多項不等式的基礎概念
(1).n次不等式:
設y=f(x)=anxn+an-1xn-1+…..+a1x+a0是實係數n次多項式,
那麼不等式f(x)>0,或f(x)<0,或f(x)≦0,或f(x)≧0就
叫做多項不等式或n次多項不等式(簡稱n次不等式)
例:2x-3>0 , x2-3x+2>0
(2)不等式的解:滿足n次不等式的值,叫做n次不等式的解
(3)不等式的基本性質:
三一律:a>b,a=b,a<b 三式中恰有一式會成立
遞移律:若a>b且b>c,則a>c
加法律:若a>b,則a+c > b+c (c屬於實數)
乘法律:若a>b,且c >0,則ac>bc (不變號)
若a>b,且c <0,則ac<bc (要變號)
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(乙)一次與二次不等式
(1)一次不等式是形如ax+b>0(≧0)或ax+b<0(≦0)的不等式。
二次不等式是形如ax2+bx+c>(≧)0或ax2+bx+c<(≦)0,其中a,b,c為實數。
(2)解二次不等式:
設不等式ax2+bx+c(>,<,≦,≧)0,先將a調整為正
先解一元二次方程式ax2+bx+c=0的二根a、b
(a)設a>0,D=b2-4ac>0,a ,b (a>b)為兩實數
因為ax2+bx+c=a(x-a)(x-b)
分段討論ax2+bx+c的正負:
x
x < a
a <x < b
x > b
x-a
-
+
+
x-b
-
-
+
(x-a)(x-b)
+
-
+
解ax2+bx+c>0 則x>a或x<b(大於大的根或小於小的根)
解ax2+bx+c<0 則b<x<a (介於兩實根之間)
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(b)設a>0,D=b2-4ac=0, a=b為兩相等實數
因為ax2+bx+c=a(x-a)2
分段討論ax2+bx+c的正負:
x
a<x
x>a
x-a
-
+
(x-a)2
+
+
解ax2+bx+c>0 Û x =a(或b) [x>a或x<a]
解ax2+bx+c<0 Û無解
多項式函數教材分析
--多項式函數的圖形與多項式不等式
(c)設a>0,D=b2-4ac<0,a、b均為虛數
ax2+bx+c =
因為a>0且b2-4ac<0,所以
故不管x代入那一個實數,ax2+bx+c恆正。
解ax2+bx+c>0 Û 所有實數均為解。
解ax2+bx+c<0 Û 無解。
多項式函數教材分析
-- 解根的方法
整係數的n次方程式找有理根:
(a)一次因式檢驗定理:
設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為一個整係數n次多
項式,若整係數一次式ax-b是f(x)的因式,且a,b
互質,則a|an且b|a0。
(b)有理根檢驗定理:
設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0為一個整係數n次
方程式,若
為f(x)=0之一有理根,a,b為整數
且互質,則a|an且b|a0。
多項式函數教材分析
--無理根之勘根定理
無理根:
利用整係數一次因式檢驗定理,可解決有理根的問題,但是就一
般的方程式而言,要找出解,尤其是高次的方程式,通常不是一
件容易的事情。
例如:f(x)=x5+3x2-7x+2=0,由於它是整係數的5次多項式,所以
一定有實根,先考慮是否有理根,根據牛頓定理,x=±1,±2逐一
代入多項函數f(x)中,去看f(x)值的變化:
可以看出,f(x)=0並無有理根,因為它一定有實根,所以它的實
根必為無理根。通常我們無法直接求出f(x)=0無理根的形式,只
能求得它的近似值。
推廣這個概念可得以下的定理:
多項式函數教材分析
--無理根之勘根定理
勘根定理:
設f(x)=0為實係數n次多項方程式,a,b是兩個實數,
若f(a)f(b)<0,則在a,b之間至少有一個f(x)=0的實根。
注意:從觀察圖形可知,
當f(a)f(b)<0時,
則a,b之間的根必有奇數個根。
當f(a)f(b)>0時,
f(x)=0在a,b之間可能有根,也可能無根,
但若有根一定是偶數個根。
多項式函數教材分析
--多項式解的共軛
 多項式解的共軛(複數型、有理數型)
設 f ( x )  0 為實係數的 n 次方程式 , a 、 b   , b  0 若 a  bi 為 f ( x )  0 的一個根 ,
則 a - bi 必為 f ( x )  0 的一個根。
設 f ( x )  0 為有理係數的
則a -
n 次方程式 , a 、 b  Q, b  0 若 a 
b 必為 f ( x )  0 的一個根。
b 為 f ( x )  0 的一個根 ,
學生學習切入點分析

多項式是代數的基本成員,而代數學的中心問題─解方
程式,便是我們著重的主題之一。
學習步驟 :
1.熟習多項式的四則運算
2.清楚多項式函數圖形
3.知道任意多項式方程式是否都一定有根
4.如何解根
5.了解多項式不等式
教學網頁設計理念

希望能改變學生對於數學的刻板印象,不是枯燥乏味,
而是變的有趣

簡單的流程,增加學生學習的動機

運用多元的方式提高學生對於這方面的興趣

透過網頁測驗20題,來檢驗學生的學習程度
教學網頁教學目標
 了解多項式函數定義與名詞意義
 學習多項式函數的四則運算
 了解多項式函數圖形之幾何概念
 解出多項式方程式之解
 延伸至多項式不等式運用
網頁設計規劃流程
 以主題式的方式呈現數學觀念,輔以數學媒體幫
助學生進入學習情境,並提高學習樂趣
 利用簡單好玩的動畫以及小遊戲增強學生學習的
動機
 藉由主題測驗20題,使學生立即了解自己的學習
狀況並作改進
 透過題目讓學生實際了解到函數的幾何與代數性
質
參考資料
 參考資料:
1.
2.
數學一,龍騰文化
指考關鍵,翰林

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