99年大學學測數學試題解析

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99年大學學測數學試題解析
柯光遠 99.01.30
99-1
99-1解答(1)
(解1)
(解2)
選(2)
H
2
10
C
11
10
 11
每一項都是1,其值為10,
其中一個1換成-1其值變成8,
其中二個1換成-1其值變成6,
依此可知其值為
10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10
共11個不同的值..
99-1解答(2)
(解3)
設其中有m個1,n個-1,
則m+n=10,m,n為非負整數
其值為m-n=m-(10-m)=2m-10
m=0,1,2,3…..,10
代入可得11個不同的值
99-2
99-2解答
5
a
b
7
4
35-ab=4
ab=31,又a,b為整數
a=1,b=31;a=31,b=1;a=-1,b=-31;a=-31,b=-1;
|a+b|=32
選(3)
99-3
99-3解答
E 
C C
3
1
C
選(5)
6
2
3
1
 100  60
99-4
99-4解答
AB : x  y  1  0
p
1
q
 AB  d (P, AB )
1
 A B  d (Q , A B )
2
2
r 
1
 AB  d (R, AB )
2
比較p,q,r的大小只要比較 d ( P , A B ), d ( Q , A B ), d ( R , A B ) 的大小
d (P, AB ) 
 11

2
d (Q , A B ) 


2
2
 3  6 1

5
2
2
d (R, AB ) 
5
2
2
3.14
3
2
1

3.5
2

3.268
2
p<q<r
選(1)
99-5
99-5解答
(1.08)
100
 x
log x  100(log
27  4
)
100
log x  100(3 log 3  2 log 2  2)
log x  100  0.0333  3.33
x  10
0.33
選(3)
 10  2  1000
3
99-6
99-6解答
設P(x,y,z)
(1, 2,1)  ( x , y , z )  6  E : x  2 y  z  6  0
P為球面S和平面E的交點
d (O , E ) 
6

6 4
6
球面S和平面E的交出一圓
選(4)
99-7
99-7解答
1 :
2 :
3 :
x
2
5
2
x
2
5
2
x
2
5
2



選(4)
y
2
3
2
y
2
3
2
y
2
3
2
 a  5, l1  10
1
2

2x
5
 2 :
x
2
(5 2 )
2

5
2
2
(3 2 )
x  10 x  5
2
 3 :
y
2

 1  a  5 2 , l2  1 0 2
2
y
2
3
2

5
2
5
2
 a  5, l3  10
99-8
99-8解答
(1)
cos  1 
(2)  2
1
3

1
2
 cos

4
 1 

4
    1 ,  3     1 ,  4  2   1
(3)
cos  3  0
(4)
sin  4  0
選(2)(3)
99-9
99-9解答
(1)奇次實係數方程式至少有一實根
(2)(3) a  0, a 
或
2  0, 2
1
 2; a  0, a 
a
1
 2
a
x
x
0 2 2 0
1
2
令 t= log 2 x  t+ = 1  t  t  1  0, 無 實 根
t
x
x
(4) 令 t= sin x  t+(1-2t 2 )-3=0  2t 2 -t+2=0, 無 實 根
(5) -5  4 sin x + 3 co s x  5  -5 
或 5 sin (x+  )=
9
2
9
2
 sin (x+  )=
 5, 有 實 數 解
9
10
 有實數解
選(1)(5)
99-10
99-10解答
(1) a 1 =1,a 2 =0
n  N,
(2) 整數減法有封閉性
n(n+1)
N
2
,
(3) 整數減無理數必得無理數
(4)
a n+1 =
a n+2 =
n(n+ 1)
2
-a n a n+2 =
(n+1)(n+2)
2
-(
(n+1)(n+2)
n(n+1)
2
2
-a n+1
-a n )=a n +(n+1)
a n+2 >a n
(5) a k+2 =a k +(k+1)
a 3  a1  2 →奇數項同奇偶
a 4  a 2  3 →偶數項奇偶相間
選(2)(3)(4)
或代入觀察
99-11
99-11解答
投影點在L上必在2x-y=2上 (2)錯 其餘有可能
設投影點為(x,y,z)則 (x,y,z)  (x-2,y-2,z-2)=0
 x(x-2)+y(y-2)+z(z-2)=0
或 (x-1) 2 +(y-1) 2 +(z-1) 2 =3
代入檢查即可
選(1)(3)(5)
99-12
99-12解答
(1)真正的p只有天知道
(2) [0.52-2  0.02,0.52+2  0.02]=[0.48,0.56]
(3) 設女性抽樣數為n1,設男性抽樣數為n2
0 .5 2  0 .4 8
n1
0 .5 9  0 .4 1
n2
(4) 合併後的 p =
= 0 .0 2  n 1 =
0.52  0.48
= 0 .0 4  n 2 =
n 1  p1 + n 2  p 2
(5)合併後的標準差
n1 +n 2
(0.02)
2
(0.04)
=
0.59  0.41
0.0016
 p1 < p < p 2
0.53  0.47
624+ 151
<
=624
0.0004
0.59  0.41
2
=
0.52  0.48
= 1 5 1 .1 8  n 1 >n 2
 p  0.53
0.52  0.48
624
= 0.02
選(2)(4)
99-A
99-A解答
設C(12,y) y>0 則
B A =(-6,-1),B C =(4,y-2)
|
-6
-1
4
y-2
|= 38
 |16-6y|= 38  y= 9or-
設D(α,β)
B C = (4,7)= A D = (  -2,  -1)
 (  ,  )= (6,8)
11
3
(不 合 )
99-B
99-B解答
因為實係數方程式虛根成對,
f(x)=[x-(3-2i)][x-(3+2i)](x-i)(x+i)(x-5)
2
f(x)=[(x-3)+2i)][(x-3)-2i)](x +1)(x-5)
2
2
2
f(x)=[(x-3) -(2i) ](x +1)(x-5)
2
2
f(x)=(x -6x+13)(x +1)(x-5)
f(x)=...........-65
99-C
99-C解答
(1) 1,2在第一列的方法數 3  2  4 !
(2) 1,2在第一行的方法數 2  1  4 !
(3) 1,2在同一行或同一列的方法數 3  2  4 !  2 + 2  1  4 !  3
= 4 ! 1 8 = 2 4  1 8 = 4 3 2
(另解)
6  3 4!
122
2
2 1 2
2
99-D
99-D解答
(1) 解前兩式得 x=
(2) 代入第三式得
2-a
3
3
2-a
a(1-2a)
3
2
2-a+ 2a -a= 366
2
a -a-182=0
(a-14)(a+13)=0
a= 1 4 o r-1 3
,y=
1-2a
(不合)
-
3
= 122
99-E
99-E解答
設  A B C =  ,  A B D =2  ,B D =x
cos  =
5
, cos 2  =
6
5
x
cos 2  = 2 cos  -1
2
5
=2  (
x
x=
5
6
90
7
2
) -1=
7
18
99-F
99-F解答
設P(p,0),Q(q,0),R(r,0),S(s,0) 則
p+ q= -a,pq= b
r+s=-a,rs=b+2
2
2
P Q = |p-q|= (p+ q) -4pq = a -4 b = 7
 a -4b= 49
2
2
2
R S=|r-s|= (r+s) -4rs = a -4 b -8 = 49-8 = 41
(特殊值解法) 設P(0,0),Q(7,0)則 x 2 +ax+b=x(x-7)=x 2 -7x  a= -7,b= 0
x +ax+(b+2)=x -7x+2  r=
2
 r-s= 4 1
2
7+ 41
2
,s=
7- 41
2
99-G
99-G解答
設  C =  ,  A =2  ,  B =  -3  ,A C =x
x
由正弦定理得
3
sin 2 
x
sin 3 
=
=
2
sin 
2
sin 
sin 3 
19
sin 2 
=
2
sin 
3
4
2(3sin  -4sin  )
3
 x=
2
=2(-1+4 
3
 3 sin  =2(2sin  cos  )  cos  =
=2(-1+4cos  )
9
=
)=
5
2
sin 
 x=2(3-4sin  )
2
99-H
99-H解答
設F拋物線的焦點,L’為拋物線的準線, 則F(0,2), L’:y=-2
| d (P, L)  AP |
P
| P F  3  A P |
F
A
| P F  A P |  | 3 |
y=-2
 AF  3

9
4
3
3
21
4
y=-5

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