TD 8 Equations différentielles linéaires

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TD 8 Equations différentielles linéaires
Exercice 1
Quel est le comportement à long terme des solutions de l’équation : x˙ = −x + 1 ?
Réponse: Les solutions de l’équation homogène associée convergent asymptotiquement vers 0, donc toutes les solutions convergent asymptotiquement vers
l’équilibre : x (t ) = 1.
Exercice 2
Trouver une solution périodique de l’équation : x˙ = −x + 1 + cos t .
Réponse: x (t ) = 1 +
1
2
cos t +
1
2
sin t
Quel est le comportement à long terme des autres solutions ?
Exercice 3
1
qui ait une limite finie lorsque :
Trouver une solution de l’équation : x˙ = x +
1 + et
t → +∞.
Réponse: x (t ) = −1 + e t ln(1 + e −t ).
Quel est le comportement à long terme des autres solutions ?
Exercice 4
Un modèle de croissance économique élémentaire suppose la production mon(1)
diale Y donnée par une fonction de Cobb-Douglas : Y = R α P 1−α ( 0 < α < 1 )
des ressources R et de la population P , identifiée à la quantité de travail disponible.
1. En supposant le taux de croissance instantanné :
P˙
P
= a (a > 0) constant, et
les ressources constantes, quelle serait l’évolution de la production par tête :
y=
Y
P
? Quelle serait l’évolution de la population ?
2. Que deviennent ces résultats si le taux de croissance :
est une fonction log-linéaire de Y ?
P˙
P
= a + b ln Y (a, b > 0)
t indication: Poser : z = ln y.
1. Introduite en 1928 et testée économétriquement par le mathématicien américain Charles Wiggins
Cobb et l’économiste américain Paul Howard Douglas.
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Exercice 5
Le modèle de croissance économique de Robert Merton Solow, économiste américain, prix Nobel d’économie en 1987, suppose la production : Y (t ) = f (K (t ), P (t ))
fonction du capital K (t ) et de la main d’oeuvre P (t ) disponibles à la date t .
1. On fait l’hypothèse de rendements constants :
λ > 0 ⇒ f (λ K , λ P ) = λ f (K , P )
et on suppose le taux de croissance instantanné :
P˙
P
= a constant (a > 0). On
suppose également que le capital s’accroît proportionnellement à la production : K˙ = b Y (b > 0). Trouver l’équation différentielle vérifiée par le capital par
K (t )
.
unité de tête : x (t ) =
P (t )
Réponse: x˙ = b f (x, 1) − a x
2. Que devient cette équation si f est la fonction de Cobb-Douglas : f (K , P ) =
c K α P 1−α (c > 0) ? Quelle sera alors l’évolution de la variable x (t ) ?
Réponse: limt →+∞ x (t ) = (
b c 1/(1−α)
a
)
3. En supposant toujours : : f (K , P ) = c K α P 1−α (c > 0), trouver maintenant l’équation vérifiée par : y =
K
Y
, et prouver que y (t ) a une limite finie yˆ lorsque t tend
vers l’infini. Réponse: yˆ = b /a .
4. Le temps étant mesuré en années, on a estimé les valeurs des paramètres : a ≅
0.01, et : α ≅ 0.3. Quel sera le temps nécessaire pour que, partant de y 0 à l’instant
t = 0, la variable y (t ) réduise sa distance à yˆ de 90%. Autrement dit : trouver T
tel que :
∣ y (T ) − yˆ ∣ ≤ 0.1 ∣ y 0 − yˆ ∣
(on donne : ln 10 ≅ 2.3).
Réponse: T > 328.5 années.
Exercice 6
∗
Une tasse de café à 90○ met une minute pour refroidir à 70○ lorsque la température ambiante est : T = 20○ . On suppose la vitesse de refroidissement proportionnelle à la différence entre T et la température x (t ) du café :
x˙ (t ) = a (T − x (t ))
1. Déterminer x (t ) en fonction de t à partir des observations enregistrées.
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2. Combien faut-il de temps pour que le café atteigne une température de 55○ ?
Réponse:
Exercice 7
ln 2
ln 7 − ln 5
, soit un peu plus de 2mn.
∗
On suppose que la variation instantannée du prix x (t ) d’un produit vendu à la
date t est fonction linéaire décroissante de la quantité produite y (t ), et la variation de la production y (t ) fonction linéaire croissante du prix x (t ) :
(S)
{
x˙ (t ) = a − b y (t )
y˙(t ) = −c + d x (t )
(a, b, c, d > 0)
Prouver que, dans ce modèle, le prix et la quantité produite varieront de manière
périodique et calculer leurs valeurs moyennes respectives.
√
√
d x (t ) + i b y (t ) , et vérifier
qu’elle est solution d’une équation linéaire à coefficients complexes. La résoudre par analogie
avec la méthode de résolution des équations linéaires à coefficients réels, et en déduire les solutions du système (S).
t indication: Introduire la variable à valeurs complexes : z (t ) =
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