ベイズ的ロジスティックモデルに関する研究

Report
ベイズ的ロジスティックモデル
に関する研究
畜産経営管理学講座
統計研究室
松原 慶尚
1
目次
目的
伝統的ロジスティックモデル
ベイズ的ロジスティックモデル
応用例
1.
2.
3.
4.
–
–
データ
考察
5. まとめと課題
2
1. 目的
• 伝統的ロジスティックモデルの拡張
• 実際例(尿路感染症データ)への適用・考察
3
2.伝統的ロジスティックモデル
Y 1
x 
exp g x 
px  
(1)
1  exp g  x 
• 説明変数 x とパラメータ  の関係
g ( x)     x   x     x
•
である確率 p
0
1 1
2
2
q
q
(2
)
4
オッズ比の推定
exp  
オッズ比 (odds ratio)
5
最尤推定法
• 対数尤度関数
L    n j1, x 
J
j 1
 y log 1  p  x   
j
(3)
j

を で偏微分して=0とおいた連立方程
式の解が最尤推定値
6
最尤推定法の限界
• 標本数が小さい場合
• アンバランスなデザインの場合
• データ以外の情報が存在する場合
最尤推定値の信憑性が欠ける
7
3.ベイズ的ロジスティックモデル
• パラメータ p j を確率変数とみなす
• p j は共役分布としてのBeta分布に従う
• p j の密度関数
1
B ,  
•
p 1  p 
 1
j
 1
j
、0 
p
j
 1 (7
 は未知のハイパー・パラメータで、
 1
)
8
推定法
• 事後対数尤度関数
p
y



log




1

l
n
p
j 1
j
j
  n j  y j    1  log  1  p 
(9
)
j
を最大にするものを推定量として用いる
9
4.応用例
• リスクファクターの特定と分類が目的
 
• オッズ比 exp  の変化について考察を
行う

•
の値を変えるということは、事前情報の
量を変える、ということである
10
表1:尿路感染症データ
A B C
1 0 0
1 0 1
1 0 1
1 0 1
1 0 1
1 0 1
1 1 0
1 1 0
1 1 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 0
0 1 1
0 1 1
D
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
E
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
F
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
y
1
14
3
10
12
1
44
3
0
15
1
2
7
3
2
1
1
1
0
1
5
0
3
0
n
2
16
4
18
30
1
86
3
1
16
1
2
12
9
2
1
1
3
4
1
19
1
4
2
A
B
C
D
E
F
年齢(24以下)
経口避妊薬
コンドーム
滑剤付きコンドーム
殺精剤
隔膜
y 発症者数
n 観測者数
11
expˆ 
2
0.929
0.9285
0.928
0.9275

1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.9265
図1: 全モデルでのBに対するオッズ比
12
1.08
1.07
1.06
1.05
1.04

1.2
1.4
1.6
1.8
2
図2:DとFを除外した場合のBに対するオッズ比
13
0.24
0.24

0.22
1.2
1.4
1.6
1.8
1.2
2
0.18
0.18
0.16
0.16
0.14
0.14
0.12
0.12
図3:Bを除外した場合のDに対
するオッズ比

0.22
1.4
1.6
1.8
2
図4:全モデルでのDに対する
オッズ比
14
25
11
10
20
9
15
8
10
7

6
1.2
1.4
1.6
1.8
図5:Bを除外した場合のCに対
するオッズ比
2
5
1.2
1.4
1.6
1.8
2
図6:Bを除外した場合のFに
対するオッズ比
15
0.56
0.54
1.2
0.52
1.2
1.4
1.6
1.8

0.68
2
0.66
1.4
1.6
1.8
2

0.48
0.46
図7:Bを除外した場合のEに対
するオッズ比
0.64
図8:BとCを除外した場合のE
に対するオッズ比
16
考察
• コンドームと隔膜においては尿路感染症
のリスクファクターとして非常に高い関連
性がある
• 経口避妊薬は尿路感染症にほとんど関
連性はない
17
5.まとめ
• 以上、ロジスティックモデルの拡張として、
ベイズの定理を導入したベイズ的ロジス
ティックモデルの有効性を確認した
18
課題
事前分布の想定を含む最適ベイズモデル
の選択が重要な問題
交差確認法や一般化情報量規準を用い
て最適モデルを発見する
19

similar documents