logika-eloadas

Report
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
Elérehetőség:
• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
• [email protected]
Fogadó óra:
hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:
A MATEMATIKAI LOGIKA
ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 0. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Normálformák
• Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 1. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
1. Ha fúj a szél, akkor Kati a munkahelyére megy.
2. Ha Kati a munkahelyére megy, akkor dolgozik.
3. Katinak nincs lehetősége otthon dolgozni.
Formalizáljon. Következmény-e:
4. Ha fúj a szél, akkor Kati nem marad otthon.
F: Fúj a szél
M: Kati a munkahelyére megy
D: Kati dolgozik
O: Kati otthon van
1. F  M
2. M  D
3. (OD)
4. F   O
EGY FORMULA
• Van-e olyan interpretáció, ahol igaz
• Minden interpretációban igaz
• Egyetlen interpretációban sem igaz
KÉT FORMULA
• Az interpretációkban egyformán viselkednek-e
Az ítéletlogikai formulák szemantikai
tulajdonságuk alapján az alábbi ábra szerint
osztályozhatók:
Definíció: Tautológikus következmény
A  formula hamaznak a B formula tautológikus következménye
( |=o B), ha
I: I |=o , akkor I |=o B
( vagyis  minden modellje B-nek is modellje ).
Tétel:: I: I |=o { A1, ... , An }  I |=o A1...An
Tétel:: { A1, ... , An } |=o B  A1...AnB
kielégíthetetlen
Tétel:(dedukciós)
Az {F1, F2, ..., Fn}=0G akkor és csak akkor, ha
{F1, F2, ..., Fn-1}=0 (Fn  G).
Tétel:(eldöntésprobléma)
Az {F1, F2, ..., Fn}=0G akkor és csak akkor, ha
=0F1(F2(...( Fn-1(Fn  G))...) tautológia.
Tétel:
Az {F1, F2, ..., Fn}=0G akkor és csak akkor, ha
= (F1...Fn ) G tautológia
Tétel:
Egy feladat kiinduló állításaiból (axiómák) egy újabb állításra
következtetünk (konklúzió)
•
•
•
•
Több megfogalmazása lehetséges
A szemantikus következményfogalom írja le
{F1, F2, ..., Fn}=0G, ahol
- F1, F2, ..., Fn: a tétel axiómái / feltételei / premisszái
- G: következmény / konklúzió
a pontosan akkor törvények alapján
Például:
Definíció: Tétel
A bizonyítandó (F1...Fn )
G formulát tételnek nevezzük.
Definíció: Tételbizonyítás
Annak belátása, hogy (F1...Fn )
G tautológia.
Definíció: Automatikus Tételbizonyítás
Olyan eljárás, amellyel mechanikusan lehet matematikai tételeket belátni.
Speciális esetben döntési probléma formában történik a megfogalmazás
(tautológia-e: igen / nem)
Eldöntésprobléma: Egy olyan feladat,
melynek megoldása egy eldöntendő
kérdésre adott igen, nem válasz.
Döntési eljárás / Kalkulus: Az
eldöntésprobléma megoldására kidolgozott
módszer.
Kérdés: Létezik-e olyan univerzális
döntési eljárás, mely egy általában
végtelen osztály minden elemét eldönti,
azaz egy igen / nem választ képes adni a
vele kapcsolatban felmerült döntési
problémára
1. Szintaktikus megközelítés
Formai jellegű, a formulák jelentése nem játszik
szerepet.
• Formális nyelv: az állításaink leírására
• Axiómák: olyan formulák, melyeket igaznak fogadunk el.
• Következtetési / Levezetési szabályok: olyan leképezések,
melyek egy vagy több formulából újabb formulát állítanak
elő
A levezetési szabályokkal nyerhető formulákat nevezzük az
axiomatikus elmélet tételeinek.
Cél: adott formuláról megállapítani, hogy tétel-e.
Kérdés: a matematikai diszciplináknak melyek az axiómái
Például: Hilbert féle formális bizonyítás, Gentzen stílusú
kalkulus, REZOLÚCIÓ
2. Szemantikus megközelítés
2. Szemantikus megközelítés
Figyelembe vesszük a formula jelentését is.
• Formális nyelv: az állításaink leírására
• Szabályok: Ezek adnak jelentést a formulának
(interpretáció, kiértékelés)
Az a feladat, hogy a formula azonosan igaz voltát /
kielégíthetetlenségét eldöntsük.
Például:
Igazságtábla, Lusta kiértékelés, Igazságértékelés,
Wang algoritmusa,
Quine-McCluskey algoritmusa (KDNF és KKNF
egyszerűsítése),
Szemantikus fa és klózillesztés
Kielégíthetőség eldöntése:
•
•
igazságtáblával
Ha van olyan sor A igazságtáblájában, ahol a Boole-értéke „i”.
igazságértékelés fával
Ha Ai nem üres, azaz (A)i fában nem minden ág
ellentmondásos.
Kielégíthetetlenség eldöntése:
•
•
igazságtáblával
Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke „h”.
igazságértékelés fával
Ha (A)i fában minden ág ellentmondásos, tehát Ai üres.
Tautológia tulajdonság eldöntése:
•
•
igazságtáblával
Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke „i”.
igazságértékelés fával
Ha (A)h fa minden ága ellentmondásos, tehát Ah üres.
MÓDSZER( def. )
• igazságtábla ( Tk. 77. old. )
• lusta kiértékelés ( Tk. 77. old. )
• igazságértékelés ( Tk. 78. old. )
VISSZAKÖVETKEZTETÉS
def. szerint
• igazságtábla
• lusta kiértékelés
• igazságértékelés
tétel szerint ( Lemma 2 )
• igazságtábla ( Tk. 83. old. )
• lusta kiértékelés ( Tk. 83. old. )
• igazságértékelés ( Tk. 84. old. )
ELŐREKÖVETKEZTETÉS( tétel )
• igazságtábla ( Tk. 85. old. )
• lusta kiértékelés ( Tk. 85. old. )
A szintaktikus és a szemantikus módszer ugyanoda
vezet-e ?
Egy kalkulussal szemben azok a legfontosabb követelések merültek fel, hogy legyen
•
•
•
•
Ellentmondásmentes (konzisztens): levezethető-e egy állítás és annak tagadása is
teljes: minden állítást vagy igazolni, vagy cáfolni lehessen
helyes: minden ami levezethető, az valóban tétel (következmény)
eldönthetőség: létezik olyan algoritmus, amely az elmélet bármely állításáról eldönti,
hogy levezethető-e vagy sem
Eredmények (17. század és utána):
Leibniz: automatikus tételbizonyítás megalapozása
Tarski: Az elemi geometria eldönthető
Zermelo-Fraenkel féle halmazelméletben a Kiválasztási axióma sem nem bizonyítható,
sem nem cáfolható
Kurt Gödel nemteljességi tételei:
•
minden elég erős formális elméletben van eldönthetetlen állítás (a közönséges aritmetika
nem formalizálható teljes rendszerben
•
formális elmélet nem tudja igazolni a saját konzisztenciáját.
Church és Turing egymástól függetlenül: Negatív válasz az eldönthetőségi problémára
G. Boole: algebrai módszerekkel vizsgálta a logikát
De Morgan: a matematika különböző területeinek logikai megalapozása
Ezek a tételek azt is jelentik, hogy a logika kevés ahhoz, hogy minden tudáshoz keretet
adjon.
Gödel teljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy
ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz,
akkor bizonyítható is.
• Az igazság tétel
A tétel szerint, ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elméletnek (zárt
formulák halmazának) van modellje, akkor konzisztens (ellentmondásmentes).
Ez nyilvánvaló, hiszen a modellben minden T-ből levezethető állításnak igaznak
kell lennie, márpedig a modellen nem teljesülhet egyszerre egy zárt formula és
tagadása.
•
•
A teljességi tétel
A teljességi tétel az igazság tétel megfordítása:
Ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elmélet (zárt formulák halmaza)
konzisztens, akkor van modellje.
A teljességi tétel másik alakja
Ha egy L elsőrendű nyelvben T elmélet és F zárt formula, amire teljesül
T = F, azaz F igaz T minden modelljében, akkor F levezethető T-ből.
Ez az állítás ekvivalens a teljességi tétel fenti alakjával
Tétel – Gödel első nemteljességi tétele
Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formálisaxiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se
nem cáfolható.
Terminológiai megjegyzések
1 – Formális-axiomatikus elmélet alatt bármilyen formalizált (például elsőrendű nyelvre épített)
axiomatikus-deduktív elméletet érthetünk,.
2 – Ellentmondásos egy axiomatikus elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és
cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor
azt mondjuk, hogy az elmélet ellentmondásmentes.
3 – Azon, hogy tartalmazza a természetes számok elméletét, azt értjük, hogy szerepeljenek a formális
nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a
szorzásnak úgy, hogy a Peano-aritmetika axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is
legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet
elegendően erős.
4 – Megfogalmazható, azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul
konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes
mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.)
5 – Bizonyítható, azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának
megfelel.
6 – Cáfolható egy S mondat, ha negációja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.
Gödel második nemteljességi tétele Gödel első nemteljességi tételének egy
lényeges kiterjesztése.
• Míg az első nemteljességi tétel azt mondja ki, hogy minden „valamirevaló”
elméletnek van megoldhatatlan problémája,
• addig ez a tétel konkrét példát mutat: minden „valamirevaló” elméletben
bizonyíthatatlan, hogy maga az elmélet ellentmondásmentes.
A matematikusok a szintaktikus vagy a
szemantikus megközelítést alkalmazzák?
Bevezetés:
A DNF-ek egyszerűsítési algoritmusainak kutatása az 50-70es évekre tehető. Ez volt az az időszak, amikor az
elektronikus berendezések tervezése korábban funkcionális
(˄, ˅, ¬, ¬˄, ¬˅ funkciókat realizáló) elemek alapján, később
a programozható logikai mátrixok (PLA), valamint
memóriaelemek felhasználásával történt.
• Egy n-változós A formula az igazságtáblájával megadott
b: {i,h}n{i,h} leképezést (logikai műveletet) ír le.
• A lehetséges interpretációk száma: 2n
• Az n változós logikai műveletek száma: 2
2n
• Melyik logikai műveletek kellenek ahhoz, hogy egy adott
nyelven mindegyik logikai művelethez tartozzon legalább
egy logikai formula?
Definíció:
A logikai összekötőjelek halmazát funkcionálisan teljes
művelethalmaznak nevezzük, ha e logikai összekötő jelhalmaz
elemeinek és ítéletváltozóinak felhasználásával tetszőleges
{i,h}n→{i,h} leképezéshez lehet konstruálni a leképezést leíró
jólformált formulát.
Tetszőleges {i,h}n→{i,h} leképezés leírható csak (¬, ˄, ˅) műveleti
jeleket tartalmazó jólformált formulával, vagyis hogy a (¬, ˄, ˅)
funkcionálisan teljes művelethalmaz.
Definíciók:
1. Literálnak nevezünk egy x prímformulát/ítéletváltozót vagy annak a
negáltját, ¬x-et. A literál alapja a prímformula jele.
2. Azonos alapú literálok azok a literálok, amelyek ugyanazt a prímformulát
tartalmazzák. X és ¬x
3. Különböző literálok a különböző alapú literálok. X és Y
4. Elemi konjukciónak nevezzük különböző literálok konjukcióját.
X ˄ ¬x ˄ Y ˄ Z
5. Elemi diszjunkciónak nevezzük különböző literálok diszjunkcióját. Az
elemi diszjunkciót klóznak is nevezzük.
X ˅ ¬x ˅ Y ˅ Z
6. Teljes elemi konjukciónak nevezzük az olyan elemi konjukciót, amelyben
a leképezésben szereplő minden ítéletváltozóból alkotott literálpár
valamelyike szerepel.
7. Teljes elemi diszjunkciónak nevezzük az olyan elemi diszjunkciót,
amelyben a leképezésben szereplő minden ítéletváltozóból alkotott
literálpár valamelyike szerepel.
Definíciók:
8. Diszjunktív normálforma (DNF) elemi konjunkciók diszjunkciója.
(X ˄ ¬x) ˅ (Y ˄ Z)
9. Konjuktív normálforma (KNF) elemi diszjunkciók (vagy klózok)
konjunkciója.
(X ˅ ¬x) ˄ (Y ˅ Z)
10. Kitűntetett diszjunktív normálforma (KDNF) teljes elemi konjunkciók
diszjunkciója.
11. Kitűntetett konjuktív normálforma (KKNF) teljes elemi diszjunkciók
konjunkciója.
A továbbiakban megadunk két algoritmust, amellyel tetszőleges
{i,h}n→{i,h} leképezéshez az azt leíró speciális alakú formula állítható elő.
•
Ezek a kitűntetett diszjunktív normálforma és a kitűntetett konjuktív
normálforma.
•
Tekintsük az α={i,h}n→{i,h} leképezés igazságtábláját. Legyenek
x1,x2,…,xn az igazságtáblán szereplő ítéletváltozók.
Kitüntetett diszjunktív normálforma előállítása
Válasszuk ki az igazságtábla azon sorait ahol α=i.
1. Minden ilyen sorhoz rendeljünk hozzá egy x’1˄x’2˄…˄x’n=ks
teljes elemi konjunkciót úgy, hogy az x’i literál xi vagy ¬xi
legyen aszerint, hogy ebben a sorban x’1 oszlopában i vagy h
áll.
2. Az így kapott teljes elemi konjunkciók diszjunkciója
ki1˅ki2˅…˅kiα az α leképezést leró kitűntetett diszjunktív
normálforma.
Vegyük észre, hogy ks csak az igazságtábla hozzátartozó sorának
megfelelő igazságértékelésre igaz, és így a ki1˅ki2˅…˅kiα formula
pontosan az i1,i2,…,iα igazságkiértékelések mellett igaz.
Kitűntetett diszjunktív normálforma előállítása
az igazságtábla
az elemi konjunkciók
x
y
z
α
h
h
h
i
h
h
i
h
h
i
h
h
i
i
****
(¬x˄¬y˄¬z)
i
****
(¬x˄y˄¬z)
i
i
****
(¬x˄y˄z)
h
h
i
****
(x˄¬y˄¬z)
i
h
i
h
i
i
h
i
****
(x˄y˄¬z)
i
i
i
h
A fenti α leképezést leíró kitűntetett diszjunktív normálforma
(¬x˄¬y˄¬z)˅ (¬x˄y˄¬z)˅ (¬x˄y˄z)˅ (x˄¬y˄¬z)˅ (x˄y˄¬z) (=α)
Kitűntetett konjunktív normálforma előállítása
Válasszuk ki az igazságtábla azon sorait, ahol α =h.
1. Minden ilyen sorhoz rendeljünk hozzá egy x1’˅x2’’˅…˅xn’’=dt
teljes elemi diszjunkciót úgy, hogy az x1’’ literál xi vagy ¬xi
legyen aszerint, hogy ebben a sorban xi oszlopában h vagy i áll.
2. Az így kapott teljes elemi diszjunkciók konjunkciója
di1˄di2˄…˄diα az alfa leképezést leíró kitűntetett konjunktív
normálforma.
Vegyük észre, hogy dt csak az igazságtábla hozzátartozó sorának
megfelelő igazságértékelésre hamis, és így a di1˄di2˄…˄ diα
formula pontosan az i1,i2,…,iα igazságértékelések mellett hamis.
Kitűntetett konjunktív normálforma előállítása.
az igazságtáblája
az elemi diszjunkciók
x
y
z
α
h
h
h
i
h
h
i
h
h
i
h
i
h
i
i
i
i
h
h
i
i
h
i
h
i
i
h
i
i
i
i
h
****
(x˅y˅¬z)
****
(¬x˅y˅¬z)
****
(¬x˅¬y˅¬z)
A fenti α leképezést leíró kitűntetett konjunktív normálforma
(x˅y˅¬z)˄ (¬x˅y˅¬z)˄ (¬x˅¬y˅¬z) (=α)
A normálforma egyszerűsítése (Quine-McCluskey)
• Legyen k egy elemi konjunkció és x egy ítéletváltozó, ekkor a
k1=k˄x, k2=k˄¬x konjunkciókra a
(k˄x)˅(k˄¬x)=k˄(x˅¬x)=k˄(i)=k egyszerűsítési szabály
alkalmazható.
• Ezt az egyszerűsítési szabályt alkalmazzuk a kitűntetett
diszjunktív normálformák egyszerűsítésére.
• Az egyszerűsítési szabály alkalmazásával a k˄x, k˄¬x
kunjunkciópárt a k konjunkcióval helyettesítjük, és így a
formulában szereplő konjunkciók száma is csökken.
• Az egyszerűsítések során a KDNF-ből egy DNF áll elő.
A duális egyszerűsítési szabály hasonló módon alkalmas a
kitűntetett konjunktív normálformák egyszerűsítésére, ahol k elemi
diszjunkció, x ítéletváltozó és az egyszerűsítési szabály
(k˅x)˄(k˅¬x)=k˅(x˄¬x)=k˅(h)=k.
Az alábbiakban megadunk egy algoritmust KDNF-ek
egyszerűsítésére.
1. Felírjuk a KDNF-ben szereplő összes elemi konjunkciót.
2. Megvizsgáljuk a konjunkciólistában szereplő összes lehetséges
elemi konjunkciópárt, hogy alkalmazható-e rájuk a
(k˄x)˅(k˄¬x)=k egyszerűsítés. Ha igen, akkor a két kiválasztott
konjunkciót #-al megjelöljük, és az eredmény konjunkciót
beírjuk egy új konjunkciólistába. Azok az elemi konjunkciók,
amelyek az eljárás végén nem lesznek megjelölve, nem voltak
egyszerűsíthetők, tehát belekerülnek az egyszerűsített
diszjunktív normálformába.
3. Ha az új konjunkciólista nem üres, akkor megvizsgáljuk, hogy
van-e olyan konjunkciópár, amelyekre a k˅k=k összefüggés
alkalmazható. A lehetséges összevonások után kapott új
konjunkciólista átveszi a konjunkciólista szerepét és a 2. lépés
következik.
4. Az eljárás befejeződik, és az algoritmus során kapott, de meg
nem jelölt elemi konjunkciókat a ˅ művelettel összekapcsoló
formula az eredeti KDNF-el egyenértékű egyszerűsített DNF.
Példa: A 2.2. példabeli KDNF egyszerűsítése.
A konjunkciólista:
1.
¬x˄¬y˄¬z
#
2.
¬x˄y˄¬z
#
3.
¬x˄y˄z
#
4.
x˄¬y˄¬z
#
5.
x˄y˄¬z
#
Minden konjunkció egyszerűsítve lett.
Az első egyszerűsítés eredménye
1.
¬x˄¬z (1,2)
#
2.
¬y˄¬z (1,4)
#
3.
¬x˄y (2,3)
-----
Bekerül a DNF-be
4.
y˄¬z (2,5)
#
5.
x˄¬z (4,5)
#
A második egyszerűsítés eredménye
1
¬z
(1,5)
.
----összevonhatók
2
¬z
(2,4)
.
Az eredmény: ¬z ˅ (¬x˄y).
Ha egy leképezés tautológia, akkor a KDNF-re
alkalmazott McCluskey algoritmus eredménye az üres
konjunkció vagy tele klóz (jele ▪).
Például ¬z ˅ z egyszerűsítése után marad ▪
Ha egy leképezés azonosan hamis,, akkor KKNF-re
alkalmazott McCluskey algoritmus eredménye az üres
diszjunkció vagy üres klóz
Jele:
Például ¬z ˄ z egyszerűsítése után marad
{F1, F2, ..., Fn}=0G bizonyítandó
1. Előállítani a megfelelő formulát, ami ha azonosan hamis,
akkor a vizsgált formula következmény (korábbi pontosan
akkor tételek)
F1...FnG
2. KKNF alakra hozni
3. KKNF-re alkalmazni McCluskey algoritmusát
Ha egy leképezés azonosan hamis, akkor KKNF-re
alkalmazott McCluskey algoritmus eredménye az üres
diszjunkció.
Nagyon nem hatékony!!!
Minimális információ elve: Az állítások halmaza az
összes információt reprezentálja, ami belőle
levezethető
„Csak azt szabad, amit megengednek.”
Maximális információ elve: Az állítások halmaza az
összes vele összegyeztethető információt reprezentálja
„Mindent szabad, amit nem tiltanak.”
Az automatikus tételbizonyítás melyik elven
működik?
1965. J.A. Robinson -- EELTERJEDT, HATÉKONY,
SZINTAKTIKUS
Bizonyítandó: {B1, B2, … , Bn} |=0B
1. Felírjuk a Bi-k és a ¬B konjunktív normálformáit, és
előállítjuk a bennük szereplő klózok (elemi diszjunkciók)
K=(C1, C2, … , CM) klózhalmazát.
2. Rezolúcióval bizonyítjuk a klózhalmaz
kielégíthetetlenségét
3. Ha a K klózhalmaz kielégíthetetlen, akkor a B1, B2,
…, Bn feltételek teljesülése esetén a B tétel fennáll.
Ha az {F1, F2, ..., Fn}=0G, akkor és csak akkor {F1,F2,..., Fn-1,Fn,G}
következésképen
F1F2...FnG kielégíthetetlen.
Átírva KNFF1KNFF2...KNFFn-1KNFFn KNFG kielégíthetetlen
ezért
{KNFF1,KNFF2,...,KNFFn-1,KNFFn, KNFG}
kielégíthetetlen
Más szóval a belőle kapott S klózhalmaz kielégíthetelen
Példa: (XY)  (XZ)  (XZ)  (YZ)  Z,
A kapott klózhalamaz: {XY, XZ, XZ, YZ, Z}
Elnevezések:
n-változós klóz
1-változós klóz
0-változós klóz
n-argumentumos klóz
egységklóz
üres klóz
Definíciók:
- C1 és C2 klózok rezolvense létezik, ha bennük pontosan egy olyan azonos alapú
literál van, amelyek egymás negáltjai. Tehát C1=C1’ ˅ L1 , C2=C2’ ˅ L2 és L1=¬L2.
A C1, C2 rezolvense a C=C1’ ˅C2’ klóz.
qn-nek a K-klózhalmazból való rezolúciós levezetése a q1,q2,…,qn klózsorozat, ha
qi∈ K, vagy qi a qj, qt rezolvense (j, t<i).
-
- A K klózhalmaznak van rezolúciós cáfolata, ha rezolúciós levezetéssel levezethető
belőle az üres klóz (▫).
2.15.Példa. Néhány példa klózpárokra, amelyeknek van, illetve, amelyeken nincs
rezolvensük.
klózpár
rezolvens
a)
A˅¬B, B˅¬C
A˅¬C
b)
A˅¬B, ¬B˅¬C
nincs, a közös literál azonosan negált
c)
A˅¬B, D˅¬C
nincs, mivel nincs közös literál
d)
e)
¬A˅¬B,
nincs, mivel egynél több literál tér el negáltságát
A˅B˅¬C
tekintve
¬B, B
▫, az üres klóz
Tétel: Rezolúciós elv helyessége és teljessége
A K klózhalmazból levezethető az üres klóz, akkor és csak akkor,
ha K kielégíthetetlen.
Tétel: (Helyesség) Ha a K klózhalmazból levezethető az üres klóz, akkor a
K klózhalmaz kielégíthetetlen. (könyv 230 old.)
Tétel: (Teljesség) Ha a K klózhalmaz kielégíthetetlen, akkor a K
klózhalmaznak van rezolúciós cáfolata. (könyv 230-231 old.)
Definíció: klózhalmaz levezetési fája
Egy K klózhalmaz levezetési fája egy olyan bináris fa, amely a
rezolúciós levezetés lépéseit mutatja.
• A fa leveleihez a K-beli klózokat, a belső csúcsaihoz a megfelelő
rezolvenseket rendeljük.
• Az élek címkéi a rezolválásban résztvevő, a klóz illesztésének
megfelelő literálok
C1: P ˅ Q
C2: Q ˅ R
Q
C3: S ˅  R
C4: P
R
Q
▫
C5: S
A kapott rezolvensek mind tautologikus következményei K-nak.
Definíció: lineáris rezolúciós levezetés
Egy K klózhalmazból való lineáris rezolúciós levezetés egy q1, r1, q2,
r2, … , qn klózsorozat, ha a qi a qi-1 és az ri-1 rezolvense.
A qi klózókat centrális vagy központi klózoknak, az ri klózokat pedig
mellék klózoknak nevezik.
A lineáris rezolúció jól áttekinthető, helyes és teljes kalkulus
Lineáris rezolúció levezetési fája.
K={B˅¬C, A˅C, ¬A˅¬B, ¬A˅C, ¬C}
Definíciók: lineáris input rezolúció
Egy K klózhalmazból való lineáris input rezolúciós
levezetés egy q1, r1, q2, r2, … , qn klózsorozat, ha a lineáris
rezolúciós levezetés, és minden j-re rj∈K.
A lineáris input rezolúció helyes, de nem teljes kalkulus,
mivel van olyan kielégíthetetlen klózhalmaz amelyből
lineáris input rezolúcióval nem vezethető le az üres klóz.
Definíció: Egy klózt Horn-klóznak nevezünk, ha legfeljebb
egy nem negált literált tartalmaz.
Horn- klózok: ¬A˅¬B˅¬C, ¬A˅B˅¬C, A, ¬A.
Nem Horn- klózok: A˅B˅C, A˅B˅¬C.
Tétel: Ha egy kielégíthetetlen K klózhalmaz csak Hornklózokat tartalmaz, akkor a K klózhalmazból lineáris input
rezolúcióval is levezethető az üres klóz
Lineáris input rezolúció levezetési fája
K={B˅¬C, A˅C, ¬A˅¬B, ¬A˅C, ¬C}
Egységrezolúciós stratégia esetén rezolvens csak akkor
képezhető, ha legalább az egyik klóz egységklóz (helyes, de nem
teljes)
A lineáris input és az egységrezolúciós stratégia teljes a Horn
logikában.
lineáris input levezetés
egységrezolúciós levezetés
1. BC
S
1. BC
S
2. AB S
2. C
S
3. AC rez(1,2)
3. B
rez(1,2)
4. AC S
4. AB S
5. C
rez(3,4)
5. A
rez(3,4)
6. C
S
6. AC S
7. 
rez(5,6)
7. C
rez(5,6)
8. 
rez(2,7)
Egy klózhalmaz kielégíthetetlen, ha a benne szereplő
ítéletváltozók bármely igazságértékelése mellett van
legalább egy hamissá váló klóz.
Mivel egy klóz akkor és csak akkor hamis, ha minden
literálja hamis, a klózhalmazok kielégíthetetlenségét az
összes interpretációk végignézésével is egyszerű eldönteni.
Ez egy újabb szemantikus módszert ad az automatikus
tételbizonyításra.
Ezt segíti a szemantikus fa.
Definíció: Bináris, teljes szemantikus fa
Legyenek x1, x2,…,xn logikai változók. Az x1,x2,…,xn összes
interpretációját tartalmazó bináris, teljes szemantikus fa,
egy olyan n-szintű bináris fa, amelyben a szintek és a
logikai változók között egy-egyértelmű megfeleltetést
definiálunk. Az xi-hez rendelt szinten az élpárokban az
egyik élhez xi, a másik élhez ¬ xi címkét írunk.
Az A, B, C logikai változók teljes szemantikus fája
 Jelentse az xi címke azt, hogy xi igaz és a ¬xi címke azt, hogy
az xi hamis.
 Ekkor a teljes szemantikus fa egy ága az x1, x2,…,xn egy
interpretációját (igazságértékelését) adja, a teljes szemantikus
fa ágai pedig az összes lehetséges igazságértékelést
tartalmazzák.
 A fa gyökerétől egy N nevű csúcsig vezető utat l(N)-el
jelöljük.
 Egy Cs=L1˅L2˅…˅Lk klózt hamissá tevő interpretációkat a
szemantikus fában a következőképpen keressük meg.
•
•
Válasszuk ki a szemantikus fa azon ágait, amelyeken a Cs-beli
literálok mind negált alakban szerepelnek.
Azok az interpretációk, amelyeket ezek az ágak reprezentálnak,
nem elégítik ki Cs-t.
 Az a folyamat, amikor egy C klózhoz megkeresünk egy olyan
utat a szemantikus fában, amelyen C minden literálja negálva
szerepel, a C-nek az illető ágra való illesztése.
Klózok illesztése szemantikus fára K={B˅¬C, A˅C, ¬A˅¬B, ¬A˅C, ¬C}
Például a K={B˅¬C, A˅C, ¬A˅¬B, ¬A˅C, ¬C}–ben B˅¬C-t az l(c3) és l(c7)
utakhoz tartozó két igazságértékelés, ¬A˅¬B-t az l(b2) úthoz tartozó két
igazságértékelés nem elégíti ki.
Definíció: Legyen S egy K klózhalmaz szemantikus fája, l(N) a gyökérből az N csúcshoz
vezető út és N’ az N előtti csúcs ezen az úton.
Az N-et cáfoló csúcsnak nevezzük, ha egy K-beli klóz az N pontban hamis, de az N’-ben még
nem.
N’-t levezető csúcsnak nevezzük ha mindkét rákövetkező csúcs cáfoló csúcs. (Lásd előző ábra)
Definíció: A szemantikus fa egy útját, amely cáfoló csúcsban végződik, zárt ágnak nevezzük (jele ▪ ) .
Definíció: Egy szemantikus fa zárt, ha minden ága zárt.
Tétel:
Egy K klózhalmaz kielégíthetetlen akkor és csak akkor, ha szemantikus fája zárt.
•
•
Ha egy K klózhalmaz szemantikus fája zárt, akkor a klózhalmazban szereplő logikai
változók (prímformulák) minden igazságértékeléshez van olyan Cs∈K klóz, amely az illető
igazságértékelés mellett hamis. Ugyanis a Cs∈K klóz, amely egy adott cáfoló csúcsban válik
hamissá, hamis mindazon igazságértékelés mellett, amelyeket a cáfoló csúcsig vezető úthoz
és az alatta lévő részfa ágaihoz rendelt címkesorozatok reprezentálnak.
Ha egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét szemantikus fával vizsgáljuk, akkor a szemantikus
fának a cáfoló csúcsok alatti részfáit már nem kell felépíteni, hiszen a cáfoló csúcsban
hamissá váló klóz értékét a mélyebb szintekhez tartozó logikai változók értéke nem
befolyásolja.
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 0. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Normálformák
• Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 1. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
Finomabb elemzést tesz lehetővé, nagyobb kifejező erővel rendelkezik!
Példa: Panni kirándulni ment.
individum
predikátum
Nevek: individum név vagy leírás, amiről állítunk valamit
Predikátumok: A mondat többi része, amit állítunk; önmagában is értelmes
kifejezés vagy kifejezés szerkezet.
• mondat  {i,h}
• Olyan logikai függvény, melyeknek a változószáma megegyezik a mondat
individumszámával.
, :
zR(z, g(z)) ( Q(g(x))  xR(x,x))
Nyelv=abc + szintaxis + szemantika.
Abc
Logikai rész:
, , , , , , 
Indivídum változók (X, Y, …)
Elválasztó jelek („(„ „)”)
(ítélet változók)
Logikán kívüli rész:
Függvény, predikátum és konstans szimbólumok
Elemfajták halmaza
Szintaxis - jól formált kifejezés előállításának szabályai
Definíció: Term - matematikai leképezés szimbolizálása
1. Egy indivíduum változó x jól formált term (jft)
2. Ha f egy n változós függvényszimbólum és t1, t2, ..., tn jft-ek, akkor f(t1, t2, ..., tn) jft.
3. Minden jft az 1., 2 véges sokszori alkalmazásával áll elő.
Definíció: Formula - logikai leképezés szimbolizálása
1. . Ha P egy n változós predikátumszimbólum és t1, t2, ..., tn jft-ek, akkor P(t1, t2, ..., tn) jól
formált formula (jff). (atomi formula, primformula)
2. Ha A, B jff-ák, akkor
(A)
jff.,
(zárójeles)
A,
jff.
(negációs formula)
AB
jff.,
(konjunkciós formula)
AB
jff.,
(diszjunkciós formula)
AB
jff.,
(implikációs formula)
AB
jff.
(ekvivalencia formula)
---------------------------------------------------------------------------------0-rendű formulák
3. xA, xA jff-ák. (kvantált formula, prim formula)
---------------------------------------------------------------------------------1. rendű formulák
4. Minden jff az 1., 2 és 3 véges sokszori alkalmazásával áll elő.
1. Rendű logika: Hatáskörök, típusok
Logikai műveleti jelek hatásköre
• A kvantorok (, )
•
prioritása a legerősebb az összes logikai
műveletei jel között.
A ,  hatásköre a legszűkebb részformula jobbra.
A hatókörök megállapításánál ezt a szabályt kell figyelembe venni, és
az Ítéletkalkulusnál megismert szabályokkal együtt kell alkalmazni.
Példa
xP(x)y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
Változó előfordulás típusa
Egy formulában egy x változó egy előfordulása:
• szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe
• kötött ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik.
Példa
xP(x)y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
A fenti formulában x első előfordulása kötött, második
előfordulása viszont szabad.
Y mindegyik előfordulása kötött.
Z mindegyik előfordulása kötött (egy van).
Változó minősítése
Egy x változó egy formulában:
• kötött változó ha x minden előfordulása kötött,
• szabad változó ha x minden előfordulása szabad,
• vegyes változó ha x -nek van szabad és kötött előfordulása is.
Példa
xP(x)y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
A formulában : x vegyes, y kötött, z kötött
Formula minősítése
• Egy formula zárt, ha minden változója kötött.
• Egy formula nyitott, ha legalább egy indivíduum változónak van legalább egy
szabad előfordulása.
•
Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz kvantort.
Példa
A fenti formula nyitott, mert például x-nek van szabad előfordulása
Definíció: Legyen S egy K klózhalmaz szemantikus fája, l(N) a gyökérből az N csúcshoz
vezető út és N’ az N előtti csúcs ezen az úton.
Az N-et cáfoló csúcsnak nevezzük, ha egy K-beli klóz az N pontban hamis, de az N’-ben még
nem.
N’-t levezető csúcsnak nevezzük ha mindkét rákövetkező csúcs cáfoló csúcs. (Lásd előző ábra)
Definíció: A szemantikus fa egy útját, amely cáfoló csúcsban végződik, zárt ágnak nevezzük (jele ▪ ) .
Definíció: Egy szemantikus fa zárt, ha minden ága zárt.
Tétel:
Egy K klózhalmaz kielégíthetetlen akkor és csak akkor, ha szemantikus fája zárt.
•
•
Ha egy K klózhalmaz szemantikus fája zárt, akkor a klózhalmazban szereplő logikai
változók (prímformulák) minden igazságértékeléshez van olyan Cs∈K klóz, amely az illető
igazságértékelés mellett hamis. Ugyanis a Cs∈K klóz, amely egy adott cáfoló csúcsban válik
hamissá, hamis mindazon igazságértékelés mellett, amelyeket a cáfoló csúcsig vezető úthoz
és az alatta lévő részfa ágaihoz rendelt címkesorozatok reprezentálnak.
Ha egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét szemantikus fával vizsgáljuk, akkor a szemantikus
fának a cáfoló csúcsok alatti részfáit már nem kell felépíteni, hiszen a cáfoló csúcsban
hamissá váló klóz értékét a mélyebb szintekhez tartozó logikai változók értéke nem
befolyásolja.
Definíció: Legyen S egy K klózhalmaz szemantikus fája, l(N) a gyökérből az N csúcshoz
vezető út és N’ az N előtti csúcs ezen az úton.
Az N-et cáfoló csúcsnak nevezzük, ha egy K-beli klóz az N pontban hamis, de az N’-ben még
nem.
N’-t levezető csúcsnak nevezzük ha mindkét rákövetkező csúcs cáfoló csúcs. (Lásd előző ábra)
Definíció: A szemantikus fa egy útját, amely cáfoló csúcsban végződik, zárt ágnak nevezzük (jele ▪ ) .
Definíció: Egy szemantikus fa zárt, ha minden ága zárt.
Tétel:
Egy K klózhalmaz kielégíthetetlen akkor és csak akkor, ha szemantikus fája zárt.
•
•
Ha egy K klózhalmaz szemantikus fája zárt, akkor a klózhalmazban szereplő logikai
változók (prímformulák) minden igazságértékeléshez van olyan Cs∈K klóz, amely az illető
igazságértékelés mellett hamis. Ugyanis a Cs∈K klóz, amely egy adott cáfoló csúcsban válik
hamissá, hamis mindazon igazságértékelés mellett, amelyeket a cáfoló csúcsig vezető úthoz
és az alatta lévő részfa ágaihoz rendelt címkesorozatok reprezentálnak.
Ha egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét szemantikus fával vizsgáljuk, akkor a szemantikus
fának a cáfoló csúcsok alatti részfáit már nem kell felépíteni, hiszen a cáfoló csúcsban
hamissá váló klóz értékét a mélyebb szintekhez tartozó logikai változók értéke nem
befolyásolja.

similar documents