モジュール1のまとめ

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数理統計学
第3回
西山
第1回のまとめ
統計的なものの見方
• 分布の形を見ることからスタート
• 要するに、平均値と標準偏差を図か
ら読みとれればよし!
復習クイズ
(5)偏差の合計は常にゼロである。
(6)分散=二乗の平均-平均の二乗
n
 X
i 1
i

2
n
n
  X   X

X


n
 X
2

Xi 
i 1
i
n
n
 nX 
i 
1 0
2 XX i  n X
i 1
i
2

1 デ ー タ の 個 数in1
上 の 両 辺i を
で 割ればよ い
2
X i  nX
2
第2回目の目標
1.
2.
3.
確率分布とは何の意味?
データの平均と理屈の平均
データの標準偏差と理屈のそれ
教科書: 第2章の頁49~53
第2章の頁67~71
偶然は分布を生む
サイコロを6回振ると、 6、4、2、6、5、5
度数分布図
2.5
目の数の平均
と標準偏差、
出せますね
2
1.5
1
0.5
X  4.67
0
S 2  1.89
S  1.37
1
2
3
不自然なところはありますか?
4
5
6
理屈に合っていますか?
正しいサイコロの目の出方
これが理屈です!
本当の分布の形
理屈の割合のこと
を確率といって
P(X=1)=1/6
と書きます.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
目の数
5
6
目の数をXとすると割
合の決まった変数だか
ら確率変数と呼んでい
ます.
縦軸の値は1回ずつというより1/6ずつ、ですね.
同じ分布ではあるが
データの分布 VS 理屈の分布
ヒストグラム
確率分布
分布の中心と広がり
平均と標準偏差
分布の形だけは
最初から分かっ
ている
理屈の平均の求め方
『正常なコインを投げて表だと君の勝ちだ。私
が千円あげる。だが裏だと千円もらおう! 』
どちらが得をするか?
何度も反復すると
割合×値の合計・・
これは平均計算じゃ
教科書68-69ページ
を見よ.
E[利益]=0.5×(+1000)+0.5×(-1000)=0
勝ち負け半々だから、損も得もしない理屈.
勝ち負けの理屈の分布は
勝ち負けの割
合、決まってる
ね
勝ち(1000円)と負け(-1000円)の頻度
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1000
1000
回数でなく確率を示しているから確率分布です
授業はここまで
10/13
実際に10回やってみると
表が7回、裏が3回出た。合計で4000円も
うけた。平均ではどれだけトクをしたか?
X


1000  1000  (  1000 )    1000
10
7  1000  3  (  1000 )
10

理屈では

7
 1000 
10
400
E  X   0 . 5  1000  0 . 5  (  1000 )  0
3
 (  1000 )
10
 割合  値の合計
Xの平均、あるいはXの数学的期待値と呼びます。
賭け金をあげるとどこが変わる?
『 1000円から10000円に上げよう』
X
1000
-1000
P
0.5
0.5
Xの理屈の平均をE[X]
Xの理屈の分散をV[X]
Xの理屈の標準偏差をSD[X]
X
10000
-10000
P
0.5
0.5
計算を確かめると
平均
利得
-1000
1000
0
偏差
二乗偏差
確率
-1000
1000000
0.5
1000
1000000
0.5
0
1000000
↓
分散=
1000000
標準偏差=
1000
利得をXと置くと
E X   0
V X   10 6
SDX   1000
同じく・・・
EX   0
V  X   10 8
SD X   10000
教科書: 頁67~71
平均
利得
-10000
10000
0
偏差
-10000
10000
0
二乗偏差
100000000
100000000
100000000
↓
分散=
標準偏差=
確率
0.5
0.5
1E+08
10000
練習問題【1】
表の出る確率が0.4であるコインを使って、
賭け金を1000円にしてすると、どうなる?
平均
利得
-1000
1000
-200
偏差
二乗偏差
確率
-800
640000
0.6
1200
1440000
0.4
0
960000
↓
分散=
960000
標準偏差= 979.7959
E  X   0.6   1000   0.4  1000  200
V  X   0.6  {1000  (200 )}2  0.4  {1000  (200 )}2  960000
SD X   960000  979.8
練習問題【2】
(1)さいころを6回振ったところ、
1、2、6、6、1、2
となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平
均計算=値×割合の合計、によっても同じ平均値
と標準偏差が得られることを確かめなさい。
(2)正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。
E[X]とV[X]、SD[X]を求めなさい。
練習問題【2】の解答
X
偏差
1
2
6
6
1
2
18
-2
-1
3
3
-2
-1
0
二乗偏差
4
1
9
9
4
1
28
E[X]やV[X]など
は教科書69,70
ページを見よ
X 3
S 2  4.67
S  2.16

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