Examen et Corrigé du RDM 2

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MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITÉ ABOU BAKR BELKAID – TLEMCEN
FACULTÉ DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GÉNIE CIVIL
LICENCE PROFESSIONNALISANTE en « Génie Civil »
EXAMEN DE
RDM 2 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Durée : 1H30mm
21/05/2014
Questions de cours
(5 pt)
Cocher la ou les bonnes réponses
1. Afin de déterminer les efforts dans certaines barres seulement d’un système à treillis,
on utilise la :

Méthode des sections

Méthode des nœuds
2. La méthode des 3 moments permet de déterminer les :

Efforts sur appuis

Moments sur appuis
3. Deux poutres de même matériau, de même section et de même longueur sont : la
première encastrée à ses deux extrémités, l’autre articulée à ses deux extrémités.
Quelle est de ces deux poutres, celle pour qui la charge critique d’Euler est la plus
élevée ?

La première

la seconde
4. Afin de réduire le risque de Flambement, on :

Réduire la section


Ajouter des appuis intermédiaires 
Changer les conditions d’appuis
Diminuer la limite élastique
5. Plus une pièce est élancée plus le risque au flambement est faible ?

Vrai

Faux
6. Le déversement des poutres est :

Une flexion autour de l’axe y-y

Une compression


Une torsion
Une flexion autour de l’axe z-z
7. Quels sont les paramètres infectant le moment critique de déversement :

Moment d’inertie Iy

Moment de torsion It

Longueur de la poutre

Moment d’inertie Iz

Efforts appliqués

Limite élastique
Exercice 1
(5 pt)
Calculer les forces dans les barres BC, FC et FE
B
2 kN
C
4m
A
3m
6m
3m
D
E
F
3 kN
5 kN
Exercice 2
(10 pt)
Etude d’une panne reposant sur trois portiques
Une panne reposant sur trois portiques est modélisée comme l’indique la figure ci-dessous.
Cette poutre (panne) est de section constante, de moment d’inertie Iz et elle est en acier.
5 kN/ml
A
C
B
4m
4m
En appliquant la méthode des 3 moments (formules de Clapeyron) :
1. Déterminer les expressions des sollicitations internes dans la poutre ABC
2. Tracer les diagrammes des sollicitations internes dans la structure
3. Déterminer les expressions des réactions aux points A, B et C
E=210 000 MPa
SOLUTION
Questions de cours
(5 pt)
1. Afin de déterminer les efforts dans certaines barres seulement d’un système à treillis,
on utilise la :

Méthode des sections

Méthode des nœuds
2. La méthode des 3 moments permet de déterminer les :

Efforts sur appuis

Moments sur appuis
3. Deux poutres de même matériau, de même section et de même longueur sont : la
première encastrée à ses deux extrémités, l’autre articulée à ses deux extrémités.
Quelle est de ces deux poutres, celle pour qui la charge critique d’Euler est la plus
élevée ?

La première

la seconde
4. Afin de réduire le risque de Flambement, on :

Réduire la section


Ajouter des appuis intermédiaires 
Changer les conditions d’appuis
Diminuer la limite élastique
5. Plus une pièce est élancée plus le risque au flambement est faible ?

Vrai

Faux
6. Le déversement des poutres est :

Une flexion autour de l’axe y-y

Une compression


Une torsion
Une flexion autour de l’axe z-z
7. Quels sont les paramètres infectant le moment critique de déversement :

Moment d’inertie Iy

Moment de torsion It

Longueur de la poutre

Moment d’inertie Iz

Efforts appliqués

Limite élastique
Exercice 1
(5 pt)
C 2 kN
B
B
FBC
FFC
4m
A
3m
6m
3m
F

HD
E
F
FFE
3 kN
3 kN
VA
1.
A
D
5 kN
VD
VA
Calcul des réactions d’appuis
=0
-VA.12+3.9+5.3-2.4=0

VA=2.83 kN
(0,5 pts)
VA+ VD=8kN

VD=5,17 kN
(0,5 pts)
HD=2 kN
2.
(0,5 pts)
Calcul des dans les barres BC, FC et FE
=0
-VA.3-FBC.4=0

FBC=-2,12 kN
Compression
(1 pt)
=0
VA – 3kN +FFCv = 0
=
= ,
FFCv = 0,17 kN

=
=
FFC = +0,31 kN
= ,
.
∝
=
(0,5 pts)
,
=+ ,
,
Traction
(1 pt)
=0
FBC + FFE + FFC.h = 0
Alors
FFE =- FBC - FFC.h
.
=
FFE =- (-2,12 kN) – 0,31x0,832 = 1,86kN
.
∝
Traction
(1 pt)
Exercice 2
(10 pt)
Le système est hyperstatique d’ordre 1. Il nous faut établir donc une équation
supplémentaire pour résoudre le problème.
1. Expressions des sollicitations internes dans la poutre ABC
Il faut tout d’abord déterminer les équations de l’effort tranchant v(x) et du moment
fléchissant mf(x) dans chacune des poutres isostatiques.
Les deux poutres isostatiques sont identiques (même portée et même chargement)
5 kN/ml
5 kN/ml
B
A
C
B
4m
4m
Tronçon AB
0 < x < 4m
mf(x) = -(1/2)qx2+(1/2)qLx
v(x) = qx-(1/2)qL
et
q=5kN/ml et L=4m
alors :
v(x) = 5x-10
et
mf(x) = (-5/2)x2+10x
Ces équations sont les mêmes pour le tronçons BC
(0,5 pts)
(0,5 pts)
(0,5 pts)
Si MA, MB et MC, sont les moments sur les appuis A, B et C, la formule des 3 moments
s’écrit :
L1.MA+2.MB.(L1+L2)+2.L2.MC = 6.E.IZ .(d - g)
(1)
(0,5 pts)
L1 = L2= L = 4 m
Les moments sur les deux appuis d’extrémités MA et MB sont nuls.
(0,5 pts)
L’équation s’écrit alors : 2.MB.L = 3.E.IZ .(d - g)
(0,5 pts)
(2)
Il reste à calculer les valeurs des rotations A et B
Pour une poutre chargée uniformément par q et de longueur L, on a les expressions des
rotations à droite et à gauche suivantes :
=−
et
=+
(0,5 pts)
On remplace les expressions des rotations de sections dans l’équation (2) :
=−
=−
.
(1 pts)
Equations du moment fléchissant et effort tranchant
Les formules générales sont les suivantes :
( )=
( )+
+
1−
( )= ( )+
−
Il suffit de remplacer MB par son expression. Ce qui donne :
( )=−
+ 10 − 10
( ) = 5 − 10 +
=−
( − 3)
(0,5 pts)
= 5( − )
(0,5 pts)
On peut donc tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant dans la
poutre ABC
On procède par tracer les diagrammes pour le tronçon AB puis on fera une symétrie par
rapport au point B
12.5 kN
7,5 kN
(1,5 pts)
-7,5 kN
x=1,496m
5,625 kN.m
12.5 kN
5,625 kN.m
(1,5 pts)
-10 kN.m
Pour déterminer les expressions des réactions d’appuis, il suffit de constater que la
discontinuité de l’effort tranchant aux appuis est générée par la réaction d’appuis.
On peut donc en déduire les résultats suivants :
RA = - VAB(A) = 7,5 kN
(0,5 pts)
RC = RA = 7,5 kN
(0,5 pts)
RB + VBC(B) = VAB(B)
RB = 12,5 –(-12,5) = 25 kN
(0,5 pts)

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