u(x)

Report
Pochodna funkcji jednej zmiennej. Pochodna
wektora
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodną funkcji jednej zmiennej f(), jest funkcja f ’():
′

  +  −  
 =
= 
 →

f(x)
Df
df
dxDx
x
Różniczka funkcji
Infinitezymalna zmiana df
wartości
funkcji
f(x)
spowodowana infinitezymalną
zmianą dx jej argumentu
nazywa się różniczką funkcji.
f(x)
df
dx
x
df  f ' ( x )  dx
Użyteczne pochodne
a=const, f(x), u(x), v(x) - funkcje


=0


 = 


 
 = −

 
 = 



 =


Użyteczne pochodne

 
+ =
+

 

 = 




 = 
+




 = −


 
() =
∙

 
np.

 = 

Interpretacja geometryczna pochodnej
f(x)
df

 a =

a
dx
Pochodna jest równa
tangensowi
kąta nachylenia
a stycznej do
x wykresu funkcji w
danym punkcie.
Gdy argumentem funkcji jest czas…
Np. pochodna f’(t) po czasie

  +  −  
= 
 →

Pochodna wektora
Pochodną funkcji wektorowej jednej zmiennej f(), jest
funkcja f ’():
f (  D )  f ( )
f ' ( )  lim
D 0
D
Df
D
f (+D)
Df
f ()
Pochodna wektora cd.
dA
A(t  Dt )  A(t )
 lim

dt Dt 0
Dt
 lim
Dt 0
A1(t  Dt ), A2 (t  Dt ),...  A1(t ), A2 (t ),... 
Dt
 A1 (t  Dt )  A1 (t ) A 2 (t  Dt )  A 2 (t ) 
 lim 
,
,... 
Dt 0 
Dt
Dt

 dA1 dA2 

,
,...
 dt dt

Pochodna wektora
dA

dt
 dA1 dA2 
,
,...
 dt dt 
Każdą składową wektora różniczkuje się osobno.
Wektor położenia, wektor przemieszczenia i wektor
prędkości.
Punkt materialny
Punkt materialny to obiekt o masie różnej od
zera i zerowych rozmiarach.
W wielu przypadkach rzeczywiste obiekty
traktujemy jak punkty materialne.
Dla ruchu translacyjnego można założyć, że
obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
Wektor położenia
- Wektor związany z konfiguracją Wszechświata
z
Element zorientowany, który
ma początek w początku
układu odniesienia a koniec w
punkcie
o
współrzędnej
odpowiadającej
położeniu
punktu materialnego.
z
r
y
x
O
x
r
r
r = [x,y,z]
y
Wektor przemieszczenia
z
Dr
r(t1) r(t2)
r(t)
y
Położenie cząstki może
zmieniać się w czasie.
Różnica wektorów
położenia w dwóch różnych
chwilach czasu t1 i t2
nazywa się wektorem
przemieszczenia:
x
Dr = r(t2) – r(t1)
Wektor prędkości
Szybkość zmian wektora
położenia cząstki nazywa
się wektorem prędkości tej
cząstki.
z
dr
r(t)
v
r(t+dt)
y

v(t )  lim
Dt 0
x


Dr dr

Dt dt
Prędkość chwilowa jest zdefiniowana jako granica
szybkości zmian wektora położenia przy Dt dążącym
do zera.
Prędkość chwilowa
A3
A4
y
A2
A1
B
∆1
x
Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru
Wektor prędkości chwilowej
Vp
Wektor prędkości chwilowej jest
styczny do toru w punkcie,
w którym cząstka znajduje się w
danej chwili
Vk
Prędkość chwilowa
Przykład:
() = (, , )
 = 
 = −
 = 
 = +
  = (−, , )
Szybkość i przyspieszenie
Szybkość
Moduł wektora prędkości nazywa się szybkością

v v
Szybkość jest równa
pochodnej drogi po czasie
dr
dr dr
dr  dr dl
v( t ) 



dt dt
dt
dt  dt
Na kolejnym wykładzie pokażemy, że droga
jest równa całce z prędkości chwilowej po
czasie.
t2
l   v(t)dt
t1
Szybkość
Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy
() = (, , )
() = (−, , )
 =
    +     +  = 
Średnia szybkość
Średnia szybkość jest równa stosunkowi drogi do
czasu, w którym cząstka tę drogę przebyła
Δl
vsr =
Δt
t2
Na kolejnym wykładzie pokażemy, że
vdt

Δl t1
vsr 

Δt t 2  t1
Przykład cd
Obliczmy średnią szybkość po czasie równym okresowi
(punkt wykonał jeden pełny obrót):
v
R
t
l
x
 2
vsr = =

T
Tymczasem wektor prędkości średniej po czasie T:
Dr r (T )  r (0)
vsr  
 0!
Dt
T
Wektor przyśpieszenia
Szybkość zmian wektora
prędkości cząstki nazywa się
wektorem przyśpieszenia.
z
-v(t)
v(t+dt)
a(t)
v(t)
dv
v(t+dt)
y
x

a(t )  lim
Dt 0


2
Dv dv d r

 2
Dt dt dt
Przyśpieszenie chwilowe jest
zdefiniowane jako granica szybkości
zmian wektora prędkości przy Dt
dążącym do zera.
Przyśpieszenie - przykłady
∆ =  − 



∆
∆



Przyśpieszenie - przykłady

∆


Średnie przyśpieszenie


Dv v (t 2 )  v (t1 )
a sr 

Dt
t 2  t1
Stosunek zmiany wektora prędkości do czasu,
w którym zaszła ta zmiana nazywa się
średnim przyśpieszeniem.
t2
Na kolejnym wykładzie pokażemy, że
a sr 
 a ( t ) dt
t1
t2  t1
t1

t2
Dv
Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy
() = (, , )
() = (−, , )
  = − , − , 
() = − ()
 =
    +     +  =  
Prędkość i przyspieszenie jako
pochodne

 =  +   +

x(t)
x(0)
0
t
V(t)


 =
=  +
=  + 


V(0)
0

 =
=

a(t)
t
a
0
t
Użyteczne równania
Przekształcając
 =  + 
i

 =  +   +

otrzymujemy:

 =  + ( + )

 =   + ( −  )
Rzut pionowy

 =  +   −

y
y0

 =  − 

Dla  = 
 = 
x
 =  −  = 


=

Rzut poziomy
 = 
y
 =  
− = −

y0




 =  −


x
xmaks
Rzut ukośny
y



a
x
 
Składowe prędkości początkowej:
 =   = 
 =  
Rzut ukośny



a
x
 
W kierunku x – ruch jednostajny
I
 = 
 =  
W kierunku y – rzut pionowy
 =  − 
II

 =  +   −

Rzut ukośny – zasięg
 = 

I


 =  
a
 
 = 

=

x
z=zasięg
 
 =   = 
 

Rzut ukośny – zasięg
  
=

1. Maksymalny zasięg otrzymujemy dla  = 
tj. dla  = °
2. Przy tej samej prędkości początkowej, taki sam zasięg
otrzymujemy dla dwóch kątów dopełniających się do °

  = 

Wyznaczając kąt na podstawie funkcji sin zawsze otrzymujemy dwie wartości kąta

similar documents