講義資料

Report
Soil Mechanics I
土の力学I
Hiroyuki Tanaka
田中洋行
Soil Mechanics
土質力学
• Geotechnical Engineering
• 最近は地盤工学
– 理由:力学だけではない
•
•
•
•
•
Meaning of “Geo” The earth, or Ground
Geology(地質)
Geo-sciences, chemistry, graphy, so on.
パワーポイント:
教科書:土質力学入門 (三田地利之著)
森北出版 価格2,900円
土の基本的性質
Fundamental properties of soil
土の構成
Composition of Soil
Volume
Air
Liquid (water)
Mass
Pore
Solid
Solid
p.18
土の状態の表現
Terms for soil conditions
Vv
間隙比(Void Ratio) e 
間隙
体積ベース
土粒子
Vs
間隙率
n
Vv

V
Vv
Vs  Vv

Va  Vw
Vs  Va  Vw
mv
含水比(Water Content) w 
水分
土粒子 質量ベース
ms
含水率
 
mw

m
mw
ms  mw
飽和度(Degree of saturation) 間隙がどれくらい水で満たされているか? 体積ベース
Sr 
Vw
Vv

Vw
Va  Vw
水の体積
全体の間隙
p. 18-23
土の状態の表現
Terms for soil conditions
土粒子の密度(Density of solid)
s 
ms
土粒子の質量
Vs
土粒子の比重 (specific Gravity)
土の密度
t 
m
V
湿潤密度

ms  mv
Vs  Vv

 sV s   w V w
Vs  Vv
Gs 
s
w
m

V
土の単位体積重量
 t ( sat , d )   t ( sat , d ) x g
g: 重力加速度
土粒子の体積
水に対する比:無次元
通常の土のおおよその値 2.6~2.8
乾燥密度(w=0)
d 
単位:g/cm3
ms
Vs  Vv

飽和時の密度(Sr=100%)
 sV s
Vs  Vv
 sat 
m
V

ms  mv
Vs  Vw

 sV s   w V w
Vs  Vw
 w ( kN / m )  10  w ( g / cm )
3
3
p. 18-23
粒径 Grain Size
Clay
Silt
Sand
Gravel
p.14
粒径加積曲線
Grain size accumulation curve
p. 25
粒径の測定方法
Measurement of grain size
沈降分析(method of sedimentation)
ふるい(sieving)
ストークスの法則
v
d 
s  w
18
gd
仮定:土粒子は球
2
18
L
  s   w g
t
p.24
粒度の表現方法
D50:平均粒径 D10:有効径
均等係数
Uc 
D 60
D 10
曲率係数 U c ' 
( D 30 )
2
D 10 D 60
p.25
土のコンシステンシー
Consistency of Soil
Liquid Limit
Shrinkage Limit
Plastic Limit
p.27
液性限界
Liquid Limit
WL: 落下回数が25回の時の含水比
p.27
塑性限界
Plastic Limit
WP:直径が3mmで切れた時の含水比
p.29
WL,WPを使った大事な指標
塑性指数(Plasticity Index)
IP=wL-wP
塑性図 Plastic Chart
p.31
相対密度と液性指数
(relative density and Liquidity Index)
粗粒土(砂)
相対密度
Dr 
e m ax  e
e m ax  e m in
最も密な状態:Dr=1.0
最も緩い状態:Dr=0
p.21
粘性土
液性指数
IL 
w  wP
wL  wP
偏差値に相当
w=wL IL=1.0
w=wP IL=0
p.30
土中の水の流れ
Water Flow in the Ground
Darcyの法則
Darcy’s Law
Dh
Dl
導水勾配(hydraulic gradient) i 
流量:Darcy’s Law
q  ki
K: 透水係数 m/s
Dh
Dl

30 cm
 0.75
無次元
40 cm
Q ( m )t  A ( m ) q ( m / s )t
3
2
A:断面積
p.42
Kの測定方法(室内)
定水位
Constant head
水頭は常に一定
Q t  A qt  A kit  A k
ht
L
p.46
断面積
a
A
Kの測定方法(室内)
変水位
Falling head
水頭をh1からh2に変化(時間はt1からt2)
Dtの間に流出する量
 aDh  k
h
AD t
L
k 
非常にkが小さい場合(粘性土):圧密試験
aL
A ( t 2  t 1)
ln
h1
h2
p.46
透水係数の測定(野外)
室内(Laboratory)
野外(原位置)
In situ, Field
単孔式:水位をh1に下げておいて,h2に
なるまでの時間を測定
k 
ro
2 L ( t 2  t 1)
ln
L
r0
ln
h1
h2
p.47
多孔式揚水試験
定常状態:水圧が時間によって変化しない状態
揚水井:水を汲み出す孔
観測井:水位を観測する孔
式の導入は教科書参照
p.48
浸透流量の算出
Calculation of water flow
水頭が同じ
Laplaceの方程式
 h
2
kx
x
2
 h
2
 ky
z
2
0
流線網
流線と等ポテンシャル線は直交
p.50
等ポテンシャル線と流線の書き方
Equi-Potential and flow lines
等ポテンシャル線
Nf:流線の数:4
Nd:等ポテンシャル線の数:9
h=0
h=H
Q  k DH ( H )
Nf
Nd
Q:単位時間当たり,
単位奥行き当たり
流線
kx=kzであれば,できるだけ正方形
この線上の水頭はH/2
直交
p.50
コンクリートダム基礎
p.52
アースダム堤体
p.52
地盤内の応力
Stress distribution in the ground
有効応力の概念
Effective stress
s
間隙水に作用している応力
(間隙水圧pore water pressure:u)
土粒子に作用している応力
(有効応力effective stress:s’)
2つの応力の和
(全応力total stress:s)
s  s ' u
p.60
自重による地盤内応力
Stresses due to the self weight of soil
土かぶり圧: Overburden pressure
b
全応力
地下水面
t
z1
sat
z2
t
t=txg
z
sv
 tbz
  tz
間隙水圧
tz1
tz1+satz2
wz2
b
有効応力
s '  s  u   tz 1   satz 2   w z 2   tz 1  (  sat   w ) z 2   tz 1   ' z 2
地下水面より下:’ 土の水中単位体積重量: 浮力を考慮:アルキメデスの原理
p.62
載荷重による地盤内応力
Stresses due to the outer force
p.64, 66
Osterbergの図表
Ds z  I s q
p.67
Osterbergにおける重ね合わせの原理
p.68
Newmarkの方法
m=B/z, n=L/Z
p.68
Newmarkの図表における重ね合わせ
の原理
p.68
圧力球根
Pressure Bulb
幅が広くなればなるほど
影響は深部に及ぶ
p.70, 71
荷重の分散
Spread of load
a=30°~45° B
q
Z
q’
B+2z (a=45°)
0.1q
0.3q
簡便な方法
Bq=(B+2z)q’
szの分布
q'
B
(B  2 z)
q
深くなれば圧力は減少
p.71
接地圧
Contact Pressure
地盤は弾性体ではない
地盤の種類によって接地圧
沈下の分布は異なる
p.72
ボイリングとヒ―ビング
Boiling and heaving
土かぶり圧(全応力)より,水圧が大きくなる現象
ヒービングに対する安全率
Fs=1の時の動水勾配を限界動水勾配:ic
教科書P20を見よ(式2.10)
Fs 
 tD
 wH
p. 77, 78
圧密と沈下
Consolidation and Settlement
水だけが出る
土粒子は出ない
圧密試験
Oedometer
通常の寸法
直径60mm
厚さ20mm
p. 89
沈下曲線
Settlement Curve
圧力によって収縮する
沈下をeの変化で表現
収縮しない
Pを対数とすると直線となる
p. 81
載荷と除荷
Loading and Unloading
Dp
載荷
除荷
Dp=PA-PB
載荷と除荷では,圧縮量は違う:不可逆的
p. 81
圧密曲線
Consolidation Curve
膨張指数:Cr,Cs
圧密降伏応力(先行圧密応力):pc, py
過圧密比(OCR)=pc/現在の土かぶり圧(有効応力)
圧縮指数:Cc
Cc 
過圧密領域
e o  e1
log p 1  log p o

e o  e1
log( p 1 / p o )
正規圧密領域
p. 91
沈下量の求め方
Method for settlement
荷重の載荷前
eo
載荷前の有効応力:po
(有効土かぶり圧)
荷重の載荷後
荷重の大きさ:Dp
e1
載荷後の有効応力
p1=Dp+po
Dp
po
p1
載荷によっていくら沈下が生じるか?
p. 92
沈下を求める3つの方法
• De(e-logp)法
• Mv法
• Cc法
De法
e-logp曲線から
D e  e o  e1
Deによって生じる“ひずみ”は
e1
 
De
ではない
eo
1
土粒子
1
間隙
eo
De
 
De
(1  e o )
土粒子の分
したがって沈下量は
Sf (DH ) 
De
(1  e o )
Ho
Mv法とCc法
Mv法
体積圧縮係数:Mv
mv 
D
Dp
Dはひずみ変化量
Ds=ED:フックの法則
E 
すなわち,Eの逆数に相当
沈下量は
S f  m v D pH o
Ds
D
最も理解しやすい
欠点:Mvは荷重によって変化する
Cc法
Cc 
e o  e1
log p 1  log p o

e o  e1
からDeを求める。後はDe法と同じ
log( p 1 / p o )
欠点:荷重範囲が正規圧密だけだと良いが
Pcをまたぐ場合(Ccが一定ではない)
過圧密と正規圧密とに沈下計算を分ける
圧密のモデル
Model for Consolidation
粘性土の透水係数は
小さいので,水はゆっくり
でる(沈下速度は遅い)
p. 83
過剰間隙水圧と消散
Excess pore water pressure and
dissipation
圧密の基礎方程式
Equation for consolidation
u
t
 u
2
 cv
z
2
距離の二乗
間隙水圧の時間に対する変化
小さいと遅くなる
圧密係数
cv 
k
m v w
透水係数が小さくなると
mvが大きくなると圧密は遅くなる
mvが大きい:圧縮しやすい
p. 86
圧密方程式の解
圧密方程式は熱伝導の式と同じ
境界条件の下で解く
・初期の間隙水圧の分布
・境界における排水条件
各時間の圧密度は場所によって異なる
地表面の沈下は,各深度の圧密度を
総合したもの(積分)
数学的に表すと
時間係数
Tv 
c vt
d
2
cvに比例
d(排水距離)の二乗に逆比例
別な言い方をすると
U=(今の沈下量)/(最終沈下量)
すなわち,圧密が始まる前は0
圧密が終了すれば1
圧密度と時間係数
p.88
Cvの求め方√t法
圧密方程式の解ではU<50%の範囲では,Uは√Tvに近似的に比例する。
U=90%の時のTvは0.848であることを利用して,
cv 
0.848
d
2
t 90
p. 90
一次圧密と二次圧密
Primary and Secondary consolidation
過剰間隙水圧が消散しても(一次圧密が終了しても)沈下は続く。
これを二次圧密と呼んでいる。
p.101
バーティカルドレーン(サンドドレーン)
Vertical Drain (sand Drain)
排水距離を短くする(d2に比例)
排水距離は10mに対して1m,1/10になる
時間は(1/10)2=1/100(正確ではない)
ドレーン間隔2m
20m
p. 102
計算の仕方
例えば:
ドレーンの直径:dw=0.4m
間隔:de=2m
n=2/0.4=5
ch=100cm2/day (水平方向のcv)
Th 
ch
de
2
t
U=80%に対して,
Th=0.2 t=80day=2.7month
ドレーンがない場合で排水距離が10mの場合
Tv=0.567 t=5670day=15.5year
ドレーンのある・なしを比較すると,約1/70。1/100でなない。
p.103

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