Análise Combinatória

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Análise combinatória –
Princípio da contagem e arranjos
24
• Contagem • Sequências
1. Príncipio
Análise
fundamental da contagem
Um estudante,
ao se 1:
inscrever
Concurso
para
APLICAÇÃO
Alice no
não
se recorda
da senha que
Vestibular, definiu
deve escolher
o Curso e a Sabe
Faculdade
que que é constituída
no computador.
apenas
deseja cursar.
existem
cinco cursos
pos-pelo menos uma
por Sabe-se
quatroqueletras
seguidas,
com
Os problemas de Análise Combinatória são, basicasíveis: Engenharia,
Medicina, Odontologia, Arquitetura e
consoante.
mente, problemas de contagem. A abordagem destes
Direito. Cada curso pode ser feito em três faculdades
problemas é baseada num fato, de fácil comprovação,
possíveis: Estadual, Federal e Particular. Qual é o
denominado Príncipio Fundamental da Contagem ou,
número total de opções que o estudante pode fazer?
simplesIntrodutório:
mente, Regra doUm
Produto,
que enunciaremos
e
Exemplo
estudante,
ao se inscrever
exemplificaremos
a
seguir.
no Concurso para Vestibular, deve escolher o Curso e a Resolução
Enunciado
Faculdade
que deseja cursar. Sabe-se que existem De acordo com o Príncipio Fundamental da Contacinco cursos
possíveis:é composto
Engenharia(E),
Medicina(M),
gem, o número total de opções que o estudante pode
Um acontecimento
de dois estágios
suOdontologia(O),
Arquitetura(A)
Direito(D).
cessivos e independentes.
O primeiroeestágio
pode ocor- Cadafazer é 5x3, ou seja, 15. Podemos ilustrar estas 15 opcursorer pode
ser distintos;
feito em
três faculdades
ções com o auxílio da árvore de possibilidades, obserde m modos
em seguida,
o segundo espossíveis:
tágio
considerarmos o alfabeto como constituído por 23
Estadual(E),
Particular(P).
Qual é ovando queSe
para cada um dos cinco cursos possíveis (E,
pode ocorrerFederal(F)
de n modosedistintos.
Nestas condições,
letras, bem como que não há diferença para o uso de
número
total
de
opções
que
o
estudante
pode
fazer?
M, O, A, D) existem três faculdades possíveis (E, F, P).
dizemos que “o número de maneiras distintas de ocormaiúsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma
rer este acontecimento é igual ao produto m . n”.
Generalizações
é possível compor?
Construindo
um diagrama de árvore de possibilidades
Exemplo
encontraríamos 15 opções.
Quando um acontecimento for composto por k está4
gios sucessivos
e independentes, com, respectivamente,
Escolha
Escolha
a) 23
Resultado
do Curso
da Faculdade
n1, n2, n3, ..., nk 3
possibilidades cada, o número total de
23 ⋅ de
18 ocorrer este acontecimento é
maneiras b)
distintas
3
n
.
n
.
n
.
...
.
n
.
1
2
3
k
E
EE
CINE AULA
01
Combinatória
c) 23 ⋅ 72
E
M
O
A
D
F
EF
4
2. Técnicas
de
54 contagem
d) 23 −
P
EP
E
ME
F
MF
P
MP
E
OE
F
OF
P
OP
E
AE
F
AF
P
AP
E
DE
F
DF
P
DP
4 j} um conjunto formado por 10
Seja A = {a;
b;4c; d; ...;
e) 18 + 5
elementos distintos, e consideremos os “agrupamentos
ab, ac e ca”.
Os agrupamentos ab e ac são considerados sempre
2:natureza
Usando de
asum
letras
do conjunto {a, b, c,
distintos, APLICAÇÃO
pois diferem pela
elemento.
d, e, f, g,ach,e i,
j}, quantas
senhas
Os agrupamentos
ca, que
diferem apenas
pelade 4 letras podem
modoser
queconsiderados
duas letras adjacentes, isto
ordem de ser
seusformadas
elementos,depodem
distintos ou
é, não.
vizinhas, sejam necessariamente diferentes?
Se, por exemplo, os elementos do conjunto A forem pontos,
{A1, A2, A3, ..., A10}, e ligando estes
a) A7 =290
pontos desejarmos
b) 5 040obter retas, então os agrupamentos
A1A2 e A2A1 são iguais, pois representam a mesma
c) 10 000
reta.
d) 6 840
Se, por outro lado, os elementos do conjunto A
e) 11 220
forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, e com estes
algarismos desejarmos obter números, então os agrupamentos 12 e 21 são distintos, pois representam
APLICAÇÃO 3: (Enem 2012) O designer português
números diferentes.
Neiva
criouconcluir
um que:
sistema de símbolos que
Do queMiguel
foi exposto,
podemos
a) Existem
problemas
contagem
em que os identifiquem
agrupermite
que de
pessoas
daltônicas
cores. O
pamentos,sistema
a serem contados,
considerados
distinde
consistesãona
utilização
símbolos que
tos, apenas
quando diferem
pela natureza
de pelo
identificam
as cores
primárias
(azul, amarelo e
Mas poderíamos contar o número de opções usando
operações
matemáticas
MATEMÁTICA usando que para cada um dos
18
5 cursos existem 3 tipos de faculdades, ou seja,
5⋅3 = 15 opções.
(1)
Princípios de Contagem: Se A e B são dois
conjuntos disjuntos, com p e q elementos,
respectivamente, então
- existem p+q maneiras de se escolher um elemento
de A ou de B.
- existem p⋅q maneiras de se escolher um elemento
de A e, depois, um de B.
conectivo ou → princípio aditivo
conectivo e → princípio multiplicativo
vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses
símbolos permite identificar cores secundárias (como o
verde, que é o amarelo combinado com o azul). O
preto e o branco são identificados por pequenos
quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto
o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que
representam preto e branco também podem ser
associados aos símbolos que identificam cores,
significando se estas são claras ou escuras.
De acordo com o texto, quantas cores podem ser
representadas pelo sistema proposto?
a) 14
b) 18
c) 20
d) 21
e) 23
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1
(2)
Arranjos e Permutações: Arranjo simples dos n
elementos de um conjunto A, tomados p a p, é
qualquer sequência ordenada de p elementos distintos
de A.
Exemplo: Com as letras A, B, C e D quantas sequências
ordenadas de duas letras distintas podemos formar?
AB
BA
CA
DA
AC
BC
CB
DB
AD
BD
CD
DC
Usando operações matemáticas devemos escolher 2
letras distintas entre 4 letras. Para escolher a
primeira letra temos 4 maneiras e para escolher a
segunda distinta da primeira temos 4 – 1 = 3 maneiras,
ou seja, 4⋅3 = 12.
Em geral, o número de possibilidades de se escolher p
elementos num conjunto de n elementos onde a
ordem importa é dado por
An,p = n ⋅ (n – 1 ) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ [n – (p – 1)]
e An,p é denominada arranjo de n elementos tomados
p a p.
Exemplos:
APLICAÇÃO 5: (Enem 2014) Um cliente de uma
videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por
vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois
filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a
videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8
filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por
isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses
16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez,
um filme de ação e um de comédia. Quando se
esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente
alugará um filme de ação e um de drama, até que
todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum
filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente
poderá ser posta em prática?
a) 20 × 8!+ (3!)2
b) 8!× 5!× 3!
8!× 5!× 3!
c)
28
8!× 5!× 3!
d)
22
16!
e)
28
Permutações com elementos repetidos: Sejam α
elementos iguais a A, β elementos iguais a B, num
total de α+β = n elementos.O número de permutações
distintas que podemos formar com os n elementos,
temos:
§ A5,2 = 5⋅4 = 20
§ A7,3 = 7⋅6⋅5 = 210
§ A8,4 = 8⋅7⋅6⋅5 = 1680
!,!
!
OBSERVAÇÃO: Permutações simples de n elementos
são arranjos simples de n elementos tomados n a n, ou
seja,
Pn = An,n = n ⋅ (n – 1 ) ⋅ (n – 2) ⋅... ⋅1
a) 69
b) 2024
c) 9562
d) 12144
e) 13824
!
! ∙ !
APLICAÇÃO 6: Uma senha de internet é constituída de
seis letras e quatro algarismos em que a ordem é
levada em consideração. Eis uma senha possível:
e o produto n⋅(n – 1)⋅(n – 2)⋅ ... ⋅1 é chamado fatorial
de n, representado por n!. Desta forma, Pn = n!.
APLICAÇÃO 4: Durante a Copa do Mundo, que foi
disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola
traziam palpites sobre os países que se classificariam
nos três primeiros lugares (por exemplo: 1o lugar,
Brasil; 2o lugar, Nigéria; 3o lugar, Holanda).
Se, em cada tampinha, os três países são distintos,
quantas tampinhas diferentes poderiam existir?
=
(a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7).
Quantas senhas diferentes podem ser formadas com
quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos
iguais a 7?
a) 10!
b) 2 520
c) 3 150
d) 6 300
10!
e)
4!6!
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2
(3)
Combinações: Combinação simples dos n
elementos de um conjunto A, tomados p a p, é
qualquer subconjunto não-ordenado de p elementos
de A.
Exemplo: Quantos subconjuntos tem o conjunto {A, B,
C, D}?
{A,B} {A,C} {A,D}
{B,C} {B,D}
{C,D}
Usando operações matemáticas devemos ter 4⋅3/2 = 6.
Em geral, o número de possibilidades de se escolher p
elementos num conjunto de n elementos é dado por
!,! =
APLICAÇÃO 8: O início da década de oitenta foi
marcado por um estilo que ficou conhecido como new
wave. Um grande sucesso dessa época foi a música
Safety Dance do grupo canadense Men Without Hats.
No videoclipe da música, ambientado num cenário
medieval, um casal dança ao som da música e, no
refrão “Oh Well the safety dance, ah yes the safety
dance”, forma com os braços a letra S, inicial de
Safety. Essa representação ficou sendo a marca
registrada do sucesso alcançado. Alguns programas e
séries da TV atual apresentaram a sua versão para o
Safety Dance. Nas figuras a seguir, estão
representadas a versão original, a versão da série
animada Uma família da pesada e a versão da série
Glee.
!,!
!
e Cn,p é denominada combinação de n elementos
tomados p a p.
Exemplos:
!,! =
5∙4
= 10
2!
!,! =
7∙6∙5
= 35
3!
!,! =
8∙7∙6∙5
= 70
4!
Na versão da série Glee do Safety Dance, um grupo de
atores dança no hall de um shopping center, enquanto
os demais apenas observam. Suponha que, para a
execução da cena, foi necessário escolher, dentre 6
atores e 8 atrizes, um grupo formado por 5 atores e 5
atrizes. Quantos grupos de dançarinos podem ser
escolhidos dessa forma?
APLICAÇÃO 7: Sejam r e s duas retas distintas e
paralelas.
Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos
distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três
quaisquer destes pontos não colineares, formam-se
triângulos. Assinale a opção correspondente ao
número de triângulos que podem ser formados.
a) 336.
b) 168.
c) 70.
d) 48.
e) 25.
a) 360
b) 380
c) 400
d) 420
e) 450
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3
Exercícios Propostos
03. Por questão de segurança os bancos instalaram ao
lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por
trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.
01. As novas placas dos veículos são formadas por três
letras seguidas por quatro algarismos, como por
exemplo GYK 0447. O número de placas diferentes que
podem ser construídas é, em milhões de placas,
aproximadamente igual a:
a) 1
b) 25
c) 75
d) 100
e) 175
02. Hoje em dia, é possível realizar diversas
operações bancárias a partir de um computador
pessoal ligado à Internet. Para esse acesso, o cliente
de determinado banco, após digitar o número de sua
agência e conta corrente, deverá introduzir uma senha
de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como
o da figura.
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua
própria senha. Suponha que esta senha seja composta
por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão
ser criadas se forem usados apenas os números primos
que aparecem no teclado?
a) 6
b) 24
c) 80
d) 120
e) 720
04. Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa
eletrônico de um banco, mas na hora de digitar a
senha, esquece-se do número. Ela lembra que o
número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem
algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma
posição. O número máximo de tentativas para acertar
a senha é
Para inserir um dígito da senha da sua conta corrente,
o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro
botões indicados pela inscrição "clique aqui"; isto é,
para inserir o dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no
botão "clique aqui" situado abaixo dos dígitos "0, 4 ou
7" ou naquele situado abaixo dos dígitos "2, 4 ou 8".
Pode-se afirmar que o número total de senhas
compostas por quatro dígitos distintos que estão
associadas à sequência de "cliques", primeiro, no
botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois, no
botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7; novamente
no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por
último, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7,
é igual a:
a) 1 680
b) 1 344
c) 720
d) 224
e) 136
05. Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema.
Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que
serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a
programação, eles decidem que três desses filmes,
que são de ficção científica, devem ser exibidos em
dias consecutivos.
Nesse caso, o número de maneiras DIFERENTES de se
fazer a programação dessa semana é
a) 144
b) 576
c) 720
d) 1040
e) 1200
a) 12
b) 24
c) 36
d) 54
e) 81
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4
06. Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua
conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos
1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo
pode aparecer mais de uma vez. Contudo,
supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha
o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido
imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras
distintas Maria pode escolher sua senha?
a) 551
b) 552
c) 553
d) 554
e) 555
09. Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho
estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo
naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.
Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de
mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco
cartas, um exemplo de quadra:
07. Um professor, ao elaborar uma prova composta de
10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas
cada e apenas uma correta, deseja que haja um
equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem
assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele
deseja que duas questões sejam assinaladas com a
alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como
mostra o modelo.
Modelo de folha de resposta (gabarito)
A
B
C
D
E
01
X
02
X
03
X
04
X
05
X
06
X
07
X
08
X
09
X
10
X
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas
diferentes, com a letra X disposta nas alternativas
corretas, será
a) 302 400.
b) 113 400.
c) 226 800.
d) 181 440.
e) 604 800.
08. Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam
atendimento em cidades maiores onde há centros
médicos especializados e hospitais mais equipados.
Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito
por vans disponibilizadas pelas prefeituras.
Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e
o motorista. De quantos modos distintos os 9
passageiros podem ocupar suas poltronas na van?
O número total de conjuntos distintos de cinco cartas
desse baralho que contêm uma quadra é igual a:
a) 624
b) 676
c) 715
d) 720
e) 725
10. As frutas são alimentos que não podem faltar na
nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela energia
que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista
que lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de
três frutas diariamente, dentre as seguintes opções:
abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã, pera e uva.
Suponha que Vera siga rigorosamente a sugestão do
nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo
menos duas diferentes. Então, ela pode montar sua
dieta diária, com as opções diferentes de frutas
recomendadas, de:
a) 57 maneiras.
b) 50 maneiras.
c) 56 maneiras.
d) 77 maneiras.
e) 98 maneiras.
Gabaritos
01. [E]
02. [C]
03. [B]
04. [B]
05. [C]
06. [A]
07. [B]
08. [D]
09. [a]
10. [D]
a) 4.032.
b) 36.288.
c) 40.320.
d) 362.880.
e) 403.200.
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