DOCUMENT RESSOURCE EQUILIBREUSE DELTALAB

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Document ressource – EQUILIBREUSE
S2I
DOCUMENT RESSOURCE
EQUILIBREUSE DELTALAB
Contenu
Données géométriques et inertielles ................................................................................................................................ 2
Manipulation N°1 .............................................................................................................................................................. 3
Manipulation N°2 .............................................................................................................................................................. 4
Equation du mouvement .................................................................................................................................................. 4
Simulation sous Matlab de la rotation d’un rotor déséquilibré........................................................................................ 6
Validation de l’équilibrage sous Matlab............................................................................................................................ 8
Mise en place de la cordelette pour lancer le rotor ......................................................................................................... 8
G. Chapey
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Données géométriques et inertielles
Arbre :
Longueur entre paliers : L = 180 mm
Masse = 0.65 kg
Plateaux :
Les plateaux : P1 et P4 sont identiques, de même que P2 et P3.
Diamètre : 180 mm
Epaisseur : 10 mm
Masse :
MP1 = MP4 = 660 g et
MP2 = MP3 = 780 g
Position des plateaux (données par leur ordonnée y dans le repère (0,X,Y,Z) :
P1 : y1 = -240 mm
P2 : y2 = -160 mm
P3 : y3 = 160 mm
P4 : y4 = 240 mm
Position des trous de fixation des masses :
r = 80 mm
r ' = 40 mm
Rayon de collage des masses sur P2 et P3 :
R = 90 mm
Lames élastiques :
Les quatre lames sont identiques : longueur : L = 180 mm
Largeur : l = 10 mm épaisseur : e = 2 mm
Capteurs :
Deux jauges de déformation collées sur les lames élastiques permettent après traitement du signal, de
donner en continu les valeurs des actions mécaniques du support sur l'arbre au niveau des paliers A et
B. (jauges VISHAY)
Un capteur fournit les valeurs des positions et vitesses angulaires de l'ensemble tournant à chaque
instant. (relais CELDUC + aimant UGIMAG)
G. Chapey
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Manipulation N°1
Le logiciel est installé sur la « vieille » unité centrale …
Remise à zéro des voies de mesure
Cliquer sur l’option « Remise à zéro des voies de mesure », l’écran
ci-contre apparaît :
Le but de cette opération est de réaliser un zéro informatique, c’est
à dire de déterminer le décalage entre les tensions réelles et zéro.
Cette valeur de décalage (offset) sera toujours prise en compte par
la suite.
Le bouton « Remise à zéro » permet d'enregistrer pour les
expériences à suivre la position d'équilibre des paliers A et B. Il faut
s’assurer que les disques et l'axe sont parfaitement immobiles dans
leur position d'équilibre, que les paliers sont libres et que les voies 1 et 2 du pont d'extensométrie sont
équilibrées (tension de sortie nulle) avant de demander une mise à zéro. La valeur affichée est une valeur en
bits qui doit être proche de 2047 si les voies 1 et 2 sont correctement équilibrées.
Il est important que le signal soit centré sur la plage d’acquisition des données. Dans le cas contraire, il est
possible que soit observé lors des expérimentations un signal écrêté ou retourné. Cette étape est alors à
renouveler. Il peut aussi être important de refaire le zéro plusieurs fois au cours d'une session de travail.
Entre deux expériences, il est effectivement possible que les lames élastiques ne reviennent pas exactement
dans la même position d'équilibre.
Calage Angulaire du banc d’essai
Cliquer sur l’option « Calage angulaire du banc d’essai », l’écran cicontre apparaît :
L’objectif de cette opération est de déterminer l'angle séparant la
position de l'aimant fixé sur l'arbre avec celle du zéro gravé sur les
plateaux. Cette opération est nécessaire car le logiciel ne peut
connaître que la position de l'aimant (top électrique) et l'utilisateur
ne se réfère qu'aux graduations des plateaux pour placer les
masselottes sur l'ensemble rotor.
Cette étape est importante et doit être réalisée avec soin en suivant
les opérations décrites dans la page d’aide du logiciel.
Ce calage angulaire doit être impérativement effectué en respectant le sens de rotation indiqué sur les
plateaux. Ce sens ne doit en aucun cas être inversé dans les expériences suivantes car l'angle
déterminé dans cette opération serait confondu avec son complémentaire.
Le calage angulaire permet également de s’affranchir des problèmes d’amortissement des lames élastiques.
Cet angle comprend donc également le déphasage lié au retard de la déformation des lames par rapport à
l’effort exercé par les paliers.
Mise en rotation du rotor (cf dernière page de ce document)
Pour mettre en rotation le rotor, il faut impérativement respecter l’ordre des 3 étapes ci-dessous :
1. Bloquer le rotor à l’aide des 2 excentriques,
2. Lancer celui-ci avec une cordelette
(Attention ! Ce n’est ni un jouet, ni une
compétition … et c’est fragile),
3. Déverrouiller le rotor à l’aide des 2
excentriques.
G. Chapey
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Manipulation N°2
Placer 2 masselottes identiques de manière à conserver un rotor symétrique : même masse, même rayon,
même angle, …
Plateaux : P2 et P3
Masse : 30g
Position : r = 80mm
α = 0°
A l’aide du logiciel VIBRALEQ :
Cliquer sur « Excitation de type résultante »
Lancer la rotation du rotor (comme lors de la manipulation N°1)
Laisser vibrer l’ensemble rotor et palier
Lancer l’acquisition (Bouton « acquisition début »)
Le déplacement des paliers est affiché en temps réel à l’écran.
Equation du mouvement
Le rotor est statiquement et dynamiquement équilibré. Sa matrice d’inertie I ( Rotor , G ) exprimée en G est
diagonale.
A 0 0
I ( Rotor , G ) = 
I 0 

A (G , x3 , y , z3 )
3
Les balourds de masse m ajoutés sont considérés comme des masses ponctuelles situées en A et A’ tel que :
L
L
GA = . y 3 + r.z 3
et
GA ' = − . y 3 + r.z 3 .
2
2
On s’intéresse uniquement au mouvement symétrique sur l’axe x0 des paliers (on considère donc que la
•
liaison pivot 1/0 est verrouillée). Le rotor tourne à une vitesse constante θ = ω .
3 est équilibré mais les balourds déplacent le centre de gravité. L’ensemble n’est donc pas équilibré
statiquement et par conséquent, il n’est pas équilibré dynamiquement.
L’effort global dans les lames correspond à - FR = − KT .x si x est le déplacement autorisé par la glissière.
Le PFD doit permettre de déterminer l’évolution de x.
G. Chapey
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On applique le PFD à l’ensemble Σ = 2 + 3 + 2 balourds ( GΣ centre de gravité de Σ ) en résultante, en
projection sur x0 :
M Σ .ΓGΣ Σ / R0 .x 0 = ∑ FΣ→Σ .x 0
Bilan des actions mécaniques :
Entre bâti et paliers, la liaison est assimilée à une glissière (supposée parfaite) : F0→2lames .x 0 = − KT .x
La gravité est portée par z 0 d’où : FΣ→Σ .x 0 = − KT .x
GΣ centre de gravité de Σ :
Les balourds déplacent le centre de gravité sur z 3 de a tel que M Σ .a = 2.m.r
2.m.r
2.m.r
2.m.r
a=
=
donc GGΣ =
. z3
MΣ
M + 2.m
MΣ
Détermination de la résultante dynamique en projection sur x0
 d OGΣ 
M Σ .ΓGΣ Σ / R0 = M Σ . 
 dt 2 

 R0
2
(
 d 2 x.x0 + a.z3
= M Σ .

dt 2

)
 •


 d  x .x0 + a.ω.x3  

 = M . 
Σ

dt


 R0



 R0
 ••

 ••

M Σ .ΓGΣ Σ / R0 = M Σ .  x .x0 − a.ω 2 .z3  d’où M Σ .ΓGΣ Σ / R0 .x 0 = M Σ .  x .x0 − a.ω 2 .z3  .x 0




 ••

 ••

M Σ .ΓGΣ Σ / R0 .x 0 = M Σ .  x .x0 − a.ω 2 . cos θ z2 + sin θ x2  .x 0 = M Σ .  x − a.ω 2 sin θ 




(
)
 ••

d’où l’équation différentielle : M Σ .  x − a.ω 2 .sin θ  = − KT .x


••
••
K
K
ou encore x + T .x = a.ω 2 .sin θ ou x + T .x = a.ω 2 .sin ωt
MΣ
MΣ
Il n’y a pas d’inconnue de liaison, c’est donc bien l’équation différentielle recherchée.
La solution x de cette équation différentielle est (conditions initiales nulles) :
K
ω
ω
1
p 2 . X + T . X = a.ω 2 . 2
X = a.ω 2 . 2
.
2
2
MΣ
p +ω
p + ω KT + p 2
MΣ


KT 
KT 




2
M Σ  a.ω
MΣ 
a.ω
ω
a.ω 
ω
1
KT
ω

X=
. 2
.
=
. A. 2
+ B.
=
.
. 2
− ω.
2
2
2

KT
KT
2 
K T p + ω KT + p 2
KT  p + ω
K T KT − ω 2  M Σ p + ω
+
p
+ p2 




M
M
M
M
MΣ
MΣ 
MΣ
Σ
Σ
Σ
Σ



2
KT
MΣ
2
2.m.r 2
.ω
 KT
MΣ
1
KT 
x(t ) =
.
.sin ωt − ω.sin
t


KT
M
M
2
KT
Σ
Σ

−ω 
MΣ
MΣ
G. Chapey
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Cette solution est la somme d’une réponse transitoire non amortie (deuxième terme) et d’une réponse établie
(premier terme). Cet effort n’est pas celui qui est observé sur les relevés. La différence vient de
l’amortissement qui provient d’un frottement fluide dans ce qu’on a modélisé par une glissière (en fait, la
déformation des lames).
••
µ • KT
Dans ce cas-là, l’équation différentielle devient :
x+
. x+
.x = a.ω 2 .sin ωt
MΣ
MΣ
Dans cette situation-là, c’est uniquement la solution particulière de l’équation différentielle qui détermine le
régime établi (puisque la solution transitoire est amortie).
On recherche donc la solution sous la forme x = C.sin ωt :
µ
K
−C.ω 2 .sin ωt +
.C.ω.cos ωt + T .C.sin ωt = a.ω 2 .sin ωt ∀t
MΣ
MΣ
Si, sans être nul, l’amortissement est très faible, alors :
2.m.r 2
.ω
MΣ
2.m.r.ω 2
C=
d’où x(t ) =
.sin ωt
2
KT
ω
K
−
M
.
2
T
Σ
−ω
MΣ
Simulation sous Matlab de la rotation d’un rotor déséquilibré
Ouvrir Matlab2012 puis choisir comme Current folder le dossier « TP PSIstar ».
Ouvrir le fichier
equilibreuse.mdl
Puis double-cliquer
sur Subsystem
G. Chapey
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L’entrée du sous-système est In1, les variables mécaniques de sorties Out1 à Out4.
Joint Actuactor (double-clic) connecte une primitive de mouvement (vitesse de rotation) au modèle
mécanique.
Joint Sensor récupère des variables mécaniques du modèle mécanique.
Le bloc Continous Angle permet d’obtenir un angle continu car le Joint Sensor donne un angle entre 0 et 2π.
Le modèle mécanique est obtenu par des blocs définissant les solides et les liaisons.
Choisir une vitesse de rotation de 900tr/min et lancer la simulation pour 1/15 de seconde, soit 1 tour.
Par double-clic sur les scopes (touche droite et autoscale permet d’avoir la pleine échelle), on obtient les
courbes réponses.
Les graphiques « Résultante » et « Moment » correspondent aux composantes en x et y de l’action
mécanique transmise par la liaison pivot entre le bâti et le rotor.
Le graphique « Angle » correspond à la position angulaire du rotor par rapport à la position de départ de la
simulation.
G. Chapey
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Validation de l’équilibrage sous Matlab
Ouvrir le fichier
equilibreuse_complete.mdl
Double-cliquer sur le bloc correspondant au banc
d’équilibrage et
remplir les différents champs
avec les valeurs calculées précédemment.
Lancer la simulation pour valider
les caractéristiques des masselottes.
Mise en place de la cordelette pour lancer le rotor
ATTENTION : le rotor doit toujours être bloqué par les 2 excentriques avant de tirer sur la cordelette !!!
Etape 1
G. Chapey
Etape 2
Etape 3
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