JR_alapok - BME-HVT

Report
Jelek frekvenciatartományban

X  j  
 x t e
 j t
x t  
dt

1
2

 X  j  e
j t
d

    x k e
X e
j
 j k
x k  

 X e e
j
2
k  


1
 j k
d

Tételek
Linearitás
c 1 x 1 t   c 2 x 2 t 
c1 X 1  j    c 2 X 2  j  
c1 x1 k   c 2 x 2 k 
Eltolás
x t   t 
X  j  e
x k  i 
Moduláció
x t e
X  j    0 
x k e
Konvolúció
x 1 t   x 2 t 
X 1  j  X
x 1 k   x 2 k 
Konvolúció
x 1 t  x 2 t 
Derivált
d
Derivált
dt
tx t 
Skálázás
Parseval
j 0 t
1
 j 
X 1  j   X 2  j 
2
j X  j 
x t 
j
x  at 
E 
 j  t
2
d
d


x t  dt
2
E 
1
2



X e
j

j
X  j  d 

E 


x k 
2
2
X 2 e
j

 ji 
j    0


X e 
j
j
2
j
j
2
 
X e
d
d
1
e
X1 e
2
e
 c
j
j
   X e 
1
M
2
j
X 1 e
x1 k  x 2 k 
x  Mk
 
X j 
a
 a
c1 X 1 e
X e
kx k 
X  j 
X e

j 0 k
x k  1 
1

 
x k 
X  j 
x t 
Tétel
 
j
X e
M 1

E 
j
i0
 j    2  i  
M  
X e 




1
2



 
X e
j
2
d
Néhány jel Fourier-transzformáltja
 ;
x k 
X  j 
x t 
X e
 t 
1
 k 
1
1
2   
1
2   
2    0 
e
e
j 0 t
cos  0 t 
sin  0 t 
2
    0       0 
2
2
    0       0 
j 0 k
cos  0 k 
j
2    0 
2
    0       0 
2
sin  0 k 
2
    0       0 
2j
2j
x t  cos  0 t 
sgn t 
X    0   X    0 
2
x k  cos  0 k 
sgn k 
2
j
 t 
 t e
   
t
1
  j
 k 
1
j
 0
 
k
 k q ; q  1
X    0   X    0 
2
1 e
 j
1 e
 j
   
1
1 e
1
1  qe
 j
 j
Jelek komplex frekvenciatartományban
Laplace

X s  
 x t e
 st
x t  
dt
0
1
2 j
 1  j

st
 1  j
X s 
x t 
Tétel
X  s e ds
Linearitás
c 1 x 1 t   c 2 x 2 t 
c1 X 1  s   c 2 X 2  s 
Eltolás
 t   t  x  t   t 
X  s e
Csillapítás
Moduláció
Konvolúció
x t e
X s  
x 1 t   x 2 t 
X 1 s  X 2 s 
Derivált
x t 
sX  s   x   0 
t
,
Integrál
t

1
x  d 
s
0
Végérték tételek
x   0   lim sX  s 
Re s   0
x    lim sX  s 
Re s   0
s 
s 0
 s t
X s 

Laplace
Néhány jel Laplace-transzformáltja
X s 
x t 
 t 
1
 t 
1
s
 t e
t
 t  cos  0 t 
1
s
s
s  0
2
 t  sin  0 t 
2
0
s  0
2
 t t
1
s
 t te
2
t
2
1
 s   2
FI jelek

X  j  

x t e
 j t
X s  
dt
x t  

 X  j  e
2
e
j t
x t  
d
e
j T
x t e
 st
dt
0

j

s    j

1

ze
 1  j
1
2 j
e
sT

X  s e ds
st
 1  j
T
e
j T
 re
DI jelek

    x k e
X e
j
X z  
 j k
k  
x k  
1
2



X e
z  re
j
e
 j k
d


x k  z
k
k 0
j
x k  
1
2 j

X  z z
z  r1
k 1
dz
j
j
FI jelek
s    j
Belépő jelek
e
j
DI jelek
z  re
j
X z  


x k  z
x k  
k
k 0
2 j
x k 
Tétel
Linearitás
1

X  z z
Eltolás
 k  r  x  k  r 
Csillapítás
Moduláció
x k q
Konvolúció
x 1 k   x 2 k 
z  r1
c1 X 1  z   c 2 X 2  z 
X  z z
r
r  0
z
X  
q
X 1 z X 2 z 
k
Ált. derivált
x k  1 
zX  z   zx 0 
Késleltetés
x k  1 
z X  z   x  1
Független
derivált
d
Végérték tételek:
dz
X z 
c1 x1 k   c 2 x 2 k 
dq
k 1
1
d
x k , q 
dq
x 0   lim X  z 
z
X z, q 
x    lim  z  1  X  z 
z 1
Néhány jel
Z-transzformáltja
x k 
 k 
X z 
1
 k 
z
 k q
z 1
z
k
zq
 k  cos  0 k 
z  z cos  0
2
z  2 z cos  0  1
2
 k sin  0 k 
z sin  0
z  2 z cos  0  1
2
 k kq
 k k
k 1
z
 z  q 2
z
 z  1 2
Jelek leírása frekvenciatartományban
z  re
s    j
j
X z  

x k  z

X s  
k
BELÉPŐ
k 0
x k  
1
2 j

X  z z
k 1
z  r1
DI
e
k
 st
dt
 1  j
1
2 j
FI
h k 
j

x t e
0
x t  
dz


X  s e ds
st
 1  j
h t 
j
t
r 1
 0

    x k e
X e
j
 j k
X  j  
k  
x k  
1
2



X e


x t e
 j t
dt

j
e
 j k
d
x t  
1
2



X  j  e
j t
d
Rendszerek leírása frekvenciatartományban
e
j
j
DI
FI
h k 
k
u k   h k   U e
F
U( e )
j
H( e )
j
j
H e 
j
U(e )H(e )
j
j
h t 
t
u t   h t   U  j  H  j  
F
U(j)
H(j)
U(j)H(j)
ÁVL frekvenciatartományban
e
j
j
DI
FI
h k 
k
x k  1  e
F
j
X e
j

h t 
t
d
dt
e
j
H e
X(e )
X(e )
j
j
 c
j
T
j
1
(e E  A ) b  d
x t   j  X  j  
F
jX(j)
X(j)
H  j   c ( j E  A ) b  d
T
1
Jelfolyam hálózat leírása frekvenciatartományban
e
j
j
DI
FI
h k 
e
j
X(e )
k
X(e )
j
h t 
j
t
jX(j)
X(j)
y
b0
b1
b2
u
Kanonikus realizáció
-a1
 
H e
j
b0  b1 e
1  a1 e
 j
 j
 b2 e
 a2e
 j 2
 j 2
 .....  b n e
 .....  a n e
 jn 
 jn 
H  j  
Normál alak
-a2
b 0  j    b1  j  
n
n 1
 b2  j 
n2
 .....  b n
 j  n  a1  j  n 1  a 2  j  n  2  .....  a n
Rendszerek leírása frekvenciatartományban
e
j
j
DI
FI
h k 
k
u k   h k   U e
j
F
U( e )
H( e )
H e 
u t   h t   U  j  H  j  
j
j
x k  1  e
F
t
F
U(j)
U(e )H(e )
j
j
h t 
j
X e
j
j

d
j
H e
 
H e
j
X(e )
j
j
 c
b0  b1 e
1  a1 e
 j
 j
T
j
 a2e
 j 2
 j 2
1
T
 .....  b n e
 .....  a n e
X(j)
H  j   c ( j E  A ) b  d
1
(e E  A ) b  d
 b2 e
x t   j  X  j  
jX(j)
X(e )
j
U(j)H(j)
F
dt
e
H(j)
 jn 
 jn 
H  j  
b 0  j    b1  j  
n
n 1
 b2  j 
n2
 .....  b n
 j  n  a1  j  n 1  a 2  j  n  2  .....  a n
Rendszerek leírása komplex frekvenciatartományban
z  re
s    j
j
DI
FI
h k 
k
h t 
t
BELÉPŐ
u k   h k   U  z H  z 
Z
U(z)
H(z)
U(z)H(z)
u t   h t   U  s H  s 
L
U(s)
H(s)
U(s)H(s)
ÁVL komplex frekvenciatartományban
z  re
s    j
j
DI
FI
h k 
k
x k  1  zX  z 
Z
h t 
t
BELÉPŐ
d
dt
zX(z)
X(z)
H  z   c ( zE  A ) b  d
T
1
x t   sX  s 
L
sX(s)
X(s)
H s   c ( sE  A ) b  d
T
1
Jelfolyam hálózat leírása komplex frekvenciatartományban
z  re
s    j
j
DI
FI
h k 
h t 
k
zX(z)
t
sX(s)
X(z)
X(s)
BELÉPŐ
y
b0
b1
b2
Kanonikus realizáció
u
-a1
H z  
b 0  b1 z
1  a1 z
1
1
 b2 z
 a2 z
2
2
 .....  b n z
n
 .....  a n z
n
-a2
H s  
Normál alak
b0 s  b1 s
n
s  a1 s
n
n 1
n 1
 b2 s
 a2s
n2
n2
 .....  b n
 .....  a n
Rendszerek leírása komplex frekvenciatartományban
z  re
s    j
j
DI
FI
h k 
k
u k   h k   U  z H  z 
Z
U(z)
H(z)
U(z)H(z)
h t 
t
BELÉPŐ
u t   h t   U  s H  s 
L
U(s)
H(s)
x k  1  zX  z 
d
Z
sX(s)
X(z)
H  z   c ( zE  A ) b  d
1
T
H z  
b 0  b1 z
1  a1 z
1
1
 b2 z
 a2 z
2
2
x t   sX  s 
L
dt
zX(z)
U(s)H(s)
 .....  b n z
n
 .....  a n z
n
X(s)
H s   c ( sE  A ) b  d
1
T
H s  
b0 s  b1 s
n
s  a1 s
n
n 1
n 1
 b2 s
 a2s
n2
n2
 .....  b n
 .....  a n
Rendszerek leírása frekvenciatartományokban
s    j
j
z  re
U(z)
H(z)
zX(z)
U(z)H(z)
BELÉPŐ
X(z)
H  z   c ( zE  A ) b  d
1
T
H z  
e
b 0  b1 z
1  a1 z
1
1
 b2 z
 a2 z
2
2
 .....  b n z
n
 .....  a n z
n
DI
e
j
H e
 
H e
j
j
j
H( e )
j
j
b0  b1 e
1  a1 e
 j
 j
T
j
 a2e
 j 2
n
s  a1 s
n
n 1
n 1
 b2 s
 a2s
n2
n2
 .....  b n
 .....  a n
j
H(j)
U(j)H(j)
 0
X(j)
1
T
 .....  b n e
 .....  a n e
b0 s  b1 s
H  j   c ( j E  A ) b  d
1
 j 2
1
jX(j)
(e E  A ) b  d
 b2 e
H s   c ( sE  A ) b  d
U(j)
j
j
 c
X(s)
t
X(e )
j
sX(s)
h t 
U(e )H(e )
X(e )
U(s)H(s)
H s  
FI
h k 
k
U( e )
H(s)
T
j
r 1
U(s)
 jn 
 jn 
H  j  
b 0  j    b1  j  
n
n 1
 b2  j 
n2
 .....  b n
 j  n  a1  j  n 1  a 2  j  n  2  .....  a n
Rendszerek stabilitása
s    j
j
z  re
H  z   c ( zE  A ) b  d
E  A  0
H z  
e
i  1
b 0  b1 z
1  a1 z
1
1
 b2 z
 a2 z
2
2
 .....  b n z
n
 .....  a n z
n
DI
H s  
FI
h k 
b0 s  b1 s
n
s  a1 s
n
n 1
n 1
i  pi
n2
 b2 s
 a2s
n2
 .....  b n
 .....  a n
h t 
j
t
 0
H e
j
 c
E  A  0
 
j
1
Re  i   0
E  A  0
k
r 1
H e
BELÉPŐ
i  pi
j
H s   c ( sE  A ) b  d
T
1
T
b0  b1 e
1  a1 e
 j
 j
T
j
H  j   c ( j E  A ) b  d
1
(e E  A ) b  d
i  1
 b2 e
 a2e
 j 2
 j 2
i  pi
 .....  b n e
 .....  a n e
1
T
E  A  0
 jn 
 jn 
H  j  
Re  i   0
b 0  j    b1  j  
n
 j 
n
 a1  j  
n 1
n 1
i  pi
 b2  j 
 a 2  j 
n2
n2
 .....  b n
 .....  a n
Kanonikus realizáció
u
b3
b2
b1
b0
y
-a3
-a2
-a1
Normál alak
H   
b0  b1
1  a1
1
1
 b 2
 a 2
  e
j
2
2
z
 .....  b n
n
 .....  a n
n
H   
b0  b1
n
  a1
n
n 1
n 1
 b 2
 a 2
   j
n2
n2
s
 .....  b n
 .....  a n
Kanonikus realizáció
u
b0
Normál alak
H   
b0  b1
1  a1
1
1
 b 2
 a 2
  e
H   
b0  b1
n
  a1
n
n 1
n 1
2
2
 .....  b n
n
 .....  a n
n
b1
-a2
b2
-a3
b3
z
j
 b 2
 a 2
   j
-a1
n2
n2
s
 .....  b n
 .....  a n
y

similar documents