実験計画法 パワーポイント

Report
Excelによる実験計画法演習
小木哲朗
Design of Experiments, 2009/1/21
(1)
統計量
Design of Experiments, 2009/1/21
(2)
Excel による統計量の計算
- データから平均、メジアン、平方和、分散、標準偏差の各統計量
を求める
データ
16.8
14.7
18.3
15.2
16.4
17.1
15.8
16.0
統計量
データ数
合計
平均
メジアン
偏差平方和
分散
標準偏差
範囲
8
130.30
16.29
16.20
9.01
1.29
1.13
3.60
=COUNT(A2:A9)
=SUM(A2:A9)
=AVERAGE(A2:A9)
=MEDIAN(A2:A9)
=DEVSQ(A2:A9)
=VAR(A2:A9)
=STDEV(A2:A9)
=MAX(A2:A9)-MIN(A2:A9)
Design of Experiments, 2009/1/21
(3)
t 検定
Design of Experiments, 2009/1/21
(4)
Studentのt検定
(問題)
2台の機械A、Bで製造される部材の大きさを比べるため、Aから
n=10個、Bからm=9個をサンプリングし、以下のデータを得た。
A: 78 80 79 83 82 85 78 74 76 84 (mm)
B: 81 84 82 88 86 83 78 84 89
(mm)
機械Aの部材の母集団分布が N(μ1,σ12)、機械Bの部材の母集団
分布が N(μ2,σ22) に従うとき、μ1とμ2の値は等しいか。σ12, σ22は未
知とする。
Design of Experiments, 2009/1/21
(5)
Student の t 検定手順
 等分散を仮定した場合の母平均の差の検定手順
1) 帰無仮説 H0:μ1=μ2
対立仮説H1:μ1≠μ2
2) 有意水準αを定める
α=0.05
3) 棄却域Rを求める
|t0| ≧ t (n+m-2, 0.05) = t (17, 0.05) = 2.110
4) データ x11, x12, …, x1n、x21, x22, …, x2n から検定統計量 t0 の値を計算する
x1  79.9
x2  83.9
S1   ( x1i  x1)2  114.9
V  (S1  S2 ) /(n  m  2)  12.34
( x1  x 2 )
t0 
 2.47
V (1/ n  1/ m)
S2  ( x2i  x2 )2  94.89
5) t0 が棄却域にあれば有意と判定
|t0|=2.47 ≧ t (17,0.05)=2.110 となり有意、H0は棄却
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(6)
Excel によるStudentの t 検定
A
B
78
81
データ数
10
9
=COUNT(A2:A11)
=COUNT(B2:B10)
80
84
平均値
79.900
83.889
=AVERAGE(A2:A11)
=AVERAGE(B2:B10)
79
82
偏差平方和
114.900
94.889
=DEVSQ(A2:A11)
=DEVSQ(B2:B10)
83
88
自由度
82
86
分散
12.341
=(E4+F4)/E5
85
83
t値
-2.471
=(E3-F3)/SQRT(E6*(1/E2+1/F2)) →棄却値と比較
78
78
棄却値(上)
2.110
=TINV(0.05,E5)
74
84
棄却値(下)
-2.110
=-TINV(0.05,E5)
76
89
p値
17
0.024
=E2+F2-2
0.024
↓有意水準と比較
=TDIST(ABS(E7),E5,2) =TTEST(A2:A11,B2:B10,2,2)
84
- TINV(確率,自由度)
t分布の%点の算出(両側確率)
- TDIST(値, 自由度, 尾部) t分布の確率の算出(値以上の確率)
(尾部=1:片側検定、尾部=2:両側検定)
- TTEST(配列1,配列2,尾部,種類) 尾部2:両側P値、種類2:等分散
Design of Experiments, 2009/1/21
(7)
分析ツールによるStudentの t検定
 「データ」→「データ分析」→「t検定:等分散を仮定した2標本による検定」
- データ
- 選択画面
- 分析結果
Design of Experiments, 2009/1/21
(8)
Welch の t 検定手順
 等分散を仮定しない場合の母平均の差の検定手順
1) 帰無仮説 H0:μ1=μ2 対立仮説H1:μ1≠μ2
2) 有意水準αを定める
α=0.05
3) 棄却域Rを求める
S1=114.9、
S2=94.89
V1=S1/(n-1)=114.90/9=12.77、 V2=S2/(m-1)=94.89/8=11.86
φ*=(V1/n+V2/m)2/((V1/n)2/φ1+(V2/m)2/φ2)
=(12.77/10+11.86/9)2/((12.77/10)2/9+(11.86/9)2/8)=16.9
|t0|≧t(16.9,0.05)=0.1*t(16,0.05)+0.9*t(17,0.05)
=0.1*2.120+0.9*2.110=2.111
4) データx11,x12,…,x1n、x21,x22,…,x2nから検定統計量t0の値を計算する
t0 
( x1  x2 )
(79.9  83.9)

 2.48
V1 / n  V2 / m
12.77 / 10  11.86 / 9
5) t0が棄却域にあれば有意と判定
|t0|=2.48≧t(16.9,0.05)=2.111 となり有意、H0は棄却
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(9)
Excel によるWelchの t 検定
A
B
78
81
データ数
10
9
=COUNT(A2:A11)
=COUNT(B2:B10)
80
84
平均値
79.900
83.889
=AVERAGE(A2:A11)
=AVERAGE(B2:B10)
79
82
偏差平方和 114.900
94.889
=DEVSQ(A2:A11)
=DEVSQ(B2:B10)
83
88
分散
11.861
=E4/(E2-1)
=F4/(F2-1)
82
86
自由度
85
83
t値
78
78
棄却値(上)
2.111
74
84
棄却値(下)
-2.111
76
89
p値
12.767
16.91
-2.476
0.024
=(E5/E2+F5/F2)^2/((E5/E2)^2/(E2-1)+(F5/F2)^2/(F2-1))
=(E3-F3)/SQRT(E5/E2+F5/F2)
=TINV(0.05,16)*0.1+TINV(0.05,17)*0.9
=-E8
↓=TTEST(A2:A11,B2:B10,2,3)
=TDIST(ABS(E7),16,2)*0.1+TDIST(ABS(E7),17,2)*0.9
84
- TINV(確率,自由度)
t分布の%点の算出(両側確率)
- TDIST(値, 自由度, 尾部) t分布の確率の算出(値以上の確率)
(尾部=1:片側検定、尾部=2:両側検定)
- TTEST(配列1,配列2,尾部,種類) 尾部2:両側P値、種類3:等分散でない
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(10)
分析ツールによるWelchの t検定
 「データ」→「データ分析」→「t検定:分散が等しくないと仮定した2標本による検定」
- データ
- 選択画面
- 分析結果
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(11)
1元配置分散分析
Design of Experiments, 2009/1/21
(12)
1元配置分散分析
(問題)
ある化学製品の製造において、4種類の反応温度で製造を行い、反応
温度と強度に関する次のデータを得た。これより反応温度によって強度
に差があると言えるか。またどの反応温度が最適か。
A1
A2
A3
A4
2.0
2.4
2.2
2.0
繰り返し
2.2
2.8
2.4
1.7
2.1
2.6
2.6
2.0
計 Ti・
6.3
7.8
7.2
5.7
総合計 T
27.0
平均 xi・
2.1
2.6
2.4
1.9
全平均 x
2.25
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(13)
1元配置法の手順
1)偏差平方和を求める
総平方和 ST、 A間平方和 SA、 誤差平方和 Se
ST = S A + S e
2)自由度を求める
STの自由度 φT= n-1 、SAの自由度 φA=a-1 、 Seの自由度 φe=a(r-1)
φT =φA+φE
3)分散分析表をまとめる
要因
平方和
自由度
平均平方
F0
A
SA
ΦA
VA=SA/ΦA
VA/Ve
e
Se
Φe
Ve=Se/Φe
計
ST
ΦT
4)F0 を自由度(ΦA,Φe)の F分布に従って検定
F0≧F(φA,φe;α) なら有意水準αで有意
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(14)
平方和の計算方法
・修正項
CT=(全データの和)2/全データの個数
・総平方和
ST=(個々のデータ)2の和 – CT
・A間平方和 SA= (A1のデータの和)2/A1のデータ個数
+(A2のデータの和)2/A2のデータ個数
+…
+(Aaのデータの和)2/Aaのデータ個数 - CT
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(15)
Excel による1元配置法
分散分析表の作成
合計
平均
A1
2.0
2.2
2.1
6.30
2.10
CT
60.75
A2
2.4
2.8
2.6
7.80
2.60
ST
1.11
A3
2.2
2.4
2.6
7.20
2.40
SA
0.87
A4
2.0
1.7
2.0
5.70
1.90
Se
0.24
27.00
2.25
x
2
4.0
4.8
4.4
5.8
7.8
6.8
4.8
5.8
6.8
4.0
2.9
4.0
分散分析表
要因
平方和
自由度 平均平方
A
0.87
3
0.29
e
0.24
8
0.03
計
1.11
11
F0
9.67 **
F0= 9.67 ≧ F(3,8; 0.05) = 4.07、 F0= 9.67 ≧ F(3,8, 0.01) = 7.59
→ 有意水準 1% で有意(**)
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(16)
分析ツールによる1元配置法
 「データ」→「データ分析」→「分散分析:一元配置」
- データ
- 選択画面
- 分析結果
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(17)
2元配置分散分析
Design of Experiments, 2009/1/21
(18)
2元配置分散分析
(問題)
次のデータから、因子A、Bが特性値に影響していると言えるか。また、
どの条件が最適か。
A1
A2
計 T・ j・
平均 x ・ j・
B1
76
78
73
72
299
74.8
B2
77
79
75
75
306
76.5
B3
77
78
75
73
303
75.8
B4
計 T i・ ・
74
614
75
72
589
74
295 総合計 T
73.8
1203
平均 x i・ ・
76.8
73.6
全平均 x
75.2
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(19)
2元配置法の手順
1) 偏差平方和を求める
総平方和 ST
A間平方和 SA
A×B間平方和 SAXB 誤差平方和 SE
B間平方和 SB、
2) 自由度を求める
STの自由度 φT=n-1 SAの自由度 φA=a-1 SBの自由度 φB=b-1
SAXBの自由度 φAXB=(a-1)(b-1)
Seの自由度 φe=ab(r-1)
3) 分散分析表をまとめる
要因
平方和
自由度
平均平方
F0
A
SA
ΦA
VA =SA /Φ A
VA /Ve
B
SB
ΦB
VB=SB/Φ B
VB/Ve
AXB
SAXB
Φ AXB
VAXB =SAXB /Φ AXB
VAXB /Ve
e
Se
Φe
Ve =Se /Φ e
計
ST
ΦT
4) F0をそれぞれの自由度のF分布に従って検定
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(20)
平方和の計算方法
・修正項
CT=(全データの和)2/全データの個数
・総平方和
ST=(個々のデータ)2の和 - CT
・A間平方和
SA=(A1のデータの和)2/A1のデータ個数+(A2のデータの和)2
/A2のデータ個数+…+(Aaのデータの和)2/Aaのデータ個数 - CT
・AB間平方和
SAB=(A1B1のデータの和)2/A1B1のデータ個数+(A1B2のデータの和)2
/A1B2のデータ個数+…+(AaBbのデータの和)2/AaBbのデータ個数 - CT
・A×B平方和
SA×B=SAB-SA-SB
・誤差平方和
Se=ST-SA-SB-SA×B
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(21)
Excel による2元配置法
分散分析表の作成
B1
B2
B3
B4
76
78
73
72
299.0
74.8
77
79
75
75
306.0
76.5
77
78
75
73
303.0
75.8
74
75
72
74
295.0
73.8
5776
6084
5329
5184
分散分析表
要因 平方和
A
39.06
B
17.19
A×B
4.69
e
9.50
計
70.44
5929
6241
5625
5625
5929
6084
5625
5329
5476
5625
5184
5476
A1
A2
合計
平均
x
2
自由度 平均平方
1
39.06
3
5.73
3
1.56
8
1.19
15
合計
614.0
平均
76.8
589.0
73.6
1203.0
75.2
CT
ST
SA
SB
SAB
SA×B
Se
90450.56
70.44
39.06
17.19
60.94
4.69
9.50
F0
32.89 **
4.82 *
1.32
主効果A:F0=32.89≧F(1,8;0.05)=5.32 F0=32.89≧F(1,8;0.01)=11.3 1%有意
主効果B:F0=4.82≧F(3,8;0.05)=4.07 F0=4.82<F(3,8;0.01)=7.59
5%有意
A×B効果: F0=1.32<F(3,8;0.05)=4.07
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(22)
分析ツールによる2元配置法
 「データ」→「データ分析」→「分散分析:繰り返しのある二元配置」
- データ
- 選択画面
- 分析結果
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(23)

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