第3回(5月2日)

Report
統計学
第3回
西山
第2回のまとめ
確率分布=決まっている分布の形
期待値とは平均計算
平均=合計÷個数から卒業!
平均=割合×値の合計
同じ平均値でも
同じ分散や標準偏差でも
XとEX 
S とV X 
2
SとSDX 
練習問題【1】
表の出る確率が0.4であるコインを使って、
賭け金を1000円にしてすると、どうなる?
平均
利得
-1000
1000
-200
偏差
二乗偏差
確率
-800
640000
0.6
1200
1440000
0.4
0
960000
↓
分散=
960000
標準偏差= 979.7959
利得
-1000
1000
確率
0.6
0.4
E  X   0.6   1000   0.4  1000  200
V  X   0.6  {1000  (200 )}2  0.4  {1000  (200 )}2  960000
SD X   960000  979.8
練習問題【2】
変数Xの分布は以下に示すとおりである。設問に答えなさい。
値(X)
0
1
確率(P)
0.3
0.7
1. Xの確率分布図を描きなさい
2. Xの平均値E[X]と分散V[X]、標準偏差SD[X]を
求めなさい
練習問題【2】の解答
確率分布図を描くのは非常に容易なので省略。横
軸をX、縦軸をPとして棒グラフを描けばよい
まず平均値は
EX   0.3  0  0.7  1  0.7
分散は公式を使う
 
E X 2  0.3  0 2  0.7 12  0.7
 
 V X   E X 2  EX 2  0.7  0.7 2  0.7  0.3
 SDX   0.21  0.46
練習問題【3】
(1)さいころを6回振ったところ、
1、2、6、6、1、2
となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平均計算=値×割合
の合計、によっても同じ平均値と標準偏差が得られることを確かめなさ
い。
(2)正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。E[X]とV[X]、
SD[X]を求めなさい。
こうすればできます
平均=値×割合の合計
割合は確率的に考える時
と、実際のデータを見る
時とで違いますね。まず
確率的にいきましょう。実
際のデータでは?
値
割合
1
1/6
2/6
2
1/6
2/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
2/6
確率的な計算は教科
書69~70ページを見
てください
練習問題【3】の
解答
EX   3.5
V X   2.92
SDX   1.71
確率的には
データの平均
X  1
2
2
2 18
 2  6 
3
6
6
6 6
S 2  1  3 
2
データの分散
 S  2.16
2
2
2 28
2
2
 2  3   6  3  
 4.67
6
6
6
6
第3回目の目標
1.
2.
3.
EとVの基本公式
平均値の性質
分散や標準偏差の性質
教科書: 第2章の頁73~75
ゲタの公式―平均値
変数Xにゲタをはかせれば平均も同様にゲタをはく
EaX  b  aE X   b
例:
正しいサイコロを振って出る目の数を2倍した値
の平均値を求めなさい.
上の式が常に成り立つことを示しなさい.
公式は常に成り立ちます
値
確率
X1
P1
X2
P2
:
:
Xn
Pn
期待値の定義か
ら結論が得られま
す
EaX  b  aE X   b
ゲタの公式―ばらつき
一定の数を足しても、ばらつきは変わらない.一定の数を掛けると、同
じだけばらつきも変わる.なお、ばらつきとは標準偏差のこと.
V aX  b  a V X 
2
SDaX  b  a SDX 
例:
正しいサイコロを振って出る目に2を加えた値を考える。
この値の分散・標準偏差はいくらか?
上の式を証明しなさい.
合計の公式―平均
合計の平均は平均の合計である.
EX  Y   EX   EY 
例:
二つの正しいサイコロを振ったときの目の数の和は
平均いくらか?
データについて同じ問題を考えよ.
合計の公式―ばらつき
≪合計の分散は分散の合計≫になるとは限らない!
一般には、合計の分散がどうなるか分からない.
英語
高い
普通
低い
数学
高い
普通
低い
合計点
極めて高い
普通
極めて低い
分散上昇
XとYが独立なら、
英語
高い
普通
低い
数学
低い
普通
高い
合計点
普通
普通
普通
分散縮小
V X  Y   V X   V Y 
分散=二乗の平均-平均の二乗
この公式も頻繁に利用します.
   EX 
V X   E X
2
2
もちろんデータについても同じ関係があります.
N
1
2
2
2
S   X  X 
N i 1
問題:
1. 「分散=二乗偏差の期待(平均)値」を式で表現しなさい.
2. 上の公式(水色部分)を証明しなさい.

similar documents