Lista 1 - Matemática I – Cálculo I

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Matemática I – Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo
em Refrigeração e Climatização
19. Trigonometria no triângulo retângulo
Por definição temos:
BC
 sen
AC
AB
sen 
 cos 
AC
AB
1
tan  
 cot an 
BC
tan 
cos  
Essas relações são sempre válidas se +=90º.
Ainda temos as razões trigonométricas derivadas:
sen
cos 
1
1
, cot an 
, sec  
e cos sec  
.
tan  
cos 
sen
cos 
sen
Exemplo: Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um
ângulo de 60º(topo). Afastando-se 30 m do edifício, passa a ver o topo do
prédio sob ângulo de 45º. Qual é a altura do prédio?
19.1 Relação entre as razões trigonométricas.
(a) sen² + cos²=1
Pelo triângulo retângulo:
2
2
 AB 
 BC 

  

 AC 
 AC 

AB²
BC²
AB²  BC²
AC²



 1
AC²
AC²
AC²
AC²
(b) tan² + 1 = sec²
Pelo triângulo retângulo:
2
2
AB²  BC²
AC²
 AB 
 AC 

 

  1 

BC
BC
²
BC
²


 BC 
IFRS – Campus Rio Grande
2
 1 
 

 cos  
 sec ²
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(c) cotan² + 1 = cossec²
Pelo triângulo retângulo:
2
2
BC²  AB²
AC²
 BC 
 AC 

 

  1 

AB²
AB²
 AB 
 AB 
Exemplo:
É dado secx =
2
 1 
 

 sen 
 cos sec ²
5
, determine todas as demais razões trigonométricas.
3
19.2 Resolução de triângulos qualquer.
Para resolver um triângulo qualquer temos duas leis: lei dos senos e lei dos
cossenos. O que também pode auxiliar são as fórmulas do arco soma e do arco
diferença.
(a) Lei dos senos.
(b) Lei dos cossenos.
a
b
c


sen
sen
sen
(c) Seno da adição/subtração.
sen(a  b) = sena.cosb  senb.cosa
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c² = a² + b² - 2ab.cos
(d) Cosseno da adição/subtração.
cos(a  b) = cosa.cosb  sena.senb
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Exemplo:
Encontre os valores de x e seny na figura.
20 Exercícios.
1- Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a hipotenusa mede 12
cm. Determine o valor do cosseno de cada ângulo agudo do triângulo.
2- Seja o ângulo agudo x tal que cosx =
7
, determine senx, cossecx, secx,
25
tanx e cotanx.
3- Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6 metros de
altura no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com
o solo, horizontal, um ângulo de 60º.
4- Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos,
uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada,
uma pequena poça de água a 1,85 metros de uma das paredes
do galinheiro, conforme a figura. Considerando que a
espessura dessa parede é de 15 cm e que d é a distância
entre o ponto mais alto do telhado e a quebra da telha,
calcule, d em metros.
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5- Um túnel reto AB deverá ser construído a partir da perfuração de uma
montanha. De um ponto C – situado a 65 metros de A, na perpendicular ao traçado
do túnel – avistam-se as futuras extremidades do túnel sob ângulo de 60º.
Qual o comprimento do túnel a ser construído?
6- Dois homens, H1 e H2, com 2 metros e 1,50
metros de altura, respectivamente, estão em pé
numa calçada, em lados opostos de um poste de
5 m de comprimento, iluminados por uma lâmpada
desse poste, como mostra a figura. Determine a
distância entre os homens.
21 Respostas dos exercícios do item 18.
1- A = ]3, 5[
2- A=]-,2[]3,+[
4f: ]-9,+[  ℝ
y 
3- A = ]-1,1[]1,3[
5g: ]4,+[  ℝ
2
1
 log3 x  9
5
5
y  5
6- x  log 3 3
1
 x  4
log2 

3
 3 
10- x 
2
7- x  log 64 36
31
40
11- x = 32
12- S = {2,16}
13- S = {-1,5}
3
8- x = 2
9- S= 
1
14- S   ,2
2
15- S = log3 7,

17- S= 
18- S= ]8,+[
16- S= 0, 
 3
1
19- f>0  x  0,   2, ; f=0  x =
ou x = 2; f<0   ,2
16
 16 
 16 
1
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