モジュール1のまとめ

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数理統計学
第4回
西山
第3回のまとめ
1. データの分布と確率分布との意味の違い
2. どちらも分布だから、分布の中心(=平均値)と分布の
広がり(標準偏差)で特徴をとらえる
3. 平均値=合計÷個数はあまりに幼稚。本当の定義は
平均値=割合×値の合計
4. 割合として確率を指定したときの平均値を数学的期待
値という。
数学的期待値=確率×値の合計
期待値の意味は「本当の平均」、「理屈の平均」
第4回の目標
確率分布のばらつきは標準偏差ではかる。
分散=平均二乗偏差を思い出す。
確率分布の平均と分散、標準偏差を完全理解する
授業はここまで
10/13
実際に10回やってみると
表が7回、裏が3回出た。合計で4000円も
うけた。平均ではどれだけトクをしたか?
X


1000  1000  (  1000 )    1000
10
7  1000  3  (  1000 )
10

理屈では

7
 1000 
10
400
E  X   0 . 5  1000  0 . 5  (  1000 )  0
3
 (  1000 )
10
 割合  値の合計
Xの平均、あるいはXの数学的期待値と呼びます。
賭け金をあげるとどこが変わる?
『 1000円から10000円に上げよう』
X
1000
-1000
P
0.5
0.5
確率分布の平均をE[X]
確率分布の分散をV[X]
確率分布の標準偏差をSD[X]
X
10000
-10000
P
0.5
0.5
計算を確かめると
平均
利得
-1000
1000
0
偏差
二乗偏差
確率
-1000
1000000
0.5
1000
1000000
0.5
0
1000000
↓
分散=
1000000
標準偏差=
1000
利得をXと置くと
E X   0
V X   10 6
SDX   1000
同じく・・・
EX   0
V  X   10 8
SD X   10000
教科書: 頁67~71
平均
利得
-10000
10000
0
偏差
-10000
10000
0
二乗偏差
100000000
100000000
100000000
↓
分散=
標準偏差=
確率
0.5
0.5
1E+08
10000
練習問題【1】
表の出る確率が0.4であるコインを使って、
賭け金を1000円にしてすると、どうなる?
平均
利得
-1000
1000
-200
偏差
二乗偏差
確率
-800
640000
0.6
1200
1440000
0.4
0
960000
↓
分散=
960000
標準偏差= 979.7959
利得
-1000
1000
確率
0 .6
0 .4
E  X   0.6   1000   0.4  1000  200
V  X   0.6  {1000  (200 )}2  0.4  {1000  (200 )}2  960000
SD X   960000  979.8
練習問題【2】
変数Xの分布は以下に示すとおりである。設問に答えなさい。
値(X)
0
1
確率(P)
0.3
0.7
1. Xの確率分布図を描きなさい
2. Xの平均値E[X]と分散V[X]、標準偏差SD[X]を
求めなさい
練習問題【2】の解答
確率分布図を描くのは非常に容易なので省略。横軸をX、縦軸をP
として棒グラフを描けばよい
まず平均値は
E  X   0 .3  0  0 .7  1  0 .7
分散は公式を使う
   0 .3  0  0 . 7  1
 V  X   E X   E  X 
E X
2
2
2

SD  X  
2
 0 .7
2
 0 .7  0 .7
0 . 21  0 . 46
2
 0 .7  0 . 3
練習問題【3】
(1)さいころを6回振ったところ、
1、2、6、6、1、2
となった。平均と分散、標準偏差を求めなさい。平
均計算=値×割合の合計、によっても同じ平均値
と標準偏差が得られることを確かめなさい。
(2)正しいサイコロを振るときに出る目の数をXと置く。
E[X]とV[X]、SD[X]を求めなさい。
練習問題【3】の解答
X
偏差
1
2
6
6
1
2
18
-2
-1
3
3
-2
-1
0
二乗偏差
4
1
9
9
4
1
28
E[X]やV[X]など
は教科書69,70
ページを見よ
X 3
S 2  4.67
S  2.16

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