مثال

Report
‫بسم ا‪ ...‬الرحمن الرحيم‬
‫درس کنترل ديجيتال‬
‫نیم سال اول ‪93-92‬‬
‫سعید شمقدری‬
‫« تحليل پايداري »‬
‫مقدمه ‪:‬‬
‫• سیستم های ‪LTI‬‬
‫• سیستم های ‪LTV‬‬
‫• سیستم های غیرخطی و متغیر با زمان‬
‫تعاريف‬
‫حالت تعادل‬
‫پایداری‬
‫ناپایداری‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪ G,F,E,A‬و فيمابين ‪ D,B‬را نقاط تعادل گويند‪.‬‬
‫نقاطي مانند ‪ F,A‬نقاط ناپايدار هستند‪.‬‬
‫نقاطي مانند ‪ E,G‬نقاط پايدار هستند‪.‬‬
‫فيمابين ‪ D,B‬نقاط پايدار طبيعي ميگوييم‪( .‬به نقطه تعادل باز نميگردد اما كمي جلو رفته دوباره‬
‫ميايستد)‬
‫لياپونف دو ديدگاه را مطرح ميكند ‪:‬‬
‫روش اول ‪ :‬بر اساس پاسخ سيستم‬
‫روش دوم ‪ :‬بر اساس معادالت سيستم (كاربردي تر )‬
‫تعاريف ‪:‬‬
‫حالت تعادل ‪:‬‬
‫اگرسيستم ‪ L T I‬باشد ‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫) ‪x  Ax (t‬‬
‫آنگاه اگر ‪ nonsingular A‬باشد تنها يك حالت تعادل و اگر ‪singular A‬باشد تعداد‬
‫بيشماري حالت تعادل خواهيم داشت‪..‬‬
‫پايداري از ديد لياپونف ‪:‬‬
‫پايداري مجانبي از ديد لياپونف ‪:‬‬
‫حوزه جذب‪ :‬بزرگترين محدودة پايداري مجانبي‬
‫پايداري ‪Global‬‬
‫ناپايداري ‪:‬‬
‫روش مستقيم لياپانوف‬
Mx  bx x  k 0 x  k1 x  0
3
:‫مثال‬
bx x   Nonlinear Damping 
k 0 x  k1 x 3   Nonlinear Spring 
‫فرض ميکنيم که جرم را توسط يک فاصله زيادتر از حد طول معمول فنر‬
‫بکشيم و بعد رها کنيم‪ ،‬سئوال اينست که پاسخ نهايي(حرکت نهايي)پايدار‬
‫است يا خير؟‬
‫آزمايش انرژي‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v  x   Mx   k0 x  k1 x3 dx  Mx 2  k0 x 2  k1 x 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫مقايسه تعاريف پايداري و انرژي مکانيکي‪:‬‬
‫‪ -1‬نقطه تعادل= انرژي صفر )‪، x(0‬‬
‫‪x  0‬‬
‫‪ -2‬پايداري مجانبي═» ‪ converge‬نمودن انرژي مکانيکي به صفر‬
‫‪ -3‬ناپايداري═» رشد انرژي مکانيکي‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪V  x   Mx x  k 0 x  k1 x 3 x  x  bx x   bx 2 x‬‬
‫اين بدين معناست که انرژي سيستم از يک نقطه شروع شده است و بطور‬
‫پيوسته در حال تنزل کردن ميباشد‪ ،‬يعني در نهایت ‪:‬‬
‫‪x  0‬‬
‫پايداري سيستمهاي ‪LTI‬‬
‫پايداري سيستمهاي ‪LTI‬‬
‫قضيه ‪:1‬‬
‫سيستم خطي ‪ LTI‬زير را درنظر بگیريد‪.‬‬
‫) ‪x (t )  Ax(t‬‬
‫اين سيستم پايدار به مفهوم لياپونف است اگر و فقط اگر ‪:‬‬
‫الف ‪ :‬كلية مقادير ويژه ‪ A‬قسمتهاي حقيقي غیرمثبت داشته باشند‪.‬‬
‫ب ‪ :‬آن دسته از مقادير ويژه ‪ A‬كه قسمتهاي حقيقي آن صفر هستند‪ ،‬صفرهاي ساده‬
‫چند جملهاي معادله مشخصه ‪ A‬باشند‪.‬‬
‫قضيه ‪:2‬‬
‫سيستم خطی زير پايدار مجانبي است اگر و فقط اگر كليه مقادير ويژه ‪ A‬داراي قسمتهاي حقيقي‬
‫منفي باشند‪.‬‬
‫) ‪x  Ax(t‬‬
‫قضيه ‪:3‬‬
‫سيستم خطی زير پايدار مجانبي است ‪ global‬است اگر و فقط اگر پايدار مجانبي باشد‪.‬‬
‫) ‪x  Ax(t‬‬
‫قضيه ‪:4‬‬
‫سيستم خطی به مفهوم لياپانوف پايدار است اگر و فقط اگر ‪:‬‬
‫الف ـ كليه مقادير ويژه ‪ A‬قسمتهاي حقيقي غیر مثبت داشته باشند‬
‫ب ـ آن دسته از مقادير ويژه ‪ A‬كه قسمتهاي حقيقي آنها صفر هستند‪ ،‬صفرهاي ساده چند جملهاي‬
‫مشخصه باشند ‪.‬‬
‫ميدانيم هر قطب )‪ G(s‬مقدار ويژه ‪ A‬است اما بالعكس آن صحيح نيست‪.‬‬
‫شرط پايداري‪:‬‬
‫سيستم تعريف شده با ماتريس تبديل )‪ G(S‬پايدار ‪ BIBO‬است اگر و فقط اگر قطبهاي هر عنصر‬
‫)‪ G(S‬قسمتهاي حقيقي منفي داشته باشد‪.‬‬
‫‪1 0 ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ x    u‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪1  1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪1) x‬‬
‫‪Zero state response .  BIBO‬‬
‫‪not A.S.Y Stable‬‬
‫‪y  (1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S 1‬‬
‫‪G(S )  C (SI  A) 1 B ‬‬
‫‪SI  A  ( S  1) ( S  1)  ‬‬
‫قضيه ‪: 6‬‬
‫اگر سیستم خطی‪ ،‬كنترلپذير و مشاهدهپذير باشند آنگاه عبارات زير‬
‫معادل هستند‪:‬‬
‫ا‬
‫‪ )1‬سيستم كامل پايدار است‪.‬‬
‫‪ )2‬پاسخ حالت صفر ‪ BIBO‬است‪.‬‬
‫‪ )3‬پاسخ حالت صفر پايدار مجانبي است‪.‬‬
‫‪ )4‬كليه قطبهاي ماتريس تبديل داراي قسمتهاي حقيقي منفي هستند‪.‬‬
‫‪ )5‬كليه مقادير ويژه ‪ A‬داراي قسمتهاي حقيقي منفي ميباشند‪.‬‬
‫تعاريف‬
‫‪ ‬معین مثبت بودن توابع اسكالر‪:‬‬
‫تابع اسكالر )‪ v(x‬را در ناحيه‬
‫‪‬‬
‫كه در برگیرنده مبدأ فضاي حالت است‪ P.D ،‬ميگوييم كه هرگاه به‬
‫‪V (0)  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪V ( x)  0‬‬
‫‪ ‬معین منفی بودن توابع اسكالر‪:‬‬
‫تابع اسكالر )‪ v(x‬را معین منفی می گوييم‪ ،‬هرگاه )‪ ، -v(x‬معین مثبت باشد ‪.‬‬
‫‪ ‬نيمه معین مثبت ‪PSD‬‬
‫‪ ‬نيمه معین منفی ‪N.S.D‬‬
‫‪ ‬نامعین‬
‫اگر تابع اسكالر (‪ v(x‬در ناحيه ‪‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫هم مقادير مثبت و هم مقادير منفي را دارا باشد آنرا نامعین‬
‫‪v (0)  0  v( x) P.D‬‬
‫‪‬‬
‫‪v( x)  0‬‬
‫‪x22‬‬
‫‪‬‬
‫ميگوييم‪.‬‬
‫‪v( x)  x12‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪v(0)  0‬‬
‫‪  v( x) P.D‬‬
‫‪v( x)  0 ‬‬
‫‪ 2 x22‬‬
‫‪v( x)  x12‬‬
v( x)  ( x1  x2 )
2
v(0)  0
v( x)  0

 P.S .D
except x1   x2 
:‫مثال‬
:‫مثال‬
v( x)  ( x1  x2 ) 2
v(0)  0
v( x)  0

 v( x) P.S .D
except x1  x2 
‫صورتهاي درجه ‪:2‬‬
‫دسته مهمي از توابع اسكالر كه داراي نقش در تعيین پايداري هستند(به عنوان تابع لیاپانوف)‬
‫‪V (t )  X T PX‬‬
‫‪ x1 ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ x1 ,  x n  P   ‬‬
‫‪ x n ‬‬
‫)‪(‬‬
‫ضرایب جدید‪:‬‬
‫‪p1n   x1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪pn n   xn ‬‬
‫‪p12‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ p11‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ( x1 , ... , xn )  ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ n1‬‬
‫‪i j‬‬
‫‪( Pij  Pji ) / 2‬‬
‫‪ P‬متقارن‬
‫‪(Pij  Pji ) xi x j‬‬
‫‪ p‬یک ماتريس مثبت معین است اگر یکی از شرايط زير برآورده شود ‪:‬‬
‫‪ )1‬تمام مقادير ويژ ه ‪ p‬مثبت باشند‪.‬‬
‫‪ )2‬تمام كهادهاي اصلي مقدم مثبت باشند‪.‬‬
‫‪a13 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a23 ‬‬
‫‪a33 ‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪a32‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪A   a21‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ 31‬‬
‫كهادهاي اصلي مقدم‬
‫‪a11 a12‬‬
‫‪,‬‬
‫‪, A‬‬
‫‪a21 a22‬‬
‫‪a11‬‬
‫قضيه‬
‫‪p1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪pn n ‬‬
‫‪...  n  p‬‬
‫‪p12‬‬
‫‪p22‬‬
‫‪p12‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ p11‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ pn 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪p11‬‬
‫‪1  P11 ;  2 ‬‬
‫‪p21‬‬
‫‪ P‬مثبت معین است‬
‫‪ P‬منفی معین است‬
‫‪ P‬مثبت نیمه معین )‪(PSD‬است اگر ‪ P‬ناویژه باشد و کهادهای اصلی نامنفی باشند‬
‫‪ P‬منفی نیمه معین )‪(NSD‬است اگر ‪ P‬ناویژه باشد و کهادهای اصلی مرتبه زوج غیرمنفي و مرتبة فرد‬
‫غیرمثبت باشند‬
Q ( x1 , x2 , x3 ) 10 x  4 x 1 x  2 x1 x2  2 x2 x3  4 x1 x3
2
1
2
2
2
3
 10 1  2   x1 

 
T
Q ( x1 , x2 , x3 )  x p x  ( x1 , x2 , x3 )  1
4  1   x2 
  2 1 1   x 

  3
10  0 ,
10 1
0
1 4
,
p
0
PP.D  Q ( x1 , x2 , x3 ) P.D
: ‫مثال‬
v ( x)  
x 12
 3 x22
 11 x32
 2 x1 x2  4 x2 x3  2 x1 x3
1 
 1 1


v( x)  ( x1 x2 x3 )  1  3  2 
  1  2  11


 1 0
1 1
0
1 3
V ( X ) N .D
 x1 
 
 x2 
x 
 3
P 0
: ‫مثال‬
‫قضيه پايداري مجانبي ‪:‬‬
‫اگر كه سيستم به شكل زير تعريف شده باشد كه ‪:‬‬
‫‪X e ‬‬
‫آنگاه اگر تابع اسكالر) ‪v ( x , t‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪x  f ( x, t‬‬
‫‪where f (0 , t )  ‬‬
‫داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد ‪:‬‬
‫‪1)V ( x, t ) P.D‬‬
‫‪2)V ( x, t ) N.D‬‬
‫آنگاه حالت تعادل در مبدأ داراي پايداري مجانبي است ‪.‬‬
‫قضيه ناپايداري‬
‫اگر سيستم به شكل زير باشد كه ‪:‬‬
‫) ‪X  f ( x , t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪f (0 , t )  0‬‬
‫داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد ‪:‬‬
‫آنگاه اگر تابع اسكالر ) ‪v ( x , t‬‬
‫‪w ( x, t ) P.D‬‬
‫‪ ( x, t )P.D‬‬
‫‪w‬‬
‫آنگاه سيستم ناپايدار است‪.‬‬
: ‫مثال‬
x1  x2  x1 ( x12  x22 )
x 2   x1  x2 ( x12  x22 )
V ( x)  x12  x22  P.D
V ( x)  2x1 x1  2x2 x 2
 2 x1 ( x2  x1 ( x12  x22 ) )  2 x2 ( x1  x2 ( x12  x22 )
2
  2 ( x1
x
2 2
2)

N .D
‫جمعبندي براي سيستمهاي غیرخطي ‪:‬‬
‫‪ )1‬پایداری لياپونف‪ :‬فقط شرط كافي‬
‫‪ )2‬تابع لياپونف براي یک سيستم ‪ unique‬نيست‬
‫‪ )3‬براي حالت تعادل پايدار ‪ /‬پايدار مجانبي همواره يك تابع لياپونف وجود دارد‪.‬‬
‫تحليل پايداري سيستمهاي ‪ L T I‬با استفاده از روش لياپونف ‪:‬‬
‫‪x  A x‬‬
‫فرض‪ A :‬ناويژه است ‪x=0 ‬تنها حالت تعادل‬
‫تابع احتمالي لياپونف‪:‬‬
‫‪v( x)  x  p x‬‬
‫‪ P‬مثبت معین و متقارن‬
‫‪v ( x)  x  p x  x  p x‬‬
‫‪ ( Ax )  px  x  PA x‬‬
‫‪ x  A P x  x  P A x‬‬
‫‪ x  ( A P  PA ) x‬‬
‫شرط پایداری‪:‬‬
‫‪Q   ( A x  PA)  P.D‬‬
‫‪V ( x)   x  Q x‬‬
‫روش بهتر‪:‬‬
‫انتخاب دلخواه ماتريس مثبت معین ‪ Q‬و سپس بررس ي ‪ P‬حاصل از معادله لیاپانوف‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪A P  PA   Q‬‬
‫شرط الزم و کافی برای پایداری مجانبی مبدا‪:‬‬
‫برای هر ماتریس مثبت معین ‪ Q‬یک ماتریس مثبت معین ‪ P‬وجود داشته باشد که در معادله لیاپانوف صدق‬
‫می کند‬
‫تابع لیاپانوف‪V :‬‬
:P ‫تعیین‬
Q=I ‫انتخاب‬
‫ معادله‬n(n+1)/2 ‫ از معادله لیاپانوف با تشکیل‬P ‫تعیین عناصر ماتریس متقارن‬
P ‫ بودن‬PD ‫بررس ی‬
0 1
 x
x  
  1  1
AT P  PA   Q   I
 0  1  p11

 
 1  1  p12
1.3 .3
p 

.
3
1


p12   p11
  
p22   p12
P  P.D
p12   0 1    1 0 
 
  

p22    1  1  0  1
: ‫مثال‬
V (X )  X T P X
 ( X1
1.3 .3  X 1 
  
X 2 ) 
 .3 1   X 2 
1
 ( 3 X12  2 X 22  2 X1 X 2 )
2
2
  ( X1

2
X2
)  N .D.
: ‫بررس ی صحت‬
a
0



X  AX  
X

1  1
) 2 ‫مثال‬
.‫ طوري انتخاب کنيد که سيستم داراي پايداري مجانبي باشد‬a ‫محدوده مناسب براي‬
ATP+PA=-I
a 1   p1
 0  1  p

 3
ap1  p2
 p
2

p2   p1


p4   p3
p2   a 0    1 0 




p4  1  1  0  1
ap2  p4   ap1  p2


 p4  ap2  p4
p4  0.5 , p2 
0.5
1 a
 2a
 2a (a  1)
P
 0.5
 1  a
0.5 
1 a 

0.5 

, p1 
 p2    1 0 


 p4   0  1
2a
2a (a  1)
1
2a
 0  a ( 2  a ) * ( a  1)  0
2a ( a  1)
2 
0.5( 2  a )
1
 1 / 4(
0
2
2a ( a  1)
(1  a )
1  a  0
,1 a  2
2   a  0
, a ( 2  a ) * ( a  1)  a
( 2  a ) * ( a  1)  1  a 2  3a  3  0
from
1, 2   a  0
.‫ سيستم داراي پايداري مجانبي خواهد بود‬a<0 ‫بنابراين بازاء‬
‫تحليل پايداري سيستمهاي گسسته زمان‬
‫از روش دوم لياپانوف‬
‫‪‬سيستم گسسته زمان‪x(k+1)=f(x(k)) :‬‬
‫‪f(0)=0‬‬
‫قضیه‪ :‬اگر تابع اسکالر )‪V(x‬پیوسته از ‪ x‬چنان وجود داشته باشد که‪:‬‬
‫‪V ( x)  0 x  0‬‬
‫‪V ( x)  0 x  0‬‬
‫•‬
‫•‬
‫)) ‪V ( x( KT ))  V ( x(k  1)T )  V ( x( KT‬‬
‫‪V ( x)   as x  ‬‬
‫‪V (0)  0‬‬
‫آنگاه ‪ x=0‬پایدار مجانبی بوده و )‪ V(x‬تابع لیاپانوف است‬
‫•‬
‫•‬
‫جایگزینی شرط منفی معین بودن‬
‫    ≤  ‪• Δ‬‬
‫• )(‪ Δ‬برای هر پاسخ )‪ x(kT‬بطور متحد صفر نمی شود‬
‫• مثال‪:‬‬
‫ ‪1  + 1 = 2‬‬
‫)( ‪2  + 1 = −0.51  − 2‬‬
‫•‬
‫)( ‪• Δ  = −22‬‬
‫تحليل پايداري سيستمهاي ‪ LTI‬گسسته زمان‬
‫یادآوری گسسته سازی‬
‫گسسته‪ -‬زمان نمودن سيستم هاي پيوسته‪ -‬زمان‬
‫‪‬‬
‫سيستم گسسته زمان معادل ‪:‬‬
‫‪x  Ax  Bu‬‬
‫‪y  Cx  Du‬‬
‫‪Given :‬‬
‫‪x k  1T   G T x kT   H T u kT ‬‬
‫‪ H T ‬و ‪ G T ‬بستگي به ‪ T‬دارند‪.‬‬
: ‫پاسخ سيستم پیوسته زمان‬
 :
x t   e x 0  e
At
At
 A
e
 Bu d
t
0
:‫ سر راه ورودی‬ZOH ‫با فرض‬
u t   u kT 
kT  t  kT  T
 
x   k  1 T   e

x  kT   e
AkT
A k 1T
x  0  e
x  0  e
AkT

kT
0
A k 1T

 k 1T
0
e  A Bu   d
e  A Bu   d
:‫ كم كنيم داريم‬ ‫ضرب نموده و از معادله‬


x k  1T   e x kT   e
AT
x   k  1 T   e x  kT   e
AT
AT

T
0
A  k 1T

e AT ‫ را در‬  ‫اگر معادله‬
k 1T
kT
e  A Bu  d
e  At Bu  kT  dt
 e x  kT   (  e B d  ) u  kT 
AT
T
A
 T t
0
G T   e
AT
,
T

H T     e A d  B  A1 e AT  I .B  e AT  I A1 B
 0

G T   G  0   I , T  1
:‫توجه‬
‫پاسخ زماني ميان دو لحظه نمونه برداري متوالي‬
u ( )  u ( KT )
xt   e
If :
A( t  t 0 )
for
xt 0  
t
0
t  kT  T
kT    kT  T
e A(t  ) Bu ( )d
Where :
0  T  T
,
t 0  kT
: ‫آنگاه‬
xkT  T   e
e
AT
AT
kT  T
xkT  
kT
xkT  
T
0
e A( kT  T  ) Bu (kT )d
e A Bu (kT )d
  kT  T  
G T   e
AT
H T   (
T
0
: ‫دراينصورت‬
e A d ) B
: ‫آنگاه خواهيم داشت‬
x(kT  T )  G (T ) x(kT )  H (T )u (kT )
: ‫ خروجي سيستم را را براي لحظات ميان دو لحظه نمونه برداري بدست آوريد اگر‬: ‫مثال‬
0 1 
A

0  2

1
G T   e AT  

0
T  0.5

1
1  e  2T
2
e  2T

 x1 (kT  T )  1
 x (kT  T )  
 2
 0





1 
e 2T  1  
 T 

2
2

H T    
 1

2T
1 e


 2

1
1  e  2T
2
e  2T


 2 T
1 

e

1


  T 
x
(
kT
)




2
 1
2 

 u (kT )
  x2 (kT ) 

1

2

T



1 e
2





‫تحليل پايداري سيستمهاي ‪ LTI‬گسسته زمان‬
‫از روش دوم لياپانوف‬
‫‪‬سيستم گسسته زمان‪x(k+1)=Gx(k) :‬‬
‫‪ G‬ناویژه ‪ ،‬مبداء ‪ x=0‬حالت تعادل‬
‫‪‬تابع احتمالي لیاپانوف‪V(x(k))=x*(k)Px(k) :‬‬
‫‪ : P‬ماتريس معين مثبت و متقارن حقيقي‬
‫))‪∆v(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k‬‬
‫)‪=x*(k+1) P x(k+1)-x*(k) P x(k‬‬
‫)‪=[Gx(k)]* P [Gx(k)]-x*(k) P x(k‬‬
‫)‪=x*(k) G* P G x(k)-x*(k) P x(k‬‬
‫)‪=x*(k)[G*PG-P]x(k‬‬
‫)‪∆V(x(k))=-x*(k)Qx(k‬‬
‫]‪Q=-[G*PG-P‬‬
‫اگر ‪ Q‬مثبت معين باشد مبدا پایدار مجانبی است‬
‫روش بهتر‪:‬‬
‫انتخاب دلخواه ماتريس مثبت معین ‪ Q‬و سپس بررس ي ‪ P‬حاصل از معادله لیاپانوف‪:‬‬
‫‪G*PG-P=-Q‬‬
‫تحليل پايداری سيستم خطی تغييرناپذير بازمان‪:‬‬
‫شرط الزم و کافی‬
0   X 1 (k ) 
 0.7
X (k  1)  
  X (k )
0

0
.
7

 2 
0   p1
 0.7
 0
p

0.7

 2
p2   0.7
0   p1




p3   0
0.7   p2
:‫مثال‬
p2 
 1 0 
 


p3 
0

1


1.96 0 
P

0
1.96


‫مبدا پايدار مجانبي‬ ‫معين مثبت‬: P
‫پایداری سیستم زمان‪-‬گسسته بدست آمده از پیوسته‬
‫ = ‪•  .‬‬
‫)( =  ‪•   + 1‬‬
‫  = ‪‬‬
‫‪ A‬پایدار ‪ ‬قسمت حقیقی  منفی ‪‬‬
‫∞ →  ‪   → 0 as‬‬
‫سیستم گسسته سازی شده هم پایدار است‬

similar documents