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確率・統計Ⅰ
第4回 確率変数の分散
ここです!
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確率変数と確率分布
確率変数の同時分布、独立性
確率変数の平均
確率変数の分散
確率変数の共分散
ベルヌイ試行、二項分布
二項分布(続き)、幾何分布
ポアソン分布
正規分布
正規分布(続き)
大数の法則、中心極限定理
統計学の基礎1(母集団と標本、確率論との関係)
統計学の基礎2(正規分布を用いた推定・検定)
確率変数の分散
1. 確率変数の分散 (定義と意味)
2. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3)
確率変数の分散
確率変数 X のとりうる値すべて
に関する偏差の2乗の、確率重みつ
き平均
偏差…平均との差(平均からのズレ)
E(X)=μ とすれば
V(X) = E[ (X -μ)2 ]
確率変数の分散
例: サイコロを1回投げ、出た目の数を X とする。
1
1
1
1
1
1
E(X )  1  2   3  4   5   6 
6
6
6
6
6
6
1 21
 (1 2  3  4  5  6)    3.5
6
6
確率変数の分散
偏差は
X=1 : 1 3.5  2.5
X=2 : 2  3.5  1.5
X=3 : 3  3.5  0.5
X=5 : 5  3.5  1.5
X=4 : 4  3.5  0.5
X=6 : 6  3.5  2.5
したがって分散は


1
 2.5  1.5   0.5  0.5 1.5  2.5 
6
2
2
2
2
2
2
 2.91666
確率変数の分散 (離散型)
式で書くと
Var.の略
X の分散 V(X) =
x  E( X )  P( X  x )
2
i
i
見やすくするため E(X)=μ, P(X=xi) = pi と書いて
∑ (xi -μ)2 pi
i
離散的確率変数の分散
X の分散 V(X) =
( x   )
i
2
 pi
i
連続的確率変数の分散

V(X) =


( x   )  f ( x)dx
2
確率密度
分散の意味
• 同じ平均でも、分布のバラツキが大きいと、
分散が大きい
0.30
0.30
0.25
0.25
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
0.00
1
2
3
4
5
1
6
23
V ( X )   1.916
12
<
2
3
4
5
6
47
V ( X )   3.916
12
確率変数の分散
1. 確率変数の分散 (定義と意味)
2. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3)
分散の性質(1)
X の一次式で与えられる確率変数の
分散については、次の式が成り立
つ:
V (aX  b)  a V ( X )
2
(課題1) これまでに習った公式を用いて、これ
を証明せよ。
分散の性質(1)
例: サイコロを1回投げ、(出た目の数×2)-3 を Y とする。
Y の分散 V(Y) を求めよ。
V (Y )  V (2 X  3)
 4V ( X )  4 2.91666
分散の性質(2)
2つの独立な確率変数 X と Y の和
X+Y の分散について、次の式が成り
立つ:
V ( X  Y )  V ( X )  V (Y )
(課題2) これまでに習った公式を用いて、これ
を証明せよ。
分散の性質(2)
したがって、n個の独立な確率変数
X1,…Xn の和 の分散については、
V ( X1  X 2   X n )
 V ( X1 )  V ( X 2 )   V ( X n )
分散の性質(2)
例: サイコロを10回投げ、出た目の数の和 を Y とす
る。Y の分散 V(Y) を求めよ。
i 回目に出る目の値を Xi とすると、 V( Xi )=2.91666… で、
X1,…,X10 は独立だから、
V (Y )  V ( X1  X 2   X10)
 V ( X1 )  V ( X 2 )   V ( X10)
 2.916610  29.166
分散の性質(3)
分散と平均の関係
V ( X )  E ( X )  E( X )
2
二乗平均
2
平均の二乗
(課題3) 確率変数 X の分散 V(X) は、E[ (Xμ)2 ] と書けることを用いて、これを証明せよ。た
だしμ=E(X)
分散の性質(3)
例: サイコロを1回投げ、出た目の数 を X とする。
X の分散 V(X) を求めよ。
1 91
E( X )  (1  2  3  4  5  6 )  
6 6
2
2
2
2
V ( X )  E ( X )  E( X )
2
2
2
2
2
前の計算と一致
91
91 49 35
2
  3.5     2.91666
6
6 4 12
分散の公式(まとめ)
① V( aX + b ) = a2E(X)
② X と Y が独立ならば、
V( X + Y ) = V(X) + V(Y)
③ V(X) = E(X2) - E(X)2
[演習]確率変数、確率分布、平均・分散
(離散型)
[1] 偏りのないコインを3回投げる実験で、表の出る
回数を X とする。
(1) 確率変数 X の確率分布を求めよ。
(2) Xの平均E(X)、分散V(X)を求めよ。
(3) 表が出たら2ドル貰え、裏が出たら1ドル失うとし
て、獲得金額を Y とするとき、確率変数 Y の平
均E(Y)、分散V(Y)を求めよ。
[演習]確率変数、確率分布、平均・分散
(連続型)
[2] 区間[0,1]に針を落とすとき、落ちる位置
の座標を X とする。風の影響で、確率変数
Xの確率分布が右下図のような形をしてい
るものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) X の確率密度関数 f (x) を求めよ。
(2) P ( 0.2 < X < 0.6 ) を計算せよ。
f(x)
(3) X の平均 E(X) 、分散 V(X) を求 a
めよ。
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