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ディジタル信号処理
デザイン情報学科 メディア情報設計
河原英紀
2002.6.13
ディジタル信号処理
1
本日の予定
伝達関数の実現

直接実現 → 標準形
 伝達関数と差分方程式


低次システムの直列接続
極、零点配置と伝達特性
離散的Fourier変換
2002.6.13
ディジタル信号処理
2
一般的な伝達関数の直接実現
zの有理関数として表された伝達関数を実
現する。
システムの
直列接続と見る
2002.6.13
ディジタル信号処理
3
一般的な伝達関数の直接実現
zの有理関数として表された伝達関数を実
現する。
分母、分子、それぞれの
システムを実現し直列に接続する
2002.6.13
ディジタル信号処理
4
分母のシステムの実現
zの有理関数として表された伝達関数を実
現する。
差分方程式に
変換する
入出力の関係を求める
ため、両辺にX(z)を掛ける
2002.6.13
ディジタル信号処理
5
分母のシステムの実現
両辺にX(z)を掛ける
システムの出力となるのでY(z)とおく
2002.6.13
ディジタル信号処理
6
分母のシステムの実現
システムの出力をY(z)とおく
両辺に分母
の多項式を掛け
整理する
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ディジタル信号処理
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分母のシステムの実現
両辺に分母の多項式を掛け整理する
右辺に移項し、出力をX(z)とY(z)の
関数として表す
2002.6.13
ディジタル信号処理
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分母のシステムの実現
右辺に移項し、出力をX(z)とY(z)の関数とし
て表す
推移定理を使い
差分方程式にする
ー
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ディジタル信号処理
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分母のシステムの実現
推移定理を使い差分方程式にする
差分方程式を
実現する回路に
変換する
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ディジタル信号処理
10
分母のシステムの実現
+
差分方程式を実現する回
路に変換する
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-
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一般的な伝達関数の直接実現
zの有理関数として表された伝達関数を実
現する。
分母、分子、それぞれの
システムを実現し直列に接続する
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ディジタル信号処理
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分子のシステムの実現
zの有理関数として表された伝達関数を実
現する。
入出力の関係を求める
ため、両辺にX(z)を掛ける
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ディジタル信号処理
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分子のシステムの実現
入出力の関係を求めるため、両辺にX(z)を
掛ける
システムの出力となるのでY(z)とおく
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ディジタル信号処理
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分子のシステムの実現
システムの出力をY(z)とおく
推移定理を使い
差分方程式にする
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ディジタル信号処理
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分子のシステムの実現
推移定理を使い差分方程式にする
差分方程式を
実現する回路に
変換する
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ディジタル信号処理
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分子のシステムの実現
差分方程式を実現する回
路に変換する
2002.6.13
ディジタル信号処理
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分子、分母のシステムの接続
分母の
システム
分子の
システム
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分子、分母のシステムの接続
遅延素子は
二重に必要か?
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直列につながったシステムは
順序を入れ替えても同じ
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構成の簡単化
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ディジタル信号処理
20
構成の簡単化
分母側を
入力側に
移す
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構成の簡単化
共通化
できる
同じ情報を
順送りしている
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一般的な伝達関数の直接実現
原理的には
これで
どのような
伝達特性でも
実現できる
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M,Nが大きいとき
桁落ちによる
精度劣化が生ずる
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低次システムの接続による実現
実係数の代数方程式は実根あるいは共役複素根を持つ
b0(k)  b1(k)z1  b2(k)z2
H(z)  
(k) 1
(k) 2 
1 a1 z  a2 z
k
d
(l )
0
 d1(l ) z1b0(m)  b1(m)z1  b2(m)z2 
l
m
1 c
(n) 1
1
n
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z
1 a
2
z  a(m)
z

2
(m) 1
1
r
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直接実現と低次システムの接続
による実現の比較
加算器での相対誤差が 0.001の場合
ある周波数成分が1/1000になると仮定
3段の接続で実現できると仮定
100%の
相対誤差!
直接実現の相対誤差 = (0.001+1/1000)/0.001-1 = 1
約3%の
相対誤差!
低次システムの接続による実現の相対誤差
= (0.1+1/1000) (0.1+1/1000) (0.1+1/1000) /0.001-1 = 0.030301
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低次システムの接続による実現
共役複素根を持つ場合の例
零点
b0(k) 1 zkP z11 z*kP z1
b0(k)  b1(k)z1  b2(k)z2
H(z)  
(k) 1
(k) 2  
1 a1 z  a2 z
1 zkQz11 zkQ* z1
k
k
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極
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低次システムの接続による実現
零点
b 1 zkP z 1 z z 
H(z)  
1
1 zkQz 1 z z 
k
1
(k)
0
zkQ  e
  j
z e
  j
*
kQ
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* 1
kP
* 1
kQ
極
* は共役複素数を表す
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極零配置と伝達特性
zkQ  e
  j
z e
  j
*
kQ
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極零配置と伝達特性のデモ
複素平面
振幅周波数特性
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離散的Fourier変換
Discrete Fourier Transform (DFT)

(後で出てくるFFTは、DFTを高速化したもの。
計算している内容はDFTと同じ)
DFTは、周期的な離散信号のFourier変換
0 以外の整数
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周期的な離散信号
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ディジタル信号処理
注目する区間が
繰り返されると見なす
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周期的な離散信号
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円環上の信号
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複素指数関数を用いた表現
総和の上限は
どこまで?
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離散的複素指数関数の性質
周波数領域にも
周期性がある
(配付資料ではkとnが入れ代わっている)
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複素指数関数を用いた表現
標本点と同じ個数の
複素指数関数の和で表すことができる
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複素指数関数の係数を求める
を両辺に掛けてN個の総和を求める
n = 0,1,...N-1
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複素指数関数の係数を求める
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37
複素指数関数の係数を求める
直交性を利用して計算する
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離散的複素指数関数の直交性
課題:等比級数の部分和の公式を利用して
上記の関係が成立することを確かめよ。
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39
複素指数関数の係数を求める
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複素指数関数の係数を求める
離散的フーリエ変換
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離散的Fourier変換と逆変換
離散的
Fourier変換
(DFT)
離散的
Fourier逆変換
(IDFT)
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数値例(課題)
x[n],n  0,1,2,3,4,5  1,1,1,0,0,0
N 6
x[n],n  0,1,2,3  1,0,1,0
N 4
について、DFTを求めよ。
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