PPS - Zavod za matematiku

Report
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
ZAVOD ZA MATEMATIKU
Jednodimenzijska toplinska jednadžba
Matea Kovač
Ivica Gusić, red. prof. dr. sc.
Miroslav Jerković, dr. sc.
Zagreb, Rujan 2012.
UVOD
 TEORETSKI DIO
 PREGLEDNI DIO
 REZULTATI
 ZAKLJUČAK

UVOD

Toplina je energija koja prelazi sa jednog
tijela na drugo, ona je dio unutarnje
energije tijela koja prelazi s tijela (sustava)
više temperature na tijelo niže
temperature. Kada se temperature
izjednače, toplina je jednaka nuli.
Q  c uV
Toplinska jednadžba za tok topline kroz objekt se
rješava u dva koraka.
L- duljina štapa
Δx- duljina malog dijela
U- mali dio štapa
U prvom koraku je određena brzina promjene topline u
vremenu
b
dQ

dt
 c
a
u
t
Sdx
U drugom koraku je dobivena jednadžba za tok topline kroz
mali dio U
dQ
dt
b
 C
a
 u
2
x
2
Sdx

Te dvije jednadžbe za tok topline u i van malog dijela U
možemo izjednačiti budući da obje predstavljaju modele toka
topline kroz štap
b
c 
a
u
t
b
Sdx  C 
a
 u
2
x
2
Sdx
Time dobijemo toplinsku jednadžbu koja se još naziva i
difuzijskom jednadžbom
u
t
 u
2
k
x
2
0
Oblik jednadžbe pisan indeksnom notacijom
u t  ku xx
k- koficijent
difuzivnosti
TEORETSKI DIO
Problemi početnih graničnih uvjeta


Za rješavanje diferencijalne toplinske jednadžbe potrebno je
postaviti određene početne uvjete.
Potrebno je definirati temperaturu svake točke niz štap u
vremenu t=0 funkcijom koja se naziva inicijalna
temperaturna distribucija.

Zatim se definiraju granični uvjeti u točkama 0 i L
u (0, t )  0

i
u ( L , t )  TL
za sve
t 0
Kombinacijom toplinske jed. s početnim graničnim uvjetima
dobiva se općenita formula toplinske jed. IBV problema
u t ( x , t )  ku xx ( x , t )
za
0 x L
u ( x, 0)  u0 ( x)
za
0 x L
u (0, t )  T 0
i
u ( L, t)  TL
i
za
t 0
t 0
Rješavanje toplinske diferencijalne
jednadžbe

Za štap izrađen od homogenih materijala duljine L = 2 i k =
0,05, inicijalnu temperaturnu distribuciju od u(x, 0)=0 i
granične uvjete u(0,t)=0 i u(2,t)=100 za t>0 dobivamo
problem početnih graničnih uvjeta određen sustavom
u t ( x , t )  0, 2 u xx ( x , t )

za
0 x2
u ( x , 0)  0
i
0 x2
u (0, t )  0
i
u (2, t )  100
za
i
t0
t0
Budući da je toplinska jednadžba linearna moguće je pronaći
linearnu kombinaciju dvaju rješenja, prvo od tih rješenja je
rješenje za stanje mirovanja us(x)
 T L  T0 
us ( x)  
 x  T 0  50 x
L



Rješenje koje zadovoljava granične uvjete i jedino nema
vrijednost nula, ali ne zadovoljava početne uvjete
v( x, t ) 
 n  kt
2

b e
L
n
n 1

2
 n x 
sin 

L


Potrebno je pronaći koeficijente bn koji zadovoljavaju
početne uvjete. Primjenom početnih uvjeta dobijemo

u ( x , 0) 

n 1

b n sin
n
x
L
Ovaj postupak je posebna vrsta Fourierovog reda, a naziva
se razvoj sinus reda unutar polu-raspona, pri čemu se bn
računa jednadžbom
 n x 
n 100
b n   v o ( x ) sin 
 dx  (  1)
L 0
n
 L 
2
L

Uvrštavanjem koeficijenta bn u rješenje dobijemo potpuno
rješenje IBV problema, jednadžbu
v( x, t ) 

100



(  1)
n 1
n
 0 ,05 n  t
2
e
2
sin n x
n
Temperatura unutar štapa određena je jednadžbom
u ( x, t )  u s ( x)  v( x, t )
odnosno
u ( x , t )  50 x 
100



n 1
(  1)
n
n
 0 ,05 n  t
2
e
2
sin n x
PREGLEDNI DIO





Za grafički prikaz rješenja korišten je integrirani solver
parcijalnih diferencijalnih jednadžbi programskog paketa
Matlab- pdepe.
Pdepe funkcija unutar programskog paketa Matlab ima
slijedeću sintaksu
sol = pdepe(m,@pdex,@pdexic,@pdexbc,x,t).
Prva varijabla funkcije pdepe označena slovom m predstavlja
simetriju problema i može poprimiti 3 vrijednosti; 0-plošna,
1-cilindrična, 2-sferična.
Sljedeće u nizu varijabli su podfunkcije @pdex, @pdexic,
@pdexbc.
Pomoću podfunkcije @pdex računaju se komponente
parcijalne diferencijalne jednadžbe.

Kako bi funkcija bila u mogućnosti interpretirati parcijalnu
diferencijalnu jednadžbu, jednadžba mora biti u obliku izraza
u u
u 
u 



m  
m
c  x, t, u ,

x
x
f
x
,
t
,
u
,

s
x
,
t
,
u
,






 x  t
x
 x 
x



Pri tome c predstavlja dijagonalnu matricu, f se naziva termin
fluksa, a s izvorni termin.
Članovi c, s i f određeni su izrazima
u 

c  x, t, u ,
 1
x

u 
u

f  x, t, u ,

0,
05

x
x

u 

s  x, t, u ,
0
x


Funkcija ima sljedeću sintaksu
function [c,f,s] = pdex(x,t,u,DuDx)
c = 1/0.05;
f = DuDx;
s = 0;
 Sljedeća podfunkcija je @pdexic koja evaluira početne

uvjete diferencijalne jednadžbe.
Budući da je inicijalna temperaturna distribucija ovog
primjera u0(x)= 0, funkcija ima sljedeći oblik:
function u0 = pdexic(x)
u0 = 0;

@pdexbc je funkcija koja evaluira granične uvjete. Općeniti
oblik graničnih uvjeta određen je izrazom
u 

p ( x, t, u )  q ( x, t ) f  x, t, u


x



Zatim je potrebno pronaći vrijednosti pl i ql koje su
vrijednosti za lijeve granične uvjete, te vrijednosti pr i qr
koje su vrijednosti pri desnim graničnim uvjetima
u (0, t )  0
u (2, t )  0

u
x
u
x
(0, t )  0
(2, t )  100
Prva jednadžba daje pl=ul , a druga daje pr=ur-100 i qr=0.

Funkcija pdexbc unutar .m datoteke upisuje se na sljedeći
način:
function [p1,q1,pr,qr] = pdexbc(x1,u1,xr,ur,t)
p1 = u1;
q1 = 0;
pr= ur-100;qr = 0;
 Varijabla x predstavlja vektor koji odgovara duljini štapa tako
da su vrijednosti x u intervalu .
 Potrebno je >3 elementa unutar vektora x kako bi ga funkcija
pdepe mogla evaluirati.
 Vremenski vektor t, vektor je koji sadrži točke u vremenu pri
kojima se evaluira temperatura štapa. Kao i vektor x također

mora sadržavati >3 elementa.
Upravljačka funkcija programa povezuje sve prethodno opisane
podfunkcije, a izvršava pdepe funkciju i iscrtava grafičke prikaze
rješenja.
function pde
close all
m = 0;
x = linspace(0,2,40);
t = linspace(0,15,20);
sol = pdepe(m,@pdex,@pdexic,@pdexbc,x,t);
u = sol(:,:,1);
surf(x,t,u)
xlabel('Položaj(x)')
ylabel('Vrijeme(t)')
zlabel('Temperatura(u)')
figure
y=50*x;
plot(x,y,'r:')
hold on
plot(x,u(1,:))
plot(x,u(2,:))
plot(x,u(3,:))
plot(x,u(4,:))
plot(x,u(5,:))
plot(x,u(6,:))
plot(x,u(7,:))
plot(x,u(8,:))
plot(x,u(9,:))
plot(x,u(10,:))
plot(x,u(11,:))
plot(x,u(12,:))
xlabel('Položaj')
ylabel('u(x,3)')
legend('Temperatura stanja u mirovanju')
function [c,f,s] = pdex (x,t,u,DuDx);
c = 1/0.05;
f = DuDx;
s = 0;
function u0 = pdexic(x);
u0 = 0;
function [p1,q1,pr,qr]=pdexbc(x1,u1,xr,ur,t);
p1 = u1;
q1 = 0;
pr = ur-100;
qr = 0;
REZULTATI


Na grafičkom prikazu skupa rješenja primjera vidljivo je kako skup
rješenja konvergira prema stanju mirovanja od s povećanjem
vremena.
Na grafičkom prikazu mreže rješenja vidljivo je kako temperatura
ostaje nepromijenjena na krajnjim točkama za Dirichletove uvjete.
ZAKLJUČAK

Jednodimenzijska toplinska jednadžba, diferencijalna je
jednadžba čija rješenja opisuju prijenos toplinu niz
jednodimenzijsko tijelo u vremenu.

Pronalazi mnoštvo primjena, od motora do strukturalne
mehanike, a posjeduje i veliku primjenu unutar polja
biologije, unutar kojega je poznata i kao difuzijska
jednadžba.

Jedna od najznačajnijih primjena toplinske jednadžbe
je proučavanje prijenosa topline kroz metalni štap u
ovisnosti o vremenu, položaju, kao i svojstvima
materijala štapa.
HVALA NA PAŽNJI!

similar documents