le second degré

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LE SECOND DEGRE
Objectifs :
 Revoir la fonction polynôme du second degré
 Résoudre une équation du second degré
 Etudier le signe d’un polynôme du second degré
1/ Fonctions polynômes du second degré :
 Définition :
La fonction f définie sur IR par f(x) = a x2 + b x + c où a, b et c sont trois réels fixés et a  0
s’appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme du second degré.
 Propriété :
Un polynôme du second degré peut s'écrire sous trois formes :
 la forme développée a x² + b x + c qui existe toujours,
 la forme canonique a (x – )² +  qui existe toujours et qu'il faut savoir reconnaître,
 la forme factorisée a (x – x1) (x – x2) qui n'existe pas toujours,
 Exemples : Les fonctions ci-dessous sont des trinômes ; reconnaître leur forme, puis
identifier a, b et c ou  et  ou x1 et x2 :
 f(x) = 3 x2 – 2 x + 1 ………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
 f(x) = (x + 3)2 ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
 f(x) = x2 + 5 ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
 f(x) = –x2 + 3 x ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
 f(x) = (x – 2)2 + 1 …………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
 f(x) = 4(x – 2) (x + 3) ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
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LE SECOND DEGRE
1
 Représentation graphique :
La coure représentative d'une fonction du second degré est une parabole.
 le sommet de cette parabole est le point S ( ; ) que l'on reconnait dans la forme canonique.
 la parabole coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical d'équation x = 0) à la graduation c.
 Sens de variation :
Il dépend du signe du coefficient a :
 Si a > 0, la parabole est « tournée vers le haut »,
 Si a < 0, la parabole est « tournée vers le bas ».
Dans les deux cas :
 le sommet S de la parabole a pour abscisse
b
2a
 la parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par le sommet S de la parabole est un axe
de symétrie de la courbe.
f(x) = x² – 4x + 5
f(x) = x² + 8x + 13
 Exemples :
a>0:

x
f (x)

………………………………………………
a<0:
x


f (x)
………………………………………………
f(x) = – x² – 4x – 5
f(x) = – x² + 6x – 7
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2/ Résolution de l’équation ax² + bx + c = 0, où a est un réel non nul :
 Définition :
 L'équation a x2 + b x + c = 0, avec a  0, est
une équation du second degré.
 Le discriminant du polynôme a x2 + b x + c
est le nombre noté , tel que :
 se lit "Delta" et s'appelle le
discriminant car il permet de
distinguer les trois cas de résolution
 = b² – 4ac
 Théorème : (admis)
 Si  > 0, l’équation a deux solutions distinctes : x1 =
 Si  = 0, l’équation a une unique solution :  =
–b– 
2a
et
x2 =
–b+ 
2a
–b
2a
 Si  < 0, l’équation n’a pas de solution réelle.
 Exemples : Résoudre, dans IR, les équations suivantes :
 x2 – 10 x + 16 = 0
 x2 – 4 x + 4 = 0
 3 x2 + 2 x + 1 = 0
 Ce qu'il faut retenir : (Source : Hachette Education 1STMG - 2012)
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3/ Signe du trinôme ax² + bx + c (a réel non nul) :
 Théorème :
Le signe du trinôme a x² + b x + c dépend :
 du signe du coefficient a qui donne l'allure de la parabole,
 du nombre de solutions de l'équation a x² + b x + c = 0,
suivant le tableau suivant :
 Ce qu'il faut retenir : (Source : Hachette Education 1STMG - 2012)
 Exemples : Etudier le signe des trinômes suivants :
 x2 – 10 x + 16 = 0
 x2 – 4 x + 4 = 0
 3 x2 + 2 x + 1 = 0
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
 – 2 x2 – 10 x – 8 = 0
 – x2 + 8 x – 16 = 0
 – x2 + 5 x – 9 = 0
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……………………………………………………………………………………………………………………
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4/ Des fonctions "particulières" :
a) Fonctions du type : f(x) = a x² avec a réel quelconque :
a>0
-
x
a<0
+
f x   ax 2
a>0
–
x
+
f x   ax 2
a<0
b) Fonctions du type :
f(x) = (x + b)² avec b réel quelconque :
b>0
–
x
b<0
+
f x   x  b 
b>0
–
x
+
f x   x  b 
b<0
2
2
c) Fonctions du type : f(x) = x² + c avec c réel quelconque :
c>0
x
–
f x   x 2  c
c>0
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c<0
+
x
–
+
f x   x 2  c
c<0
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