光と磁気の現象論(2)

Report
大学院理工学研究科 2004年度
物性物理学特論第3回
-光と磁気の現象論(2):Faraday効果-
非常勤講師:佐藤勝昭
(東京農工大学工学系大学院教授)
復習コーナー
第2回に学んだこと
 光と磁気の現象論(1)
 円偏光と磁気光学効果
 光と物質の結びつき
 誘電率テンソル
質問コーナー

電子分極の周波数領域では比透磁率は1とで
きるとのことでしたが、ワニエ励起子生成の場
合はどの領域ですか

A: 非磁性半導体の励起子を考えている限り、比透
磁率は1として扱うことができます。磁性半導体でも、
バンドギャップ領域では、強磁性共鳴の周波数
(GHz領域)より十分周波数が高いので比透磁率は
1です。
第3回に学ぶこと

光の伝搬とマクスウェルの方程式


ファラデー配置の場合の固有値と固有状態


2つの固有値と対応する固有状態(円偏光)
フォークト配置の場合の固有値と固有状態


固有解:波動解、固有値:複素屈折率
磁気誘起の複屈折
ファラデー効果の現象論

ファラデー効果と誘電率テンソル
マクスウェルの方程式

光の電界ベクトルをE 、電束密度ベクトルをD 、磁界
ベクトルをH、磁束密度ベクトルをB、電流をJとすると、
次の関係が成立する。
rot E  
rot H 
B
t
D
t
(3.17)
J
(SI単位系)
マクスウェル方程式をEとHで表す
簡単のため, J=0と置く。[伝導電流を分極電流
(変位電流)の中に繰り込む]
 BとH、DとEの関係式

B  μ0 H
~
D  ε ε0 E
を代入して、式(3.17)は次のように書き変えられ
る。
H
rot E    0
t
E
~
rot H  ε  0
t
(3.18)
誘電率テンソル
マクスウェル方程式を解く [1]
磁界Hを消去
H
2

 E
~
rot rot E    0 rot
 0
rot H    0 ε  0
2
t
t
t
~
rot rot E  grad   E    E    0 ε  0
2
E  E 0 exp(  i  t )  exp( i K  r ) を代入
(E  K )K  K
2
2 ~
E  ( / c )  E  0
2
 E
t
2
マクスウェル方程式を解く [2]

波数ベクトルKとして
E  E 0 exp(  i  t )  exp( i K  r )
 H  H 0 exp(  i  t )  exp( i K  r )



(3.19)
ここにE0,H0は時間や距離に依存しない定数ベクトルで
ある。この式を式(3.18)に代入すると、
K  E  ωμ 0 H
~
K  H  ω ε ε0 E
となる。
固有方程式

両式からHを消去し、
K H  K 

1

(K  E ) 
0
1

K  K  E    ~ 0 E
0
固有方程式として(3.20)
(E  K )K  K
2
2 ~
E  ( / c )  E  0
が得られる。問題3.1参照
問題3.1 式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導け。ただ
し、ベクトル積の公式 A  ( B  C )  ( C  A ) B  ( B  A ) C
を利用せよ。



K  E  ωμ 0 H
からHを消去することにより
~
K  H  ω ε ε0 E
K H  K 
1

(K  E ) 
0
1

K  K  E    ~ 0 E
を得る
0
ここで上の公式を利用して
K  K  E  (E  K )E  (K  K )E
(E  K )K  K
2
2~
E  ( / c ) ε E  0
が導かれた
が導かれるので
( E  K)K  K

2
2 ~
E  ( / c ) ε E  0
を解く
この式を解いてKの固有値と対応する電界ベクトルEの固有関数
を求めよう。ここで複素屈折率N、すなわち、N=n+iを導入する。
ここにnは屈折率、は消光係数である。媒質中において波数Kは
K   N / c   n / c  i  / c

で表される[1]。
[1]波数Kは2π/λ’となる。ここに’は媒質中での波長で、媒質
中での光速をc’とすると/c’と表される。媒質中での光速c’は
屈折率をnとするとc/nで与えられるから、K=n/cである。ここで
屈折率を拡張して複素屈折率N、すなわちn+iを導入すると、
K   N / c   n / c  i  / c
となる。
固有方程式を解く(つづき)
波数ベクトルの向きに平行で長さがNであるような屈
折率ベクトルNを用いると、(3.19)の第1式は
(3.21)
E  E 0 exp{  i  ( t  N  r / c )}
 となり、固有方程式(3.20)は
2
~
N E  ( E  N )N   E  0
(3.22)
 によって記述できる。以下では、2.3に述べた2つの配
置(ファラデー配置とフォークト配置)について固有値を
求める。

ファラデー配置の場合(=0)
磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z)
に対して式(3.21)は
E  E 0 exp{  i  ( t  Nz / c )}
 と表される。固有方程式(3.22)は

 N 2   xx

 xy


0


  xy
N
2
  xx
0
0
0
  zz
 E x

 E y
 
E
 z


0


と書ける。この方程式がE0の解をもつためには、上式
においてEの係数の行列式が0でなければならない。こう
して次の永年方程式を得る。(問題3.2参照)
永年方程式

N
2
  xx
 xy
  xy
N
2
0

0
0
(3.25)
 0
  zz
これより、N2の固有値として2個の値
2
(3.26)
N    i


  xx
0
xx
を得る。
E 
E0
xy
これらの固有値に対応する固有関数は、
( i  i j ) exp{  i  ( t 
N
z)
(3.27)
 E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。
2
c
固有関数は円偏光
フォークト配置の場合
N2の固有値として
2
 2
および
 xy

N 1   xx 

 xx

N 1 

E 1  A exp   i   t 
x    xy i   xx j
c



E2

  zz
という2つの解を得る。 N1およびN2に対応する固
有関数は


N2
2

N 2 

 B exp   i   t 
x   k
c




(3.33)
となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果)
3.3のまとめ
光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述すると,
磁化された等方性物質の屈折率Nは N 2   xx  i xy
 で与えられる2つの固有値をとり,それぞれが
右円偏光および左円偏光に対応する.(ここに,
εxxは誘電テンソルの対角成分,εxyは非対角成
分である.)もし,εxyが0であれば,円偏光は固
有関数ではなく,磁気光学効果は生じない.

左右円偏光に対する光学定数の差と誘電
率テンソルの成分の関係

磁化と平行に進む光の複素屈折率の固有値は
式(3.26) N    i
N  n  i ,
N   n   i 
n  n
 
置き換え  n  n   n  ;         ; n  2 ;   2
2





N  n


xx
xy

n
 
1
1

 i 

(
n

i

)

(

n

i


)

N

N

2
2 
2
2

ここに  N
その結果
 N   N    n  i 
 xx  n   ;  xx  2 n 
2
2
 xy  n      n
 xy      n  n
を得る
複素ファラデー回転角

ΔnとΔκをεxyを使って表す。
n 

  xy  n  xy
n 
2
2

n 
2
2
ΔNに書き直すと
 N   n  i  

;  
n  xy    xy
i ( n  i  )(  xy  i  xy )
n 
2
2

i  xy
 xx
複素ファラデー回転角
F  

2c
  n  i   
 
N
2c

→
F  

2c

i  xy
 xx

磁気光学の式(続き)
 Nˆ  Nˆ   Nˆ  
F  
  Nˆ 
 

i 

 x x  i x y 
 
i 


 x x  i x y  i
xy
 xx
xy
 xx
 xy M
(1 )

 xx 
(0)
1
2
 xx M
(2)
2
磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与

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