ครั้งที่ 1

Report
ตรรกศาสตร ์
1


ประพจน์ และ คาความจริ
งของประพจน์
่
ตัวดาเนินการตรรกะ
◦
◦
◦
◦

NOT
AND , OR , XOR
ถา...แล
ว
้
้
ก็ตอเมื
่
่ อ
การสมมูลกันของประพจน์
2
เป็ นศาสตรที
กษาวิธก
ี ารให้เหตุผลที่
์ ว่ าด
่ วยการศึ
้
สมเหตุสมผลอยางมี
ระบบ
่
กปรัชญาชาวกรีก ชือ
 ถูกคิดคนโดยนั
่
้
Aristotle
 ตรรกศาสตรสามารถน
าไปประยุกตใช
์
์ ้ไดอย
้ าง
่
เช่น
กวางขวาง
้

◦ ออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์แบบดิจต
ิ อล
◦ แสดงเงือ
่ นไขในโปรแกรม
◦ สอบถามขอมู
้ ลในฐานขอมู
้ ล และ โปรแกรมค้นหา
(search engines)
3
ในการให้เหตุผลจะตองใช
่ ื่ อความหมายได้
้
้ภาษาทีส
ไ
ชัดเจน ไมคลุ
่ มเครือ
ม่ ผลได้
 ประโยคทุกประเภทสามารถใช้ในการให้เหตุ
ทีส
่ ามารถใช
เหตุผลได้ จะเป็ นประโยคทีส
่ ามารถตัดสิ นไ
้ในการให
้
หรือไม
???
่
ประโยคนั้นเป็ นจริงหรือเป็ นเท็จอยางใดอย
างหนึ
่ง
่
่



เราเรียกประโยคทีม
่ ล
ี ก
ั ษณะนี้วา่ “ประพจน”์
เรียกคาความเป็
นจริงหรือเท็จของประพจนว
่
่
์ า่ “คาความ
จริงของประพจน”์
4
ประพจน์
บุรรี ม
ั ยอยู
่
์ ในประเทศ
ไทย
ไกทุ
่ กตัวไมมี
่ ขา
คาความจริ
งของ
่
ประพจน์
จริง
เท็จ
3+4=2
เท็จ
วันนี้เป็ นวันที่ 29
เท็จ
มภาพันธ ์ เ่ ป็ นประพจนจะอยูในรูปประโยคบอก
สั งเกตวกุาประโยคที
่
่
์
า
จริง
เลา แมวมี
หรือ สี่ขประโยคปฏิ
เสธ
่
5
ประโยค
ชนิดของประโยค
เธอหิวไหม
อยาเดิ
่ นลัดสนาม
กรุณางดใช้เสี ยง
คาถาม
ห้าม
ขอร้อง
โอ้ย..ปวดหัว
จงลุกขึน
้
อยากไปเทีย
่ วจัง
อุทาน
คาสั่ ง
ปรารถนา
6
จากตัวอยางประโยคที
ก
่ าหนดให้ เป็ นประพจนหรื
่
์ อไม่
และถาเป็
งของประพจนดั
อ
้ นประพจนค
่
่
์ าความจริ
์ งกลาวคื
T
อะไร
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
แมวเป็ นสัตว์เลี ้ยงลูกด้ วยนม
เดือนมกราคมมี 29 วัน
3 เป็ นจานวนเฉพาะ
ช่วยกันรักษาความสะอาด
แมงมุมมีกี่ขา
อุ๊ย.. ว๊ าย ต๊ าย ตาย!!!
4+8>6
อย่าบอกลากันอีกเลย
ฉันอยากไปดูหนัง
F
T
ไม่เป็ น
ไม่เป็ น
ไม่เป็ น
T
ไม่เป็ น
ไม่เป็ น
7



โดยปกติ คาความจริ
งทีเ่ ป็ นไปไดของ
1 ประพจน์
่
้
เป็ นไปได้ 2 คา่ คือ จริง กับ เท็จ
หากมีการเชือ
่ มประพจนย
หลายๆประพจนเข
่
์ อย
์ า้
ดวยกั
น การพิจารณาคาความจริ
งของประพจนจะต
อง
้
่
้
์
พิจารณาคาที
กกรณีของแตละประพจน
่ เ่ ป็ นไปไดในทุ
้
่
์
ยอย
่
การคานวณกรณีทเี่ ป็ นไปไดของประพจน
้
้ งนี้
์ ทาไดดั
◦ ถามี
1 ประพจน์ จะมีกรณีทเี่ ป็ นไปได้ 2 กรณี
้
(2^1 = 2)
◦ ถามี
2 ประพจน์ จะมีกรณีทเี่ ป็ นไปได้ 4 กรณี
้
(2^2 = 4)
◦ ถามี
n ประพจน์ จะมีกรณีทเี่ ป็ นไปได้ 2^n กรณี
้
8



ในชีวต
ิ จริง เราไมได
่ วๆ เรามักจะใชค
่ ใช
้ ้ประพจนเดี
้ า
์ ย
เหลานี
่ ” เพือ
่ ช่วย
่ ้ “และ” “หรือ” “ซึง่ ” “ถา”
้ “แต”่ “ที”่ “เมือ
เชือ
่ มประพจนให
้
้ บซ้อนมากขึน
์ ้สื่ อความหมายไดซั
คาเหลานี
่ ้เราเรียกวา่ “ตัวดาเนินการทางตรรกะ” โดยแต่
ละตัวมีความหมายทีแ
่ ตกตางกั
น
่
ประเภทของตัวดาเนินการ (operators)
◦ Unary operators ใช้กับตัวถูกดาเนินการเพียงตัวเดียว หรือ
ประพจนเพี
์ ยงประพจนเดี
์ ยว
 Not
◦ Binary operators ใช้กับตัวถูกดาเนินการสองตัว หรือ ใช้
เชือ
่ มสองประพจนเข
้ นประโยคเดียว
์ าเป็
 AND
 OR
9

ตัวดาเนินการทางตรรกะทีจ
่ ะศึ กษาในบทนี้ มีดงั นี้
Formal Name
Nickname
Symbol
Negation
Conjunction
operator
Disjunction
operator
Exclusive-OR
operator
Implication
operator
Biconditional
NOT (ไม)่
AND (และ)
¬, ~

OR (หรือ)

XOR (เอ็กซ-์
ออร)์
IMPLIES (ถา้
.... แลว)
้
IFF (ก็ตอเมือ
่ )


↔
10





ตัวดาเนินการ “นิเสธ” ถูกใช้สาหรับสรางประโยคที
เ่ ป็ น
้
ปฏิเสธ
สมมุตใิ ห้ P คือประพจน์
โครงสรางของตั
วดาเนินการ “นิเสธ” คือ Not P
้
สั งเกตวา่ ตัวดาเนินการ “นิเสธ” ใช้เชือ
่ มประพจนย
่
์ อย
เพียง 1 ประพจน์
เราเรียกตัวดาเนินการรูปแบบนี้วา่ Unary operators
11


ตารางคาความจริ
งของประพจน์ P สามารถเขียนได้
่
ดังนี้
P
Not P
T
F
F
T
ตัวดาเนินการ “นิเสธ” ทาหน้าทีเ่ ปลี่ยนค่าความจริง
ให้เป็ นในทางตรงกันข้าม

เช่น
◦ ถาประพจน
งเป็ น จริง
้
์ P มีคาความจริ
่
◦ “นิเสธ” ของ P มีคาความจริ
งเป็ น เท็จ
่
12

ให้ R แทนประพจน์ “17 ไมเป็
่ นจานวนเฉพาะ”
◦ P แทน ประพจนย
“17 เป็ นจานวนเฉพาะ”
์ อย
่


ดังนั้น R แทน Not P
การตัดสิ นคาความจริ
งของประพจน์ R จะพิจารณาคา่
่
ความจริงของประพจน์ P จริง
◦ ประพจน์ P
มีคาความจริ
งเป็ น
่
◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ
งเป็ น
่
เท็จ
13
ตัวดาเนินการ “นิเสธ” สามารถเขียนแทนดวย
้
สั ญลักษณ ์ ~
 ตัวอยางเช
่
่น

นิเสธ p สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได
้ น
์ เป็
~p
14

ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ
่ มประพจนย
วยตั
วเชือ
่ ม
่
้
์ อยด
“และ” จะมีคาความจริ
งเป็ น
◦ จริง
่
เท็จ
◦
จริง
เมือ
่ ประพจนย
กประพจนมี
งเป็ น
์ อยทุ
่
์ คาความจริ
่
◦
เท็จ
Pเมือ
่
T
Q
P และ Q
ประพจนย
มี
งเป็ น
์ อยบางประพจน
่
์ คาความจริ
่
T
T
T
F
F
F
F
F
◦ ตารางคาความจริ
งของประพจน์ P และ Q สามารถเขียนได้
่ F
T
F
ดังนี้
15

ให้ R แทนประพจน์ “กรุงเทพและลอนดอนเป็ นเมือง
หลวง”
◦ P แทน ประพจนย
“กรุงเทพเป็ นเมืองหลวง”
์ อย
่
◦ Q แทน ประพจนย
“ลอนดอนเป็ นเมืองหลวง”
์ อย
่

การตัดสิ นคาความจริ
งของประพจน์ R ตองพิ
จารณาคา่
่
้
ความจริงของประพจนย
P และ Q
จริง
่
์ อย
จริง
◦ ประพจนย
(P) “กรุงเทพเป็ นเมืองหลวง” มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
จริง
◦ ประพจนย
(Q) “ลอนดอนเป็ นเมืองหลวง” มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
◦ ดังนั้น ประพจน์ (R) “กรุงเทพและลอนดอนเป็ นเมืองหลวง” มี
คาความจริ
งเป็ น
่
16
ตัวดาเนินการ “และ” สามารถเขียนแทนดวย
้
สั ญลักษณ ์ ^
 ตัวอยางเช
่
่น

p และ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได
้ น
์ เป็
p^q
17

ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ
่ มประพจนย
วยตั
ว
่
้
์ อยด
ดาเนินการ “หรือ” มีคาความจริ
งเป็ น
เท็จ
่
จริง
◦
เท็จ
เมือ
่ ประพจนย
กประพจนมี
งเป็ น
์ อยทุ
่
์ คาความจริ
่
◦
จริง
Pเมือ
่ มีอยางน
่
้ อย Q1
T
T
ประพจนที
่ Pค
ี หรืาความจริ
งเป็ น
์ ม
่ อQ
T
T
F
T
◦ ตารางคาความจริ
งของประพจน
่
์ P หรือ Q สามารถเขียนได้
F
T
T
ดังนี้
F
F
F
18

ให้ R แทนประพจน์ “4 เป็ นจานวนเต็ม หรือ เป็ น
จานวนเฉพาะ”
◦ P แทน ประพจนย
“4 เป็ นจานวนเต็ม”
์ อย
่
◦ Q แทน ประพจนย
“4 เป็ นจานวนเฉพาะ”
์ อย
่

การตัดสิ นคาความจริ
งของประพจน์ R ตองพิ
จารณาคา่
่
้
ความจริงของประพจนย
จร
่ ิ ง P และ Q
์ อย
เท็จ
จริง
◦ ประพจนย
P มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
◦ ประพจนย
Q มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ
งเป็ น
่
19
ตัวดาเนินการ “หรือ” สามารถเขียนแทนดวย
้
สั ญลักษณ ์ v
 ตัวอยางเช
่
่น

p หรือ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได
้ น
์ เป็
pvq
20

ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ
่ มประพจนย
วยตั
ว
่
้
์ อยด
ดาเนินการ “XOR” มีคาความจริ
งเป็ น
่
◦
◦

เท็จ
เมือ
่
เหมือนกัน
P
จริง
เมือ
่
T
ต่างกันT
ประพจนย
กประพจนมี
ง
์ อยทุ
่
์ คาความจริ
่
Q
P ⊕Q
T
F
F
T
ประพจนย
กประพจนมี
ง
์ อยทุ
่
์ คาความจริ
่
T
ตารางคาความจริ
งของประพจน
่ F
์ P หรือT Q สามารถ
F
F
เขียนได้ Fดังนี้
21

ให้ R แทนประพจน์ “ฉันไดเกรด
A วิชานี้ หรือ
้
ฉันไดเกรด
B วิชานี”้
้
◦ P แทน ประพจนย
“ฉันไดเกรด
A วิชานี้ ”
์ อย
่
้
◦ Q แทน ประพจนย
“ฉันไดเกรด
B วิชานี้”
์ อย
่
้

การตัดสิ นคาความจริ
งของประพจน์ R ตองพิ
จารณาคา่
่
้
ความจริงของประพจนย
P และ Q
่
์ อย
◦ ประพจนย
P มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
จริ
งน
◦ ประพจนย
Q มีคาความจริ
งเป็
์ อย
่
่

จริง
เท็จ
ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ
งเป็ น
่
22
ตัวดาเนินการ “XOR” สามารถเขียนแทนดวย
้
สั ญลักษณ ์ ⊕
 ตัวอยางเช
่
่น

p XOR q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได
้ น
์ เป็
p⊕q
23


ตัวดาเนินการชนิดนี้ มักใช้สาหรับการสรางประโยคที
่
้
เป็ นเงือ
่ นไข
ประโยคทีเ่ ป็ นเงือ
่ นไขจะมีโครงสรางดั
งนี้
้
ถ้า .........เหตุ.............


แล้ว .............ผล............
คาความจริ
งของประพจนที
่ มดวย
ถา...แล
ว
่
้
้
้
์ เ่ ชือ
คาเป็
่
่ นจริง เมือ
◦ เหตุมค
ี าเป็
่ น
◦ เหตุมค
ี าเป็
่ น
เท็จ ก็ได้
จริง
เท็จ
◦ เหตุมค
ี าเป็
่ น
จริง
แลวผลมี
คาเป็
้
่ น
ผล อาจจะมีคาเป็
่ น
จะมี
จริง
จริง
ดวย
้
หรือ
คาความจริ
งของประพจนที
่ มดวย
ถา...แล
ว
่
้
้
้
์ เ่ ชือ
คาเป็
่
่ นเท็จ เมือ
จะมี
และ ผลมีคาเป็
่ น
เท็จ
24

ตารางค่าความจริ งของประพจน์ ถ้ า P แล้ ว Q สามารถเขียนได้ ดงั นี ้
P
Q
ถ้ า P แล้ ว Q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
25

ให้ R แทนประพจน์ “ถา้ -5 เป็ นจานวนนับ แลว
้ 5 เป็ นจานวนเต็มบวก”
◦ P แทน ประพจนย
“-5 เป็ นจานวนนับ”
์ อย
่
◦ Q แทน ประพจนย
“-5 เป็ นจานวนเต็มบวก”
์ อย
่

การตัดสิ นคาความจริ
งของประพจน์ R จะตองพิ
จารณา
่
้
คาความจริ
งของประพจนย
เท็P จและ Q
่
่
์ อย
เท็จ
◦ ประพจนย
P มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
◦ ประพจนย
Q มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ
งเป็ น
่
จริง
26
ตัวดาเนินการ “ถ้า...แลว”
้ สามารถเขียนแทน
ดวยสั
ญลักษณ ์ =>
้
 ตัวอยางเช
่
่น

ถ้า p แลว
้ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได
้ น
์ เป็
p => q
27

ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ
่ มประพจนย
วยตั
ว
่
้
์ อยด
ดาเนินการ “ก็ตอเมื
่ ” มีคาความจริ
งเป็ น
่ อ
่
◦
◦

จริง
เมือ
่
เหมือนกัน
เท็จ
เมืP อ
่
T
ต่างกัน T
ประพจนย
กประพจนมี
ง
์ อยทุ
่
์ คาความจริ
่
Q
P ก็ต่อเมื่อ Q
ประพจนย
อยทุ
ก
ประพจน
มี
ค
ง
์ ่
์ าความจริ
่
T
T
F
F
T
ตารางคาความจริ
งของประพจน
่ Q
่ F
่ Fอ
์ P ก็ตอเมื
F
T
สามารถเขียFนไดดั
ง
นี
้
้
28

ให้ R แทนประพจน์ “11 เป็ นจานวนคู่ ก็ตอเมื
่ 11
่ อ
หารดวย
2 ลงตัว”
้
◦ P แทน ประพจนย
“11 เป็ นจานวนคู่ ”
์ อย
่
◦ Q แทน ประพจนย
“11 หารดวย
2 ลงตัว”
์ อย
่
้

การตัดสิ นคาความจริ
งของประพจน์ R จะตองพิ
จารณา
่
้
คาความจริ
งของประพจนย
Pจและ Q
่
่ เท็
์ อย
เท็จ
◦ ประพจนย
P มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
◦ ประพจนย
Q มีคาความจริ
งเป็ น
์ อย
่
่
◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ
งเป็ น
่
จริง
29
ตัวดาเนินการ “ก็ตอเมื
่ ” สามารถเขียนแทน
่ อ
ดวยสั
ญลักษณ ์ <=>
้
 ตัวอยางเช
่
่น

p ก็ตอเมื
่ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได
่ อ
้ น
์ เป็
p <=> q
30

ตัวดาเนินการ
◦ “และ” เป็ น เท็จ เมือ
่ มีประพจนย
างน
่
่
้ อย
์ อยอย
1 ทีเ่ ป็ น เท็จ
◦ “หรือ” เป็ น จริง
เมือ
่ มีประพจนย
างน
่
่
้ อย
์ อยอย
1 ทีเ่ ป็ น จริง
◦ “XOR เป็ น จริง เมือ
่ ประพจนย
คาความ
่
่
์ อยมี
จริงตางกั
น
่
◦ “ถา...แล
ว”
เป็ น เท็จ เมือ
่ เหตุเป็ น
จริง
้
้
แตผลเป็
น เท็จ
่
◦ “ก็ตอเมื
่ ”
เป็ น จริง เมือ
่ ประพจนย
คา่
่ อ
่
์ อยมี
ความจริงเหมือนกัน
◦ “นิเสธ” เป็ น ตรงขามกับคาความจริงของประพจน
31

1.
ให้จบั คู่ความสัมพันธ์ของข้อความด้านซ้าย และ
ด้านขวา
และ ( ^ )
A. เปลีย
่ นคาความจริ
งของประพจน์
่
หรือ ( v )
B. เป็ นจริงกรณีเดียว เมือ
่ ประพจน์
เป็ นตรงขาม
้
2.
3.
ยอยเป็
นจริงทุกประพจน์
่
XOR ( ⊕ )
ผลเป็ นเท็จ
4.
ถา...แล
ว...
้
้ (=>)
D. เป็ นจริงเมือ
่ ประพจนย
คาความ
์ อยมี
่
่
ก็ตอเมื
่ (<=>)
่ อ
E. เป็ นจริงเมือ
่ มีประพจนย
์ อยใด
่
จริงเหมือนกัน
5.
6.
ประพจนหนึ
์ ่งเป็ นจริง
นิเสธ ( ~ )
C. เป็ นเท็จกรณีเดียว เมือ
่ เหตุเป็ นจริง และ
G. เป็ นจริงเมือ
่ ประพจนย
คาความจริ
ง
์ อยมี
่
่
32




ประพจนที
น แตมี
งเหมือนกันทุก
่
่ คาความจริ
่
์ เ่ ขียนตางกั
กรณี เราจะถือวา่ ประพจนทั
์ ง้ สอง “สมมูล” กัน
ประพจน์ ที่สมมูลกันสามารถนาไปใช้แทนกันได้
พิจารณาตารางค
2qประพจน
p
qาความจริ
~p งของ
p ->
~p v qนี
่
์ ้
> q กับT ~p v Tq
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
ดังนัน้ ประพจน์ p->q สมมูลกับ ~p v q
p-




ตัวดาเนินการ
ตัวดาเนินการ
ตัวดาเนินการ
ตัวดาเนินการ
“หรือ”
“และ”
“ถา...แล
ว”
้
้
“ก็ตอเมื
่ ”
่ อ
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
PvQ
T
T
T
F
ลองสลับที่
P
Q
QvP
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
สั งเกตวา่ การสลับทีย
่ งั คงให้คาความจริ
งเหมือนเดิม
่
ดังนั้น P v Q  Q v P
นอกเหนือจากการสลับที่ ยังมีการสมมูลในรูปแบบอืน
่ ๆอีก
ดังนี้
ประพจ สมมูล ??
หมายเหตุ
น์
PvP

P
P v ~P

T
PvT

T
PvF

P
คาความจริ
งตรงขามกั
น ยังไงก็
่
้
เป็ นจริงเสมอ
หรือ กับ “T” ยังไงก็จริงตลอด
หรือ กับ “F” ขึน
้ กับวา่ P เป็ น
อะไร

ข้อควรระวัง
◦ ถาเจอ
PvQPvR
้

ห้าม สรุปวา่
P v R เด็ดขาด
การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม
◦ (P v Q) v R  P v (Q v R)  P v Q v R
(เชือ
่ มดวย
“v” ทัง้ หมด จัดกลุมใหม
ได
้
่
่ ้ ถอดวงเล็บได)้
◦ ~(P v Q)  ~P ^ ~Q
(ลุยนิเสธเขาไปในวงเล็
บ แลว
่ ม)
้
้ เปลี่ยนตัวเชือ
P
Q
T
P^Q
P
Q
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
ลองสลับที่
Q^P
สั งเกตวา่ การสลับทีย
่ งั คงให้คาความจริ
งเหมือนเดิม
่
ดังนั้น P ^ Q  Q ^ P
นอกเหนือจากการสลับที่ ยังมีการสมมูลในรูปแบบอืน
่ ๆอีก
ดังนี้
ประพจ สมมู ??
หมายเหตุ
น์
ล
P^P

P
P ^ ~P

F
P^T

P
P^F

F
คาความจริ
งตรงขามกั
น ยังไงก็
่
้
ตองเจอเท็
จ
้
ฝั่งหนึ่งเป็ น T แลว
้ กับวา่ P
้ ขึน
จะเป็ นอะไร
เชือ
่ มดวย
้ “และ” เจอ F เป็ นเท็จ
แน่ๆ

ข้อควรระวัง
◦ ถาเจอ
P^QP^R
้

ห้าม สรุปวา่
P ^ R เด็ดขาด
การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม
◦ (P ^ Q) ^ R  P ^ (Q ^ R)  P ^ Q ^ R
(เชือ
่ มดวย
“^” ทัง้ หมด จัดกลุมใหม
้
่
่ ถอดวงเล็บได)้
◦ ~(P ^ Q)  ~P v ~Q
(ลุยนิเสธเขาไปในวงเล็
บ แลว
่ ม)
้
้ เปลี่ยนตัวเชือ

การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม
◦ P v (Q ^ R)  (P v Q) ^ (P v R)
◦ P ^ (Q v R)  (P ^ Q) v (P ^ R)

สาหรับตัวดาเนินการชนิดนี้
นั่นคือ
ไม่มีสมบัตใิ นการสลับที่
◦ P -> Q  Q -> P เรียกวา่ บทกลับ (Converse)
◦ P -> Q  ~P -> ~ Q เรียกวา่ ขอความผกผั
น (Inverse)
้
◦ P -> Q  ~Q -> ~P เรียกวา่ ขอความแย
งสลั
บที่
้
้
(Contrapositive)
การสมมู ล กัน ของตัว
ดาเนิ นการ “ ถ้ า ... แล้ ว ”
ประพจ สมมู
น์
ล
??
P -> Q

~P v Q
P -> P

T
P -> T

T
T -> P

P
หมายเหตุ
P เป็ นตัวเดียวกัน ไมมี
่ ะ
่ โอกาสทีจ
จะเป็ น T -> F ได้
ขางหลั
งไมใช
้
่ ่ F ยังไงก็จริงเสมอ
ขางหน
้ อยูกั
้
้ าเป็ น T แลวขึ
้ น
่ บวา่
P เป็ นอะไร
การสมมู ล กัน ของตัว ดาเนิ นการ
“ ถ้ า ... แล้ ว ”
ประพจ สมมู
น์
ล
??
P -> F

~P
F -> P

P ->
~P

หมายเหตุ
เรารูว
้ า่ x -> y  ~x v y
ดังนั้น P -> F  ~P v F
 ~P
างหลั
ง
T หน้าเป็ น F ไมต
่ องสนใจข
้
้
ยังไงก็จริงเสมอ
ดังนั้น P -> ~P  ~P v ~P
~P
 ~P
การสมมู ล กัน ของตัว
ดาเนิ นการ “ ถ้ า ... แล้ ว ”

ข้อควรระวัง
◦ ถาเจอ
P -> Q  P -> R
้

ห้าม สรุปวา่
P -> R เด็ดขาด
การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติมถูกชี้เครื่ องหมายไม่เปลี่ยน
◦ P -> (Q v R)  (P -> Q) v (P->R)
P -> (Q ^ R)  (P->Q) ^ (P -> R)
ไปชี้เครื่ องหมายเปลี่ยน
◦ (P v Q) -> R  (P -> R) ^ (Q -> R)
(P ^ Q) -> R  (P -> R) v (Q -> R)
P
Q
P <-> Q
P
Q
Q <-> P
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
F
T
ลองสลับที่
สั งเกตวา่ การสลับทีย
่ งั คงให้คาความจริ
งเหมือนเดิม
่
ดังนั้น P <-> Q  Q <-> P

ถาเติ
้ มนิเสธไปทัง้ 2 ขางให
้
้กับประพจน์ P <-> Q จะ
พบวา่
◦ ~P <-> ~Q  P <-> Q

ถาใส
<->Q)
้
่ นิเสธให้กับประพจน์ ใส่(Pนิเสธแค่
ตวั เดียจะได
วพอ ว้ า่
◦ ~(P <->Q)  ~P <-> Q
 P <-> ~Q

นอกจากนี้ ยังมีสมบัตก
ิ ารเปลีย
่ นกลุมด
่ วย
้
◦ P <-> (Q <-> R)  (P <-> Q) <-> R  P <-> Q <-> R
ชื่อ
เอกลักษณ์
ครอบคลุม
T^pp
pvTT
,
p^F  F
สะท้อน
pvpp
,
p^p p
สัจนิรนั ดร์/ขัดแย้ง
นิเสธซ้อน
สลับที่
เปลี่ยนกลุ่ม
p v ~p  T
,
p ^ ~p  F
กระจาย
p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r) , p ^ (q v r)  (p
^ q) v (p ^ r)
ซึมซับ
p v (p ^ q)  p
(Domination)
(Idempotent)
รูปแบบประพจน์
,
Fvp  p
~~p  p
pvqqvp
,
p^q q^
(p v q) v r  p v (q v r)
(q ^ r)
, (p ^ q) ^ r  p
, p ^ (p v q)  p
ชื่อ
รูปแบบประพจน์
Exclusive or
p ⊕ q  (p v q) ^ ~(p ^ q)
p ⊕ q  (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
Implies
Bicondition
p -> q  ~p v q
p <-> q  (p->q) ^ (q -> p)
p <-> q  ~(p⊕q)
50

similar documents