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Le second degré
A) Polynôme du second degré et parabole.
1. Forme d’un polynôme du second degré.
Définition :
Un polynôme qui s’écrit ax 2 + bx + c , où a est différent de zéro, est un polynôme de degré 2,
de la variable réelle x .
La fonction définie sur R, par : f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) est une fonction polynôme du
second degré.
Remarque : Un polynôme du second degré est fréquemment appelé trinôme du second degré ou plus
simplement trinôme. On dit que a est le coefficient de x 2 , b celui de x et c est le terme constant.
Théorème :
Un polynôme du second degré peut s’écrire sous trois formes :
• Développée : f ( x) = ax 2 + bx + c .
•
•
Canonique : f ( x) = a ( x − α ) + β .
Factorisée : f ( x) = a( x − x1 )( x − x 2 ) .
2
Démonstration : Forme canonique
b 

Pour tout réel x on a : f ( x) = ax 2 + bx + c = a x 2 + x  + c .
a 

2
b
b2
b 

2
Or pour tout réel x on a aussi :  x +
 = x + x+ 2 .
2a 
a
4a

2
2
2

b 
b 
b 
− b 2 + 4ac

Donc pour tout réel x f ( x) = a  x +
.
 − 2  + c = a x +
 +
2a 
2a 
4a
4a 


−b
− b 2 + 4ac
et β =
= f (α ) .
2a
4a
Ces formules et cette démonstration ne sont pas à apprendre !
D’où α =
Remarque : Tous les polynômes du second degré peuvent s’écrire sous forme canonique (et évidemment
développée) mais pas nécessairement sous forme factorisée (nous démontrerons cela dans la suite de ce
chapitre).
Exemple :
On considère le polynôme du second degré définie sur R par : f ( x) = − x 2 − 2 x + 15 .
• Cette forme est la forme développée avec a = −1 , b = −2 et c = 15 .
2
• Sa forme canonique est : f ( x) = −( x + 1) + 16 .
• Sa forme factorisée est : f ( x) = −( x − 3)(x + 5) .
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2. Représentation graphique d’un trinôme.
Propriétés :
La courbe Cf représentative d’une fonction polynôme du trinôme f : a ax 2 + bx + c (a ≠ 0) est
une parabole.
Le sommet de la parabole est S (α ; β ) . Les coordonnées α et β sont lues sur la forme
canonique.
La droite d’équation x = α est un axe de symétrie pour cette parabole.
Le tableau ci-dessous récapitule ce que nous avons trouvé jusqu’à présent :
Exercice n°1 :
1 2
3
x −x− .
2
2
2
Démontrer que pour tout réel x on a : f ( x) = 0,5( x − 1) − 2 .
Comment s’appelle cette forme de f.
Démontrer que pour tout réel x on a : f ( x) = 0,5( x + 1)( x − 3) .
Comment s’appelle cette forme de f.
En utilisant la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
a) Donner les coordonnées du sommet de la parabole et l’équation de son axe de symétrie.
b) Dresser le tableau de variations de f.
c) Résoudre l’inéquation : f ( x) > 0 .
d) Résoudre l’équation : f ( x) = −2 .
e) Résoudre l’équation : f ( x) = −1,5 .
Tracer la représentation graphique Cf de cette fonction.
Vérifier, sur ce graphique, l’ensemble des résultats de la question 5).
Soit f la fonction définie sur R par : f ( x) =
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
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Exercice n°2 :
Soit f la fonction définie sur R par : f ( x) = x 2 − 4 x − 5 .
1) Quelle est la nature de cette courbe ?
2) Lire sur le graphique ci-dessous les coordonnées de son sommet S.
3) En déduire la forme canonique de f et l’équation de son axe de symétrie.
4) En déduire la forme factorisée de f.
5) En utilisant la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
a) Dresser le tableau de variations de f.
b) Résoudre l’inéquation : f ( x) > 0 .
c) Résoudre l’équation : f ( x) = −9 .
d) Résoudre l’équation : f ( x) = −5 .
6) Vérifier, sur ce graphique, l’ensemble des résultats de la question 5).
7) Résoudre graphiquement l’inéquation : f ( x) ≤ x − 5 .
8) Retrouver algébriquement le résultat précédent.
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B) Equation du second degré.
1. Discriminant et racine(s) d’un trinôme.
a , b et c désignent des réels avec a ≠ 0 .
Définition :
Résoudre une équation du second degré, c’est trouver tous les réels x qui vérifient l’égalité :
ax 2 + bx + c = 0 .
Les solutions de l’équation ax 2 + bx + c = 0 sont les racines du polynôme ax 2 + bx + c et les
abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.
Définition :
Le discriminant d’un polynôme du second degré ax 2 + bx + c est le nombre : ∆ = b 2 − 4ac .
Le discriminant permet la résolution d’une équation du second degré.
2. Théorème de résolution (admis).
Théorème : Racine(s) de l’équation du second degré : ax 2 + bx + c = 0 .
1er cas : ∆ = b 2 − 4ac > 0 alors l’équation admet deux racines réelles distinctes qui sont :
−b− ∆
−b+ ∆
x1 =
et
x2 =
.
2a
2a
−b
2ème cas : ∆ = b 2 − 4ac = 0 alors l’équation admet une racine double qui vaut : x1 =
.
2a
3ème cas : ∆ = b 2 − 4ac < 0 alors l’équation n’admet aucune racine réelle.
Le tableau ci-dessous récapitule ces différentes situations :
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3. Factorisation d’un trinôme du second degré.
Théorème :
Soit f une fonction polynôme du second degré définie par : f ( x) = ax 2 + bx + c .
On note ∆ = b 2 − 4ac son discriminant.
1er cas : ∆ = b 2 − 4ac > 0 alors pour tout réel x : f ( x) = a( x − x1 )( x − x 2 ) avec
x1 =
−b− ∆
2a
et
x2 =
−b+ ∆
.
2a
2ème cas : ∆ = b 2 − 4ac = 0 alors pour tout réel x : f ( x) = a ( x − x1 ) avec: x1 =
2
−b
.
2a
3ème cas : ∆ = b 2 − 4ac < 0 alors f n’a pas de forme factorisée.
Exercice n°3 :
Donner les racines des fonctions polynômes du second degré suivantes et donner leur forme
factorisée :
1) Pour tout réel x : f ( x) = −7 x 2 + 4 x − 1 .
2) Pour tout réel x : g ( x) = −3 x + x 2 − 4 .
3) Pour tout réel t : h(t ) = 4t 2 − 24t + 36 .
Exercice n°4 :
On propose les équations suivantes :
1) x 2 − 3 x = 10 .
2
2) ( x + 1) = 9 .
3) 6 x = 2 x 2 .
4) 0,2 x 2 + 2 x − 15 = 0 .
5) (1 − x ) + 2 = 0 .
Pour chacune d’elles, après avoir ramené le second membre à 0 si besoin et suivant la forme du
premier membre, résoudre en choisissant l’une des méthodes indiquées :
• Factorisation simple et règle du produit nul.
• Calcul du discriminant et des racines éventuelles.
• Pas de solution de façon évidente.
2
Exercice n°5 :
Résoudre dans R les équations suivantes :
1) x 2 − x + 3 = 0 .
2) − 2 x 2 + 9 x − 4 = 0 .
3) 0,02 x 2 + 0,1x − 1 = 0 .
4) − 0,002q 2 + 9q − 4000 = 0 .
5) x(6 x + 11) = 35 .
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Exercice n°6 :
Résoudre dans R les équations suivantes :
1) ( x − 3)(7 − x ) = 5 .
2)
3)
4)
5)
2 x 2 − 3x + 1
= 0.
x+2
1
2
+
= 3.
x x +1
x2 −1
= 1.
x +1
2 x 2 − 3x + 1
= 2.
x+2
Exercice n°7 :
Pour tout x∈R/{3 ; 5} simplifier l’expression suivante (on pensera à factoriser le dénominateur) :
x−5
f ( x) = 2
.
x − 8 x + 15
Exercice n°8 :
Pour tout x∈R/{–3 ; 4} simplifier l’expression suivante (on pensera à factoriser le numérateur et
x 2 + 2x − 3
le dénominateur) : f ( x) = 2
.
2 x − 2 x − 24
Exercice n°9 :
Soit h la fonction polynôme du second degré définie sur R par : h( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
On donne son tableau de variations :
1) Quel est le signe de a ?
2) On sait, de plus, que la fonction h s'annule en − 1 . Déterminer l'expression h(x) .
C) Signe du trinôme.
1. Signe d’une expression.
Définition :
Etudier le signe d’une expression f (x) revient à déterminer la position de la courbe Cf
d’équation y = f (x) par rapport à l’axe des abscisses :
• Si la courbe Cf est au dessus de l’axe des abscisses, f (x) est positive ou nulle.
• Si la courbe Cf est au dessous de l’axe des abscisses, f (x) est négative ou nulle.
• Lorsque f ( x) = 0 , la courbe Cf coupe l’axe des abscisses.
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2. Signe du trinôme.
Théorème :
• Lorsque ∆ > 0 , l’équation f ( x) = 0 admet deux racines réelles x1 et x 2 .
Alors f (x) et a sont de signes contraires entre x1 et x 2 et de même signe ailleurs.
−b
• Lorsque ∆ = 0 , f ( x) est toujours du signe de a, sauf en
où il vaut 0.
2a
• Lorsque ∆ < 0 , f (x) est toujours du signe de a.
Le tableau ci-dessous récapitule ces différentes situations :
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Bilan de la leçon
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Exercice n°10 :
Etudier le signe des trinômes suivants en utilisant le discriminant et l’allure de la parabole.
Donner la forme factorisée des trinômes lorsque c’est possible.
1) A( x) = 11x 2 + 4 x − 36 .
2) B( x) = 2 x 2 + 3 x − 20 .
3) C ( x) = −4 x 2 + 3 x − 4 .
4) D( x) = −3 x 2 + x + 4 .
5) E ( x) = −2 x 2 − 4 x − 2 .
Exercice n°11 :
Etudier le signe des trinômes suivants en n’utilisant le discriminant que lorsque c’est nécessaire.
1) A( x) = −3 x 2 − 4 .
2) B( x) = 5 x 2 − 4 x .
3) C ( x) = −2 x 2 + 7 x + 30 .
4) D( x) = 9 x 2 − 4 x .
5) E ( x) = −2 x 2 + 4 x − 1 .
6) F ( x) = −4(− 3 x + 2 ) .
2
Exercice n°12 :
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
1) x 2 − 8 x + 12 < 0 .
2) − 9 x 2 + 6 x − 1 > 0 .
3) − x 2 + 2 x + 1 ≥ x 2 .
4) 2 x 2 + 4 x − 1 ≤ x 2 + 2 .
5) ( x − 1) x 2 − 2 x − 3 > 0 .
(
)
Exercice n°13 :
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
1
1)
> x +1.
x
1
x
2)
≥
.
x + 2 x +1
x2 − x − 2
< 0.
3) 2
x +x+4
x+4
4)
≤ 0.
2
−x −x+6
x−3
5)
≥ 2.
2
− x + x −1
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Exercice n°14 :
Soit f la fonction définie sur R par : f ( x) = 2 x 2 + 3 x − 9 .
On note Cf la parabole représentant f et D la droite d’équation : y = 3 x − 1 .
1) Visualiser à la calculatrice les courbes Cf et D.
2) Préciser les abscisses des points où la courbe Cf traverse l'axe des abscisses.
3) Résoudre algébriquement l'inéquation f ( x) > 0 .
4) Interpréter graphiquement le résultat.
5) Résoudre l'inéquation : f ( x) > 3 x − 1 .
6) Interpréter graphiquement le résultat.
Exercice n°15 :
1
2
Soit P la fonction définie sur R par : P ( x) = 2( x − 3) − .
2
1) Développer et réduire P (x) .
2) Déterminer la factorisation de P (x) . Pour cela, mettre 2 en facteur et reconnaître une
différence de deux carrés.
3) En utilisant l’expression la plus adaptée de P (x) , répondre aux questions suivantes :
a) Montrer que la fonction P admet un minimum dont on précisera la valeur.
b) Déterminer l’équation de l'axe de symétrie de la parabole représentant P.
c) Résoudre l’équation P ( x) = 4 .
Exercice n°16 :
Soit f la fonction définie sur R par : f ( x) = −0,5 x 2 + 2 x + 10,5 et sa courbe représentative P.
1) Représenter la courbe P dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1cm en abscisses et
0,5cm en ordonnées).
2) En utilisant le graphique, donner les coordonnées du sommet de la courbe P et les abscisses
des points où P traverse l'axe des abscisses.
2
3) Vérifier que, pour x∈R : f ( x) = −0,5( x − 2 ) + 12,5 .
4) Quel résultat de la question 2) cela permet-il de démontrer ?
5) Résoudre algébriquement l’équation f ( x) = 0 . Vérifier ainsi un résultat de la question 2).
6) Soit D la droite d’équation : y = 2 x + 6 .
a) Résoudre algébriquement l'inéquation f ( x) ≥ 2 x + 6 .
b) En déduire les positions relatives de P et D .
c) Vérifier en traçant la droite D sur le graphique.
Exercice n°17 :
Soit g la fonction définie sur R par : g ( x) = −0,1( x − 2)( x + 3) .
1) Déterminer les abscisses des points où la parabole Cg traverse l'axe des abscisses.
2) En déduire l'abscisse α du sommet de Cg.
3) En calculant β = g (α ) , déterminer la forme canonique de g (x) .
4) En déduire le tableau de variations de la fonction g sur l’ensemble des réels.
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Exercice n°18 :
Une entreprise fabriquant des montures de lunettes veut créer un nouveau modèle.
Son prix est à fixer entre 150€ et 800€.
Une étude de marché a permis d'estimer que le nombre de personnes disposées à acheter ce
modèle au prix unitaire x (en euros) est : N ( x) = −0,8 x + 588 pour x ∈ [150 ; 800] .
1) Justifier que le chiffre d'affaires R (x) , en euros, en fonction du prix x du modèle est donné
par : R ( x) = −0,8 x 2 + 588 x pour x ∈ [150 ; 800] .
2) Pour ce modèle de lunettes, les frais fixes de fabrication sont de 8775 €, les frais variables de
fabrication sont de 105 fois le prix unitaire.
Justifier que le coût total C (x) de fabrication des montures, en euros, est fonction du prix
unitaire x du modèle : C ( x) = 105 x + 8775 pour x ∈ [150 ; 800] .
3) En déduire l’expression du bénéfice algébrique B (x) dégagé par la vente de montures au
prix unitaire x.
4) Résoudre l'inéquation : B ( x) > 0 . Arrondir au centime près. Interpréter le résultat.
5) Donner la forme canonique de B (x) .
6) En déduire l'abscisse du sommet de la parabole représentant B. Quel est le prix de vente de la
monture, arrondi au centime près, pour lequel le bénéfice est maximal ?
Exercice n°19 :
Une entreprise développe des jeux vidéo. Pour une quantité x, exprimée en milliers de jeux, le
coût total de développement en milliers d'euros est de : C ( x) = 50 x − 0,1x 2 + 10 pour
x ∈ [0 ; 100]. La recette est alors de : R ( x) = 48 x .
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total.
1) Exprimer le bénéfice en fonction de x.
2) À partir de combien de jeux vidéo l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
2
3) Montrer que : B ( x) = 0,1( x − 10 ) − 20 .
4) En déduire le déficit maximal de l'entreprise et le nombre de jeux vidéo à produire pour y
parvenir.
5) Donner le bénéfice maximal de l’entreprise et le nombre de jeux vidéo à produire pour y
parvenir.
Exercice n°20 :
Ecrire un programme qui donne la forme canonique associée à une fonction polynôme du second
degré de la forme : f ( x) = ax 2 + bx + c .
Exercice n°21 :
Ecrire un programme qui permet de résoudre les équations ax 2 + bx + c = 0 et donne la valeur
du discriminant.
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