5.1-2.简谐运动及其参数旋转矢量

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5
机械振动
任课教师
中原工学院
曾灏宪
理学院
 任一物理量在某一定值附近随时间周期性变化均称为振动.
– 力学量(如位移)电磁量(如  、、、)
 机械振动
– 物体在一定位置附近作来回往复运动
– 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动
等.
 简谐运动
– 最基本、 最简单、最重要的振动
– 作简谐运动的物体,称为谐振子
简谐运动
合成
分解
复杂振动
大学物理(上)
5
机械振动
5.1 简谐运动 简谐运动的振幅、
周期、频率和相位
一
简谐运动
例:弹簧振子的振动
l0
x0 F 0
k
m
A
x
o
A
轻弹簧 k + 质点m
集中弹性
集中惯性
回复力和物体惯性交
互作用形成简谐振动
可以运用质点运动学
的方法来分析其运动
特征
F  kx  ma
令 2  k m
a   x
2
a 与 x 方向相反
2
d x
2


x0
2
dt
简谐振动的微分方程

F
o
m
x
x
求解得: 积分常数,根据初始条件确定
x  A cos(t   )
简谐振动的运动方程
dx
v
  A sin(t   )
dt
2
d x
2
a  2   A cos(t   )
dt
二 简谐振动的特征量
x  A cos( t   )
1. 振幅 A
A | xmax |
表示振动的范围(强弱),由初始条件决定。
由
x  A cos( t   )
v   A sin( t   )
在 t = 0 时刻
解得
x0  A cos
v0   A sin 
2
v
A  x02  02

2. 周期T 、频率 v 和角频率 
周期 T 完成一次全振动所经历的时间
频率  单位时间内完成全振动的次数。单位: Hz
角频率  (或称圆频率)
在 2π 秒时间内完成全振动的次数
  2
  1/T
单位:rad /s
T  2/
 km
是由系统本身决定的常数,与初始条件无关
固有角频率
3. 相位
t  
x  A cos(t   )
v   A sin(t   )
讨论
1) t
   ( x, v) 存在一一对应的关系;
( t   )是t时刻的相位
相位是描述振动状态的物理量
2)相位在 0 ~ 2π 内变化,质点无相同的运动状态;
(t   ) 每变化 2整数倍,x、v重复原来的值(回
到原状态),最能直观、方便地反映出谐振动的周期性。
相差  (n为整数)的质点运动状态全同.(周期性)
x  A cos(t   )
v   A sin(t   )

A
例:当  t   
时: x  ,
3
2
3
v
A
2
质点在x  A 2 处以速率v向  x方向运动
5
A
当  t     时: x  ,
3
2
3
v
A
2
7
A
当  t     时: x  ,
3
2
3
v
A
2
质点在x  A 2 处以速率v向 x方向运动
质点在x  A 2 处以速率v向  x方向运动
3)初相位 
(t  0)
描述质点初始时刻的运动状态.
描述t = 0时刻运动状态,在振动过程中保持不变,
由初始条件确定。
由 t = 0时
x0  A cos
v0   A sin 
x0
或 cos 
A
 v0
sin  
A
v0
  arctg(
)
x0
由cos 大小和sin  的符号决定
取值范围0 ~ 2 或 -  ~ 
利用初相可以方便地比较同频率简谐振动的步调
x1  A1 cos( t  1 )
x2  A2 cos( t   2 )
相位差
  (t   2 )  (t  1 )   2  1
  2k
同相
   ( 2k  1) 反相
(k  0,1,2,...)
  0, x2振动超前x1  ;
  0, x1振动超前x2 
超前
落后
三 简谐振动的图像
x  A cos(t   )
T
2π

取  0
A
o
A
A
v   A sin(t   )
o
π
 A cos( t    )  A
2
a   A cos(t   )
A 2
2
o
 A cos(t   π )
2
 A
2
x
x t 图
T
v
v t 图
T
a
t
t
a  t图
T
t
简谐运动中,x 和 v 间不
存在一一对应的关系.
x  A cos(t   )
v   A sin(t   )
x1  A1 cos( t  1 )
x2  A2 cos( t   2 )
x
x
o
t
  0 同步
o
A

v
x
o
T
2
A
x t 图

v
T
t
用振动的图像可以方便地
比较同频率谐振动的步调
x
t
  π 反相
o
 为其它
t
超前
落后
也可以比较不同物理
量作同频率谐振动的
步调
x  A cos(t   )
π
v  A cos( t    )
2
a  A 2 cos(t    π)
速度 v 超前位移 / 2
而落后于加速度 / 2
A
x
o
A
A
T
v
 A
o
 A
2
a
t
v t 图
T
o
A 2
x t 图
t
a  t图
T
t
四 简谐运动的判断(满足其中一条即可)
1)物体受线性回复力作用  = −
动力学特征
判据1:凡物体所受回复力与位移成正比且反向时,
物体的运动是简谐振动。
2)简谐运动的动力学描述
 


= − 
运动学
特征
判据2:若某物理量满足*方程,即该物理量对时间
的二阶导数与其自身成正比且反号时,该物理量的
变化称为简谐振动。
3)简谐运动的运动学描述
x  A cos(t   )
(在无外驱动力的情况下) v   A sin(t   )
判据3:任何一个物理量如果是时间的余弦(或正弦)
函数,该物理量的变化称为简谐振动。
简谐运动的特征
a   x
2
单摆
弹簧振子   k m
(由振动系统本身性质决定)
 g l
大学物理(上)
5
机械振动
5.2 旋转矢量

2π

T
当
t 0
o

A
时

x0  A cos 
x0
x
以
o为
原点旋转矢

量 A的端点
在
x 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.

A
2π

T
t t 时
o
以

原点旋转矢

量 A的端点
t  
x
x  A cos(t   )
x0
o为
x
在
x 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.

y vm
t  
0

an
π
t   
2
 v
a
x  A cos(t   )

A

vm  A
an  A
2
x
π
v  A cos( t    )
2
a   A cos(t   )
2
用旋转矢量图画简谐运动的

x
x
A
A

O
x  A cos(t   )
*
*
O * T
T * 3T
2
4
4
*
-A
-A
x t
*
*
*
图
π

4
*
T
5T
4
t
T  2π  (旋转矢量旋转一周所需的时间)
对同一简谐运动,相位差可以给出两运动状态间
变化所需的时间.
x
A
A2
o
A
  (t2   )  (t1   )
x  A cos(t1   )

t  t 2  t1 
x  A cos(t2   )


Ab
a
b

v
π
 
3
t

A
π 3
1
t 
T T
2π
6
0 A 
2

Aa A
x
旋转矢量  与谐振动的对应关系
r
旋转矢量 A
模
角速度
r
t=0时,A 与Ox夹角
旋转周期
r
t时刻,A 与Ox夹角
r
A 在Ox 上的投影
r
A 端点速度在Ox 上的投影
r
A 端点加速度在Ox 上的投影
简谐振动 符号或表达式
振幅
角频率
初相
A

 0O
ω
M
r
A (ωt + )
P
相位
T=2/ 
t+
位移
x =Acos(t+ )
速度
v =-  Asin(t+ )
加速度
a =-  2Acos(t+ )
振动周期
x
例
已知 t
 0, x  0, v  0 求 
x  A cos(t   )

v
0  A cos
π
 
2
 v0   A sin   0
π
 sin   0 取  
2
π
x  A cos( t  )
2
x
o
A
o
A
x
T
T
2
t
例
由振动曲线确定初相
解 由振动曲线知  =  时刻
v0  0
A
x0 
2
x
r
A v0
A/2
0
x0 1
cos    0
A 2
v0   A sin   0
sin   0

5


或
3
3
为第四象限角
t
例2 弹性系数为k的轻弹簧系一质量为m的物体。系统达到平衡后,
把物体向下拉开距离 x0,然后由静止释放。问物体的振动是否是
简谐振动,若是用余弦函数表示物体的振动方程。
解:
以物体平衡位置处为坐标原点,物体在任一
位置x所受合力
F  kx
d2 x
 kx  m 2
dt
k
2
dx
k
 x
dt
m
x
2
m
因此物体运动是简谐振动
2
dx k
 x0
dt m
2
2
k
令 =
m
dx
 x  0
dt
2
2
2
x  A cos(ω t   )
物体在 x 处计时起点,有 t  0时, v  0, x  x
0
0
又有x0 cos   x0 , 得  0
0
v02
 A  x  2  x0

2
0
 k 
x  x cos
t 
 m 
0
例
向
一质点作谐振动,周期为T,当它由平衡位置
x 轴正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大
位移处这段路程所需要的时间为
(1)T/4
(2)T/12
(3)T/6
(4)T/8
 π 3 t


2π
2π
T
t  T 6
A

 T
t 


2

2
T
0

A 2 Ab
 A

Aa
x

A
00
A 2
A
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示,求振动周
期.
x
7.5
t (s )

v

t 0
A
A2
t  7.5s x  0 v  0
  5π 6

0
t  7.5s
A
t 0 x
v0
2
Ax
 t 7 . 5


2π T
T
T  18s
例
如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹
1
簧的劲度系数 k  0.72N  m ,物体的质量 m  20g .
(1)把物体从平衡位置向右拉到 x  0.05 m 处停
下后再释放,求简谐运动方程;
A
(2)求物体从初位置运动到第一次经过
处时的
2
速度;
(3)如果物体在 x  0.05 m 处时速度不等于零,
1
而是具有向右的初速度 v0  0.30m  s,求其运动方程.
x/m
o
0.05
k
0.72N  m 1

 6.0s 1
解 (1)  
m
0.02kg
A  x0  0.05m
v0   A sin   0
 0 或 π
o
因向X轴负方向运动
 0
x  A cos(t   )  0.05 cos 6.0t m
由旋转矢量图可知
A
x
A
(2)求物体从初位置运动到第一次经过
处时的
2
速度;
解
x  A cos(t   )  A cos(t )
x 1
cos( t )  
A 2
π
5π
t  或
3
3
π
由旋转矢量图可知  t 
3
v   A sin t
 0.26m  s
1

A
o
A
2
A
x
(负号表示速度沿 Ox 轴负方向)
(3)如果物体在 x  0.05 m 处时速度不等于零,
1
而是具有向右的初速度 v0  0.30m  s,求其运动方程.
解 A'

x 
2
0
v
2
0
2
 0.0707m

 v0
tan'
 1
x0
π
3π
'  或
4
4
o
π 4
x
A' 
 0 ,由旋转矢量图可知 '  π 4
π
x  A cos(t   )  0.0707 cos( 6.0t  )
因为 v 0
4
例
一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动,其振
幅为 0.08 m ,周期为 4s ,起始时刻物体在 x  0.04 m
处,向 Ox 轴负方向运动(如图).试求
(1) t
 1.0s
时,物体所处的位置和所受的力;
v
 0.08  0.04
解
o
A  0.08 m
x/m
0.04
0.08
2π π 1

 s
T
2
2π π 1

 s
T
2
A  0.08 m
t  0, x  0.04m
代入 x
0.04  0.08cos
π
 v0  0   
3
 0.08  0.04
 A cos(t   )
π
 
3

A
π 3
o
0.04
π
x  0.08 cos( t 
2
x/m
0.08
π
)
3
m  0.01kg
 0.08  0.04
v
o
x/m
0.04
0.08
π
π
x  0.08 cos( t  )
2
3
t  1.0s 代入上式得
x  0.069 m
F  kx  m x  1.70 103 N
2
(2)由起始位置运动到 x  0.04 m 处所需要
的最短时间.
v
 0.08  0.04
o
x/m
0.04
0.08
法一 设由起始位置运动到 x  0.04 m 处所
需要的最短时间为 t
π
π
 0.04  0.08 cos( t  )
2
3
t  0.667 s
解法二
t

时刻
π 3
t
 0.08  0.04
π
t 
3
o
起始时刻
π 3
0.04
π 1
 s
2
x/m
0.08
t  0.667 s
例 已知谐振动的 A 、T ,求 1)如图简谐运动方
程, 2)到达 a、b 点运动状态的时间 .
解法一
x
a*
x  A cos(t   )
A
b
*
A2
从图上可知

v
t
0
A
π
π 5π
  或 ( , )
3
3 3
 v0  0, sin   0
π
5π
   或
3
3
A
t  0, x  , v  0
2
A
 A cos 
2
1
cos 
2
π
x  A cos(t  )
3
x
v a
A
A2
0
* b
*
t
π
x  A cos(t  )
3
A  A cos(t a  π 3)
π
t a   0,2 π,4 π 
3
A
π
 (t a  )  2π
A
3
 A cos(tb  π 3)
2
T
2π
π
π π 5π 7 π
tb   , ,   ta   0 ta 
T
3
3 3 3 3
6
π
2π
π π
 (tb  )  2π
t

T
3

t


b
b
3
T
3 3
x
v a
A
A2
解法二
用旋转矢量法求初相位
* b
*
t
0
A
x  A cos(t   )
A
t  0, x  , v  0
2
矢量位于
A
0  A/2 A
x
x 轴下方时 v  0
π
 
3 π
x  A cos(t  )
3
x
v a
A
A2
t  tb
* b
*
t
0
A
π
x  A cos(t  )
3
π π
  0  ( ) 
3 3

T
ta 
2π
T 
6
A
t

t
a
A/2
A x
0 

t 0
π
π 2π
   ( ) 
3
3
3

T
tb 
T 
2π
3
作业
 P142: 8;10;12
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程(第二版)上册》
(马文蔚 周雨青 编)配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有;部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”;其余文字资料由 Haoxian Zeng 编写,
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