cours - Eolipyle

Report
Lycée
des Métiers
LEONARD DE VINCI -
2014/2015
ALGÈBRE/ANALYSE
Objectifs
FONC 9
FONCTIONS EXPONENTIELLES
Connaissances
Capacités (AB, RE, RA, CM, TIC)
x
 Connaître la fonction exponentielle x  e .
 Connaître les propriétés opératoires de la fonction
exponentielle de base e.
ax
 Connaître la dérivée des fonctions x  e (a réel
non nul).
 Connaître le processus de résolution d’équations
ax
ax
du type e = b et d’inéquations du type e  b (ou
ax
e  b).
 Connaître le processus de résolution d’équations
du type ln (ax) = b (avec a > 0) et des inéquations
du type ln (ax)  b (ou tu type ln (ax)  b) (avec
a > 0).
b
 Être capable d’interpréter e comme la solution de
l’équation ln x = b.
 Être capable d’étudier les variations et de
x
représenter graphiquement la fonction x  e sur
un intervalle donné.
 Être capable d’étudier les variations des fonctions
ax
x  e (a réel non nul).
 Être capable de résoudre des équations du type
ax
ax
e = b et des inéquations du type e  b (ou
ax
e  b).
 Résoudre des équations du type ln (ax) = b (avec
a > 0) et des inéquations du type ln (ax)  b (ou
ln (ax)  b) (avec a > 0).
1. Fonction exponentielle
Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI (33) – Laboratoire de Mathématiques Sciences Physiques et Chimiques – C. DUPONT - http://eolipyle.free.fr – TTP 1415 M FONC 9 CO Exponentielles.docx – 2014/2015
1.1. Définition
Soit x un nombre quelconque, la solution de l’équation
ln y = x est y = ex (avec e  2,71828...).
La fonction exponentielle est définie pour tout x réel par
......................
......
x
y
(>0)
()
y
......
avec :  e0 = 1
 e1 = e
e
On constate que pour tout x, ex > ...
1
x
0
1
1.2. Propriétés opératoires
Pour tout x et y réels :  ln (ex) = .....
 eln x = .....
 ex×ey = .........
ex
 y = .........
e
1
 x = .........
e
 (ex)n = ......... (pour tout n réel)
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FONCTIONS EXPONENTIELLES
FONC 9
2. Variations des fonctions définies par f(x) = eax
Soit la fonction f définie pour tout x réel, avec a un nombre réel non nul, par f(x) = eax ;
sa fonction dérivée f ’ est telle que : f ’(x) = a eax.
Le sens de variation des fonctions f dépend alors du signe de a :
Puisque eax > 0, quelque soit x et a (une exponentielle est toujours positive)
 Si a > 0 alors f ’(x) > 0
 Si a < 0 alors f ’(x) < 0
x
–3
2
x
–3
f ’(x)
f ’(x)
f
f
f(x) =e1,5x
y
y
2
2
f(x) =e–1,5x
x
–1
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2
0
1
x
–1
0
1
3. Résolution d’équations
3.1. Équations du type eax=b
Soient a et b deux nombres réels, tels que a  0 et b > 0, pour tout nombre x réel, l’équation
eax = b se résout à l’aide du logarithme népérien :
eax = b
ln (eax) = ln b
ax = ln b
ln b
x=
a
3.2. Équations du type ln (ax) = b
Soient a et b deux nombres réels, tels que a > 0, pour tout nombre x réel positif, l’équation
ln (ax) = b se résout à l’aide de l’exponentielle :
ln (ax) = b
eln (ax) = eb
ax = eb
eb
x=
a
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