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L'utilisation des calculatrices n$_t.pas autori pour cette épreuve.
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lmagerie par résonance magnêtique
L,imagerie par résonance magnétique (ou IRM) est une technique utilisée par les radiologues
pour visualiser les tissus mous du corps humain. Elle permet en particulier de localiser précisêment les cancers. Cette technique utilise un champ magnétique intense pour orienter les moments
magnétiques des protons des molécules d'eau, et un champ magnétique oscillant pour en pertur-
ber l'orientation.
Ce probième expose le principe physique de I'IRM, et certains aspects de sa mise en æuvre
pratique.
Données numériques
Perméabitité du vide
:
Conductivité du cuivre :
Masse de I'électron :
Moment magnétique du Proton
Constante de Boltzmann :
Constante de Planck réduite :
Charge élémentaire
lto
o
"
i
TTLe
l-L
ke
h
:
e
Masse du Proton '.
Vitesse de la lumière dans le vide
ffip
:
c
1,3x10-6H.m-1
6,0x107S.m-1
9,1 x 10-31 kg
1,4x10-26J.T-1
!,,4x10-23J.K-1
1, 1x10-34J.s
1,6 x 10-1e C
L,7 x 10-27 kg
3,0x108m,s-1
Formulaire
-T
(-ï
É)
: ffi
(ai" É)
- tÉ
I. Production de champs mâgnétiques intenses et
homogènes
On utilise un solénoïde d'axe Oz,, parcouru par un courant continu, pour produire un champ
magnétique. On choisit un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe Oz, dont on note
(r,0, z) les coordonnées et (O, dr,de,d") le repère orthonormé direct.
que tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de la distribution
de courant. Quelles conditions la densité de courant iUr, ji , jr) doit-elle vérifier pour cela?
I.1 On suppose
I.2
QueIIes conditions en résultent pour le champ tragnétiqu"
ÉçBr,86,B")?
suppose eue je est uniforme à f intérieur d.'un cylindre de révolution creux de ïayon
extérieur R2,de rayon intérieur Er ( R2,et de longuetr L très grande devant Rz. Quelle est ia
particularité du champ magnétique créé par un tel solénoïde ? Donner I'expression de sa valeur
I.3 On
.86 au centre.
l.4La
conductivité ohmique du matériau, notée o, est supposée uniforme. Donner l'expression
puissance
dissipée dans le solénoïde par effet Joule.
de la
I.5
Bs ,
L et Rz êtantfixés, comment faut-il
"hoiri,
Ê1 pour minimiser la puissance dissipée
?
solénoïde de cuivre de longueur L: 1 m délivrant un champ Bo : 1,3 T.
de la puissance dissipée. Comparer à la puissance d'un radiateur
inférieure
Calculer une borne
électrique ordinaire.
I.6 On considère un
comment choisir ,82 pour mlnrmlser I'élévation de température du solénoide
due à l'effet Joule ? Commenter.
I.7 Bo étant fixé,
I.8 On réalise la bobine en enrouiant un fil électrique autour d'un cylindre de rayon ,R1. Expliquer
pourquoi la propriété de symétrie de Ia question I.1 ne peut pas être exacte. Comment réaliser
le bobinage en pratique pour qu'elle soit une bonne approximation
?
f.9 Tracer,
sans calcul, l'allure de ia variation du champ magnétique sur I'axe Oz lorsque R2 et
sont
du
même
ordre de grandeur. Comment faudrait-il modifier le bobinage pour que Ie champ
-L
sur I'axe soit uniforme au voisinage du centre ? On se contentera d'une réponse qualitative et
d'un croquis.
I.10 On parvient à réaliser une bobine telle que le champ sur i'axe soit quasiment uniforme dans
un intervalle autour du centre de la bobine. Montrer que le champ est alors également uniforme
au voisinage de l'axe.
II. Utilisation de supraconducteurs
Pour s'affranchir de l'effet Joule, on utilise pour les bobinages des matériaux supracond,ucteu,rs, qui ont Ia propriété de pouvoir transporter un courant sans dissipation au-dessous d,une
température critiqte 7".
II.1
On adopte un modèle microscopique de supraconducteur dans lequel les électrons de conduc-
tion (de charge -eet de masse m.),initialement au repos, sont mis en mouvement sous I'action
d'un champ électriqu" È, supposé uniforme et constant. Ecrire l'équation du mouvement d'un
électron.
II.2
On note n la densité volumique d'électrons, supposée uniforme. Déduire de la question
précédente une relation simple entre Oî lat et Ë.
On suppose que la relation obtenue à la question II.2 reste vaiable même si le champ n'est
ni uniforme ni constant, et on se place dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires. En
utilisant les équations de Maxwell, montrer que le champ magnétique vérifie I'équation
II.3
#(*,* ù+#u) -0"
(1)
où À est une longueur dont on donnera I'expression.
II.4
Calculer À pour une densité d'électrons de conductiorr n :1628
--3.
II.5 Lorsqu'on plonge un supraconducteur
dans un champ magnétique extérieur, il expulse ce
champ. Cette propriété, qui porte Ie nom d'effet Meissner, est représentée sur la figure 1.
B
Trïc
W
T<Tc
Ftgure 1. Effet Meissner dans une boule supraconductrice placée dans un champ magnét'ique
lorsqu'elle est refro'id'ie sous la température cri,ti.que 7". Les l'ignes sont les l'ignes de champ.
Pour expliquer I'effet Meissner, on postule une relation plus forte que l'équation (1)
+.
1rot(rot B) +
--
0.
^rB
:
(2)
On considère up supraconducteur occupant ie demi-espace r ) 0 dans un système de coordonnées
cartésiennes de repère orthonormé direct (O,d*,dy,dr). On suppose que Ie champ à l'extérieur
du supraconducteur (r < 0) est uniforme et vaut Bod", et on admet qrr" E ne d.épend que de
r. Caiculer le champ magnétique pour r ) 0 en fonction de Bo, r et À. En quoi ce modèle
explique-t-ii l'effet Meissner ?
II.6
Déterminer Ia densité de courant î@) à f intérieur du supraconducteur.
III. Moments magnétiques et aimantation
III.1
Un proton de vitesse nulle possède un moment magnétique intrinsèque y', dont ia norme p
est constante, mais Ia direction peut varier. L'imagerie par résonance magnétique utilise l'interaction des protons des atomes d'hydrogène de i'eau avec un champ magnétique. Donner l'expression
de l'énergie potentielle d'interaction, notée [/, d'un proton (assimité à un dipôle magnétique) avec
un champ magnétique uniforme et constant Éo: Bod".
Appl'ication numér'ique :on donne Bo
:1,5 T. Calculer
les valeurs maximale et minimale de U.
III.2
IJn échantillon étudié par IRM contient un grand nombre de protons dont les moments
magnétiques pointent dans des directions différentes et aléatoires. On admet qu'à i'équilibre
thermodynamique, Ia probabilité pour que la direction d'un moment donné y' soit dans l'angle
solide élémentaire d2f) autour d.'une direction d.onnée vaut
dp:T"*o(
(3)
#)d'Q,
où ? est la température absolue et Z : Il
(- #) d2CI, i'intégrale portaiflt sur toutes les
directions spatiales. Comment s'appelie cette""p
loi ? Dans quel contexte l'avez-vous rencontrée ?
Quelle est la direction d" F la plus probable ?
III.3
Exprimer l'énergie potentielle (J et l'angle solide élémentaire d2f,) dans un système de
coordonnées sphériques d'axe polaire Oz.
III.4 On suppose dorénavant que ltll est très petit devant keT.Est-ce une bonne approximation
à température ambiante avec le champ magnétique de Ia question III.1?
On appelle aimantation d'un échantillon contenant l/ protons Ia somme de leurs moments
magnétiques, noté" tû. Expliquer pourquoi, lorsque.Af >> 1, l'aimantation vaut approximativement Al - lf(D, où (r) désigne la valeur moyenne d" É avec Ia loi de probabilité (3).
III.5
Développer Ia loi de probabilité (3) à l'ordre l enUl(knT). Calculer Ia valeur moyenne de
y' dans cette approximation, et en déduire que I'aimantation vérifie la loi de Curie
III.6
:
M_
luo,
(4)
où C est une constante qu'on exprimera en fonction de N , F et ks.
III.7
Rappeier l'expression du couple exercé par le champ magnétique Bs sur le dipôle magnétique de moment magnétique 17.
III.8
Un proton de vitesse nulie est animé d'rr, *lrvement de rotation propre. Ce mouvement
lui confère un moment cinétique intrinsèque, nommé spin ei noté §, de norme constante S : h,12,
où h, est la constante de Planck réduite. On admet que les vecteurs § et y' sont proportionnels :
û : l§, avec 7 : ltls.Montrer que /7 est animé d'un mouvement de précession de vitesse
angulaire üo : uod", et donner l'expression d.e rr,rs, dite pulsation de Larmor, en fonction de Bs
et ?. Calculer ûrs pour Bo: 1, 5 T.
III.9
Soit un proton de vitesse initiale ?r-0 perpendiculaire à 4. Rappeler l'expression de 1a vitesse
angulaire de sa trajectoire dans Ie champ És (pulsation cyclotron), et comparer sa valeur à celle
de Ia pulsation de Larmor.
IV. Résonance magnétique
L'imagerie par résonance magnétique utilise d'une part un champ uniforme et constant 80,
qu'on qupposefa dirigé suivant l'axe Oz, et d'autre part un champ dépendant du tempr Erlt;,
avec
IV.l
ldll <
lEgl
l[ protons, avec ,^rI > 1. On assimile
chacun de ces protons à un dipôle magnétique soumis au couple exercé par Ie champ magnétique
total Bo + B{t). Ecrire l'équation du mouvement de l'aimantation tit(t) sous }a forme
On place dans le champ un échantillon contenant
dM
-:dt
(do+ü.
ft»^ù
(5)
et définir le vecteur rotation ü;(t) en fonction de -B1(ü).
IV.2 Le champ auxiliaire Ét(t) est un champ tournant autour d. 4 et perpendiculaire à celuici. Dans un référentiel galiléen de repère cartésien R - (O,d*,,dr,d"), ses coordonnées sont
(B1cos(cr..rt), Btsin(ot),0). On définit Ie repère R' : (O,ûx(t),ür(t),û,2(t)) tournant à la vitesse
angulaire c,,r autour d.e I'axe Oz et coincidant avec -R àt
- 0, de telle sorte qr..dr(r) : BLüx(t).
Ecrire l'équation du mouvement de Ii d.ans ,R/.
IV.3 On suppose dans toute cette partie que l'aimantation à ü : 0 est Ia valeur d'équilibre déterminée à la question III.6, ùo: CÉolf . Expliquer pourquoi les composantes de l'aimantation
perpendiculaires à Oz sont petites pour tout ü ) 0, sauf si c..r est très proche de û,,,s.
IV,4 On se place à Ia résonance,
définie par
de I'aimantation dans R/ puis dans ,8.
IV.5 En prenant pour
û,rs
a - as. Décrire au moyen d'un
Ia valeur obtenue à la question
III.8,
schéma I'évolution
à quel dorrrul" de fréquences
appartient le champ B1(t)?
IV.6 On donne Bt:3 x 10-5 T. Calculer
Ia norme du vecteur de Poynting d.'une onde électromagnétique plane de champ magnétiqr" -d,(t) se propageant dans Ie vide.
IV.7 On se place toujours
à la résonance, et on applique le champ ÈrQ) uniquement entre les
instants t
de telle sorte que i'aimantation tourne d'un angle rf2
- 0 et ü : r, où:z est choisi
:
dans -R/ entre les instants ü 0 et ü r. Donner l'expression de r et calcuier sa valeur. Montrer
que I'aimantation est un vecteur constant pour t > r dans -B'. Quelle est sa direction ?
IV.8
En pratique, le champ 86 n'est pas parfaitement homogène sur tout l'échantillon, et l'écart
à }a résonance ôar - a - cr,r6 fluctue autour de 0 d'un bout à I'autre de l'échantillon. On suppose
en tout point Iô"1 < r,.r1. Décrire qualitativement comment évolue l'aimantation de l'échantilion
r
pour
ü
)_r
dans -Rl.
IV.g Pour pallier l'effet de ces inhomogénéités, on applique Ie champ Bt(t) une cleuxième fois
entre les instants t: TB et t - Tn +2r, avec TB ) r, et on mesure l'aimantation à f instant
t : 2Tn Déterminer l'orientation de I'aimantation à ü : 2Ts dans -R' pour 6a : 0, puis pour
6, * 0. Conclure. Cette technique porte le nom d'écho de spzn.
IV.10 L'étude
ci-dessus ne prend en compte que l'interaction des protons avec le champ ma-
gnétique extérieur. Dans cette modélisation, nous avons montré à la question IV.7 qu'à la
rêsonance, I'aimantation dans -Bl est constante après l'arrêt du chamP Bt(ü). En réalité, elle
n'est pas constante indéfiniment mais finit par retburner à sa valeur d'équilibre, déterminée à
la question III.6, sous I'effet de processus dits de relarat'ion On donne les équations d'évolution des coordonnêes (My,Mv,,Mz) de l'aimantation dans -R/ à ia résonance et en l'absence de
champ E1
:
dMx
My
dr
Tz
dMv
d,
:
Mv
dMz
:
Mz-Mo
ü
T2
T1
T1 et ?2 sont deux constantes appelées temps de relaxation. On donne les valeurs ?r : 0, 9 s et
Tz:0, 1 s pour un proton appartenant à Ia matière grise du cerveau. Expliquer pourquoi ii est
lêgitime, avec ces valeurs, de négliger les processus de relaxation entre les instants ü - 0 et t - r.
Résoudre ces équations pour t) r tracer les variations de Mx, Mv et M2.
consiste à mesurer l'aimantation au cours du temps pour t ) r, et à en déduire
T1 et T2, qui dépendent fortement de l'environnement du proton et donnent des informations
fi.nes sur la nature d.es tissus contenus dans I'échantillon étudié. On utilise, pour mesurer T]2,la
technique d.'écho de spin exposée à Ia question IV.9. Quelle valeur de TB choisiriez vous pour
cette mesure ?
IV.l1 L'IRM

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