KROK PO KROKU Z MATEMATYK* - Kompetencje kluczowe drogą

Report
KROK PO KROKU
DO MATURY Z
MATEMATYKI
Jesteśmy uczniami klasy 3d z Zespołu Szkół Nr 1 im.
Noblistów Polskich w Pyrzycach. W ramach projektu unijnego
„Kompetencje Kluczowe Drogą do Kariery” przygotowujemy
się do egzaminu maturalnego z matematyki. Ponieważ jesteśmy
uczniami klasy humanistycznej, to przygoda z matematyką
nabiera nowego wymiaru. Od początku roku szkolnego krok po
kroku „przechodzimy” przez kolejne działy matematyki, aby jak
najlepiej zdać egzamin. Wybraliśmy kilka przykładowych
zadań, które rozwiązaliśmy.
STANOWIMY ZESPÓŁ Z1M2
ZESPÓŁ Z1M2
ROZDZIAŁ I
LICZBY I DZIAŁANIA
1. Uzasadnij, że liczba
jest wymierna.
[2p]
2. Pan Lewandowski zarabia miesięcznie 3500 zł netto. W
grudniu na jego konto razem z pensją wpłynął dodatek
świąteczny, a kwota, którą otrzymał, wyniosła 3745 zł. Jaki
procent comiesięcznej pensji stanowi dodatek świąteczny?
[2p]
3. Dane są zbiory:
A-Zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek: │x - 3│< 6,
B- zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek: 1≤ 3x –
2 ≤12.
Ile parzystych liczb naturalnych należy do zbioru A\ B
[4p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ I
LICZBY I DZIAŁANIA
Zadanie 1.
Postęp:
Zastosowanie własności pierwiastków:
*
=
1p
=
Rozwiązanie bezbłędne:
Obliczenie wartości wyrażenia 1, zatem jest to liczba wymierna.
2p
Zadanie 2.
Postęp:
Zapisanie równania: 3500p=245, gdzie p oznacza szukany procent.
Rozwiązanie bezbłędne:
Obliczenie p: p=7%
1p
2p
Zadanie 3
.
Postęp:
Wyznaczenie zbioru A: A=(-3; 9)i 3
1p
Pokonanie zasadniczych trudności
Zapisanie nierówności: 3x-21 i 3x-2≤12
2p
Rozwiązanie prawie całkowite:
Wyznaczenie zbioru B B =<1; 4
>
3p
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie zbioru A\B oraz parzystych liczb naturalnych
należących do zbioru A\B=(-3; 1)(4 ;9); są trzy takie liczby
4p
ROZDZIAŁ II
WYRAŻENIA
ALGEBRAICZNE
1. Dany jest wielomian y= -2x2 + bx + c. Wiadomo, że do
wykresu należą punkty A=(1,6), B(-2,-9). Wyznacz
parametry b,c.
[2p]
2. Wyznacz dziedzinę wyrażenia W=
[2p]
3. Dany jest wielomian W(x)=2 x2 – mx + 5m. Wyznacz
wszystkie wartości parametru m tak, aby wielomian miał
dokładnie dwa miejsca zerowe.
[4p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ II
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Zadanie 1.
Postęp:
1p
Zapisanie układu:
Rozwiązanie bezbłędne:
Rozwiązanie układu równań
2p
Zadanie 2
.
Postęp:
Zapisanie warunku x3 – 16x = 0 i doprowadzenie go do postaci
x(x2 -16) = 0
1p
Rozwiązanie bezbłędne:
Rozwiązanie warunku i zapisanie odpowiedzi: D=R\ {-4, 0, 4}
2p
Zadanie 3.
Postęp:
1p
Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania: Δ>0
Pokonanie zasadniczych trudności.
Zapisanie nierówności: m2 -40m>0
2p
Rozwiązanie prawie całkowite:
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
3p
m1=0, m2=40
Rozwiązanie bezbłędne:
Rozwiązanie nierówności: mє(-∞,0)(40,+∞)
4p
ROZDZIAŁ III
RÓWNANIA I
NIERÓWNOŚCI
1. Rozwiąż równanie 3x3 – 6x2 + 5x -10 = 0
[2p]
2. Rozwiąż nierówność (2x – 1)2 –( 5x +2)2 >8(x+1) + 8x2 – 13
– 36x2.Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę
nierówność.
[4p]
3. Wykaż, że dla każdej wartości parametru m nierówność
x2 + (m+1)x + m2 + 1<0
jest fałszywa dla każdej liczby rzeczywistej x.
[4p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ III
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Zadanie 1.
Postęp:
1p
Zapisanie równania w postaci : (x-2)(3x2+5)=0
Rozwiązanie bez błędne:
Zapisanie odpowiedzi: x=2
2p
Zadanie 2.
Postęp:
1p
Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia do przekształcenia
lewej strony nierówności
8x5 -12x2 + 6x-1 – (25x2 + 20x + 4x)>8(x + 1) + 8x5 -13 – 36x2
Istotny postęp:
2p
Zapisanie lewej strony nierówności: -x2 -22x>0
Pokonanie zasadniczych trudności
3p
Rozwiązanie nierówności : mє(-22,0)
Rozwiązanie bezbłędne:
Zapisanie odpowiedzi: x=-1
4p
Zadanie 3.
Postęp:
1p
Wyznaczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego: Δ= 3m2 +2m -3
Pokonanie zasadniczych trudności
Wykazanie, że wyróżnik jest ujemny dla każdej liczby
rzeczywistej m : Δm = -32 i ramiona są skierowane w dół
Rozwiązanie bezbłędne:
Zapisanie wniosku: wyróżnik Δ= -3m2 +2m -3 stale ujemny i
ramiona paraboli skierowane do góry, zatem wszystkie
wartości trójmianu są dodatnie, czyli podana nierówność jest
zawsze fałszywa.
3p
4p
ROZDZIAŁ IV
FUNKCJE
1. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x)=
[2p]
2. Miejscem zerowym funkcji f(x)=ax + 2 jest liczba . Wyznacz
wzór funkcji f i podaj argumenty, dla których wartości
funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g(x)= -3x + 4.
[4p]
3. Wykres funkcji f danej wzorem f(x)= - x2 +bx +c.
a) Wyznacz współczynniki b i c, a następnie naszkicuj
wykres funkcji f
b) Dla jakich wartości x wykres funkcji f leży powyżej
wykresu funkcji g(x) = x + 2?
[5p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ IV
FUNKCJE
Zadanie 1.
Postęp:
1p
Wyznaczenie dziedziny funkcji: D=R\{-5}
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie miejsc zerowych: x=0, x=5
2p
Zadanie 2.
Postęp:
Zapisanie równania:
1p
a +2 =0
Istotny postęp:
2p
Wyznaczenie a: a=-4 i zapisanie wzoru funkcji: y= -4x+2
Pokonanie zasadniczych trudności
3p
Zapisanie nierówności : -4x+2< -3x+4
Rozwiązanie bezbłędne:
4p
Rozwiązanie nierówności: xє(-2;∞)
Zadanie 3.
Postęp:
1p
Zapisanie funkcji w postaci iloczynowej y= - (x+2)(x-4)
Pokonanie zasadniczych trudności
2p
Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej y= - x2 +
x + 4 i podanie odpowiedzi b=1, c=4.
Naszkicowanie wykresu funkcji
Rozwiązanie prawie całkowite:
3p
Zapisanie nierówności - x2 + x + 4> x+2
Rozwiązanie bezbłędne:
4p
Podanie odpowiedzi: xє(-2,2)
ROZDZIAŁ V
CIĄGI
1. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an=n5 – 5n2 + n -5. Wykaż,
że ten ciąg ma tylko jeden wyraz równy 0.
[2p]
2. Tomek, Marcin, Jurek zbierają znaczki. Liczby znaczków
chłopców w podanej kolejności tworzą malejący ciąg
geometryczny. Marcin ma 450 znaczków. Oblicz, ile
znaczków mają pozostali chłopcy, jeśli w sumie wszyscy
trzej mają ich 1425.
[5p]
3. Dany jest ciąg (x, 2x+y, y,18). Wyznacz liczby x i y tak, aby
trzy pierwsze wyrazy tego ciągu tworzyły ciąg arytmetyczny,
a trzy ostatnie – geometryczny.
[5p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ V
CIĄGI
Zadanie 1.
Postęp:
1p
Zapisanie wyrazu ogólnego ciągu w postaci : an =(n2
+ 1)(n - 5)
Rozwiązanie bezbłędne:
2p
Uzasadnienie tezy zadania: jedynym rozwiązaniem równania
w zbiorze liczb naturalnych dodatnich jest liczba 5, zatem
tylko piąty wyraz ciągu jest równy 0.
Zadanie 2.
Postęp:
1p
Zapisanie układu równań:
Pokonanie zasadniczych trudności:
2p
Zapisanie równania z jedną niewiadomą np. : x2 -975x +
202 500=0
Rozwiązanie prawie całkowite:
3p
Rozwiązanie równania: x=300 lub x=675
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi
uwzględniającej treść zadania: Tomek ma 675, a Jurek 300
znaczków.
5p
Zadanie 3.
Istotny postęp:
2p
Zapisanie układu równań:
Pokonanie zasadniczych trudności
3p
Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. : 9x2 =18(2x-3x)
Rozwiązanie prawie całkowite:
4p
Rozwiązanie równania: x=0 lub x=-2
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi:
lub
5p
ROZDZIAŁ VI
FUNKCJE
TRYGONOMETRYCZNE
1. Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest
równość
tg α +
=
[2p]
2. Jedna z przyprostokątnych trójkąta jest o 6 dłuższa od
drugiej. Tangens kąta ostrego jest równy . Wyznacz pole i
obwód tego trójkąta.
[6p]
3. Dany jest kąt α taki, że 00 < α < 900 i tg α = 2.
Oblicz wartość wyrażenia W=
.
Wynik przedstaw w postaci ułamka o wymiernym mianowniku.
[4p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ VI
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Zadanie 1.
Postęp:
1p
Przekształcenie lewej strony tożsamości do
postaci: L=
+
Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wykazanie
tożsamości: L=
+
=
=P
2p
Zadanie 2.
Postęp:
1p
Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w
postaci: a, a+6
Istotny postęp:
2p
Zapisanie równania:
=
Pokonanie zasadniczych trudności
3p
Rozwiązanie równania: a=9
Rozwiązanie prawie całkowite:
4p
Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 354
Rozwiązanie bezbłędne:
Obliczenie pola i obwodu trójkąta: P=
6p
, L=3(8+54)
Zadanie 3.
Postęp:
Zapisanie układu równań:
1p
Istotny postęp:
Rozwiązanie układu równań:
2p
Pokonanie zasadniczych trudności:
Zapisanie wyrażenia w postaci: W=
3p
Rozwiązanie bezbłędne:
Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie wartości
wyrażenia w żądanej postaci: W=
4p
ROZDZIAŁ VII
PLANIMETRIA
1. Dany jest prostokąt ABCD o przekątnych długości 12 i kącie
między przekątnymi 1200. Oblicz pole tego prostokąta.
[2p]
2. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg
arytmetyczny o pierwszym wyrazie 2. Wyznacz pole i
obwód trójkąta.
[5p]
3. Dany jest równoległobok ABCD o kącie 1200, dłuższej
przekątnej 18 i krótszym boku 8. Oblicz długość drugiego
boku tego równoległoboku.
[5p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ VII
PLANIMETRIA
Zadanie 1.
Postęp:
1p
Obliczenie jednego z boków prostokąta: 6, 63
Rozwiązanie bezbłędne:
2p
Obliczenie drugiego z boków prostokąta i jego pola:
P=363
Zadanie 2.
Postęp:
1p
Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w
postaci: a, a+6
Istotny postęp:
2p
Zapisanie równania:
=
Pokonanie zasadniczych trudności
3p
Rozwiązanie równania: a=9
Rozwiązanie prawie całkowite:
4p
Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 354
Rozwiązanie bezbłędne:
Obliczenie pola i obwodu trójkąta: P =
6p
, L=3(8+54)
Zadanie 3.
Postęp:
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie
dokładnych oznaczeń:BC=8; CE – odcinek prostopadły
do AB i E należy do prostej AB; jeżeli kąt ABC=1200, to
kąt CBE=600
Istotny postęp:
1p
2p
Wyznaczenie długości odcinka BE: BE=4
Pokonanie zasadniczych trudności:
3p
Wyznaczenie długości wysokości CE: CE=43
Rozwiązanie prawie całkowite:
4p
Wyznaczenie długości odcinka AE: AE=269
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie długości drugiego boku równoległoboku AB:
AB=269- 4
5p
ROZDZIAŁ VIII
GEOMETRIA
ANALITYCZNA
1. Wyznacz równanie prostej k prostopadłej do prostej l o
równaniu 2x + 5y – 1 = 0 przechodzącej przez punkt
A=(0,-4).
[2p]
2. Prosta l o równaniu 2x - y + 4 = 0 przecina okrąg o równaniu
x2 – 2x + y2 + 4y = 32 w punktach A i B. Wyznacz
współrzędne punktów A, B i długość cięciwy AB.
[4p]
3. Dany jest kwadrat ABCD. Kolejne wierzchołki tego kwadratu
mają współrzędne A=(-2,-2), B=(3,3).
a. Wyznacz współrzędne wierzchołka C kwadratu
b. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie B i
promieniu r =AB.
[7p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ VIII
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zadanie 1.
Postęp:
Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej
prostopadłej do: a=-5
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do:
y=-5x-12
1p
2p
Zadanie 2.
Postęp:
Zapisanie układu równań:
Pokonanie zasadniczych trudności:
Rozwiązanie układu i zapisanie współrzędnych
punktów A, B: A=(0,4); B=
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie długości cięciwy AB: AB=
1p
3p
4p
Zadanie 3.
Postęp:
Wyznaczenie długości boków kwadratu:
AB=
Istotny postęp:
Wyznaczanie równania prostej AB: y=x
1p
2p
Pokonanie zasadniczych trudności
Wyznaczanie równania prostej BC: y=x+6
3p
Pokonanie zasadniczych trudności
Zapisanie układu równań:
5p
Rozwiązanie prawie całkowite:
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka
C: C(-2,8) lub C(2,-8)
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie równania okręgu:
(x-3)2+(y-3)2=50
6p
7p
ROZDZIAŁ IX
STEREOMETRIA
1. Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o wysokości
12. Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy ma miarę 600 . Oblicz objętość
graniastosłupa.
[2p]
2. Dany jest prostopadłościan, którego przekątna jest równa
89, a krawędzie podstawy 3 i 4. Oblicz długość wysokości
tego prostopadłościanu.
[2p]
3.Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem
600, pole powierzchni bocznej stożka jest równe 162. Oblicz
objętość tego stożka.
[6p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ IX
STEREOMETRIA
Zadanie 1.
Postęp:
Wyznaczenie krawędzi podstawy graniastosłupa a=45
1p
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie objętości graniastosłupa: V=1443
2p
Zadanie 2.
Postęp:
Wyznaczenie przekątnej podstawy: d=5
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: h=8
1p
2p
Zadanie 3.
Postęp:
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych
oznaczeń:
h,l – odpowiednio wysokość i tworząca stożka
r – promień podstawy stożka
Pokonanie zasadniczych trudności
Zapisanie układu równań:
Rozwiązanie prawie całkowite:
Rozwiązanie układu równań: r=9 i l=18
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie wysokości i objętości walca: h=93, V=2433
1p
5p
4p
6p
ROZDZIAŁ X
RACHUNEK
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1.
Rzucamy
kostką
do
gry
i
monetą.
Oblicz
prawdopodobieństwo, że wyrzucimy orła i liczbę oczek
będącą liczbą pierwszą.
[2p]
2. A i B są zdarzeniami losowymi takimi, że P(A)=0,1 i P(B)=0,3,
P(AB)=0,75. Oblicz P(AB).
[2p]
3. Rzucamy dwa razy sześcienną symetryczną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo, że na każdej kostce wypada
liczba oczek podzielna przez 3 lub na każdej kostce
wypadło mniej niż 4 oczka.
[6p]
ODPOWIEDZI:
ROZDZIAŁ X
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Zadanie 1.
Postęp:
Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych:
Rozwiązanie bezbłędne:
Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń A – wyrzucenie orła i liczby
oczek będącej liczbą pierwszą: A=3 i obliczenie prawdopodobieństwa
zdarzenia A:
P(A)=
=
1p
2p
Zadanie 2.
Postęp:
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i B:
P(A)=0,9, P(B)=0,85
Rozwiązanie bezbłędne:
Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i
B: P(AB)=0,85
1p
2p
Zadanie 3.
Postęp:
Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych:
1p
Istotny postęp:
Wyznaczenie liczebności zdarzenia A – na każdej
kostce wypadła liczba oczek podzielna przez 3: A=4i
wyznaczenie liczebności zdarzenia B – na każdej kostce
wypadło mniej niż 4oczka: B=9
Pokonanie zasadniczych trudności:
Wyznaczenie liczebności zdarzenia AB: AB=1
3p
Rozwiązanie prawie całkowite:
Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń A, B, AB:
P(A)=
, P(B)= , P( AB )=
5p
Rozwiązanie bezbłędne:
Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B:
P(AB)=
4p
6p
Strony internetowe z zadaniami
matematycznymi
1. http://www.math.edu.pl/
2. http://www.e-zadania.pl/
3. http://www.zadania.info/
4. http://www.kangur-mat.pl/zadania.php
5. http://zadaniamatematyczne.pl/sitemap
Tu możesz znaleźć wiele ciekawych
zadań
Prezentacja przygotowana w ramach
projektu „Kompetencje kluczowe drogą do
kariery” współfinansowanego ze środków
Unii Europejskiej w ramach Europejskiego
Funduszu Społecznego wraz z logotypami
Projektu WSP TWP, Unii Europejskiej i
Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki”

similar documents