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Symmetry
二十世紀最偉大的物理概念
the discovery of the neutron in 1932
p
n
n
中子與質子幾乎等重!
質量差只有 10−3
物理學家相信自然是沒有巧合的,巧合必定有深意。
許多原子核的性質非常接近
7
3
Li  74 Be
11
5
B C
差別只是交換了質子與中子。
11
6
同時散射實驗顯示 p-p, p-n, n-n之間的核力完全相等!
假想我們將電磁及弱力關掉,然後將所有的質子與中子互換,
p-n 互換
p
n
質子與中子質量幾乎相等!
此時宇宙中唯一的交互作用是強交互作用,兩者交互作用也相同。
在 p-n 互換之後,整個自然世界將運作如常,並沒有變化!
透過物理實驗,你無法辨別互換是否已經發生!
色盲將無法分辨青椒與紅黃椒,將其中兩者互換,他將不會發覺
關閉對顏色的感知,你才會發現它們在形狀上的相似!
電磁及弱力關掉,在 p-n 互換之後,整個自然世界將運作如常,並沒有變化!
這個現象稱為 p-n 互換不變性。
這樣的不變性是一個近似不變性,或部分不變性,只有核力遵守!
不變性的對稱是物理世界美的代表!
這個世界是部分美麗的!
實用主義者!
p,n 的差別在其中一個 u夸克換成了 d夸克
p

n


p-n 互換不變性其實是 u-d 互換不變性
在 u-d 互換之後,宇宙將運作如常,並沒有變化!

u-d 互換不變性

u 與 d 的分別是人造的,所以可以互換而不影響物理結果!
這樣的變換只有兩個,互換一次後,再互換即回到原狀。
Z2
推廣這個不變性, 假設 u-d 互換時,所有的雙重態也會一起上下互換!
在所有雙重態一起上下互換之後,宇宙將運作如常,並沒有變化!
u-d 互換不變性
雙重態互換不變性
在物理中,不變性是一種對稱性。
日常生活中,對稱的意義是一種平衡或稱為 "patterned self-similarity"
左右對稱
更複雜的對稱
什麼是對稱 Symmetry?
假如我們對一個物體作某個操作(變換),
在操作之後它看起來和操作前一樣,此物體就是這個變換下是對稱的!
左
右
將三角形的左右交換後,它的形狀與之前一模一樣。
Mirror Symmetry 鏡射對稱
左
右
此建築在鏡子的反射變換後,左右互換後,形狀不變!
看此建築,你無法分辨你是在鏡中還是在真實的世界。
風車,在旋轉一個直角的變換下是對稱的。
雪花則是旋轉60°角的變換下是對稱。
一個物體在變換之後,和變換前看來一樣,就是在此變換下對稱!
這跟物理有甚麼關係?
在物理中,對稱性一樣是變換前後的不變性。
物理的條件很多時候是對稱的!
意思是物理的條件在某一個變換之後與之前不變。
l
l
45°
45°
左右兩的鐵環質量一樣,左右鐵棒一樣,彈簧整體是均勻的。
l
l
45°
鏡射變換:可以想像成在鏡中觀察同一個現象。
在鏡中所看到的裝置在物理上與原來是無法分別的。
45°
如此,我們一般預期系統的運動軌跡在此變換之後與之前不變
l
45°
我們可以確定:左右鐵環在運動過程中會一直等高。(否則變換前後會不同)。
物理的條件在變換之後與變換之前一樣。
可以得到:系統的運動在轉換之後與之前不變。
l
45°
此一論證有一個漏洞。
但系統的運動是由物理定律決定的。
物理定律在轉換前後是不變的嗎?
物理定律的變換
l
l
F’
F
a


F  ma
a’
45°
45°
Fx   Fx
Fy  Fy
a x  ax
a y  ay
Fx  max
Fy  may


F '  ma '
 Fx  max
鏡射變換
物理定律在鏡射變換前後是不變的。
Fx  max
Fy  may
物理的條件在變換之後與之前一樣
物理定律在變換前後不變。
因此可以確定論證:系統的運動在變換之後與之前不變。
l
45°
l
45°
以下的想像中的物理定律在鏡射變換下就不是不變的!
l
l
F
F’
a
a’
45°
45°

 ˆ
F  ma  ki

 ˆ
F '  ma 'ki
固定的常數 k
Fx   Fx
Fy  Fy
a x  ax
a y  ay
Fx  ma x  k
Fy  may
 Fx  max  k Fx  max  k
鏡射變換
藉由實驗可以分辨你是在真實或是鏡中的世界。
Fy  may
這樣的項可以來自一個流動的介質,例如向右吹的風
向右吹的風破壞了鏡射對稱。
流動的風
l
l
F
F’
a
a’
45°
45°

 ˆ
F  ma  ki

 ˆ
F '  ma 'ki
鏡射對稱被破壞的物理定律下,即使條件符合對稱,其運動並沒有鏡射對稱。
流動介質
流動介質
l
45°
物理的條件在變換之後與之前一樣
物理定律在變換前後不變。
可以論證得到:系統的運動在變換之後與之前不變。
l
45°
l
45°
我們就稱此物理系統有對稱性!
在所有雙重態一起上下互換之後,宇宙將運作如常,並沒有變化!
物理條件不變:雙重態上下粒子性質(質量)相同。
物理定律不變:雙重態上下粒子的(強)交互作用滿足一樣的規則。
雙重態互換不變性:互換對稱性。


這個互換變換,需要定義得更精確一些:
想像一個變換後的世界:將其中變換之後的夸克,稱為′ , ′。
′ 其實是原來的夸克,而′其實是。
因此這兩個新命名的夸克′ , ′,與原來的夸克, 之間,
有一個很簡單的交換關係:

′
=


′
=

顏色不變
如果, 的差別只是命名上的方便而不是有實質的差異,
′ , ′的性質與滿足的物理定律,和, 一樣。
變換後的世界與變換前的世界將無法分辨!
變換後的世界並不是一個實質存在的世界。
它是一個想像的世界。
就像日常生活的對稱變換,是讓我們釐清一個物體的形狀的內在性質。
物理的想像的對稱變換,是讓我們釐清物理定律的內在數學結構與性質。
′
′
=
′



變換後的世界由′ , ′也組成了質子,

′
=

′
′
=

但 ′ 其實是 , ′ 其實是 ,變換後世界的質子對應變換前的中子。
中子的性質與滿足的物理定律,尤其是強交互作用,和質子一樣。
變換後的世界與變換前無法分辨!
這個情況與向量分析非常類似:

a  axiˆ  a y ˆj  (ax , a y )
分量法
可是,自然界並沒有所謂 x 軸及 y 軸
,  的差別只是命名而不是實質的,
所以,物理的結果應該與座標軸的選取無關!
既然座標軸的選取是任意的
我可以將兩者互換而不影響!
 x, y    x ' , y '   y , x 
′
=

′
=

令人驚訝的是,在量子力學下互換變換的可能性卻變得更多!
因為量子力學容許量子狀態的疊加,如同兩個波的疊加一般!
因此可以想像夸克與夸克分別換成 夸克與夸克的疊加狀態!
這兩個疊加態,必須如變換之前一樣,是彼此垂直。

′
=


′
=
∙

+ ∙


′
=

′
′
=
∙

+ ∙

古典
量子
量子力學推廣的 u-d 互換不變性
這與向量的座標軸變換非常類似!
座標軸的選取是任意的
我可以將座標軸旋轉 θ 角,得到一組新的座標軸
在新座標軸量到的座標值與舊的座標值有一定的關係:
 x
 
 y
 x' 
 
 y' 
x'  xcos  ysin ,
y'  xsin  ycos
 x
 
 y
 x' 
 
 y' 
x'  xcos  ysin ,
y'  xsin  ycos
這個變換稱為座標軸旋轉變換,或就簡稱旋轉變換。
此旋轉變換有連續分布的無限多個,由一個連續變數  標定。
物理的結果應該與座標軸的選取無關!
這與量子力學推廣的雙重態互換不變性非常類似!

′
=
∙

+ ∙

′
′
=
∙

+ ∙

意思是你可以重新選擇兩個 u 與 d 的線性疊加來作為新的 u 與 d。
物理的定律與結果應該跟你的選擇無關。

′
=
∙

+ ∙

′
′
=
∙

+ ∙

這樣的變換也是有連續分布的無限多個。
只要滿足適當條件的四個複數 a,b,c,d 就給出一個變換!
u 
以矩陣來描寫這些變換更加方便!將夸克與夸克寫成列: 
d 
a  b 1
a b 
 適當條件: 2
2
U  
c  d 1
c d 
ac*  bd *  0
2
 u   u' 
u 
      U  
 d   d '
d 
*
a
b

a


   *
UU   
c d  b
u-d 互換現在有無限多個可能的變換,
2
c* 
 1
*
d 
a b 

U  
 u   u' 
u
c d 
      U  

U
U 1
d
d
'
d
   
 
detU  1
滿足條件的2 × 2矩陣就給出一個變換!
2 × 2矩陣的四個複數 a,b,c,d 滿足五個條件。
因此變換由三個連續實數來標訂
這些連續分布的矩陣的集合組成一個群,稱為 SU(2)!
Isospin SU(2)
連續分布的群稱為李群:Lie groups.
由矩陣的性質,我們可以重新以一個2 × 2矩陣的指數函數來表示所有的 矩陣。
=
−
1
= 1 −  + −
2
2
1
+
−
3!
3
+⋯
 =  −
但矩陣必須符合某些條件以使矩陣滿足它的條件。
 矩陣是 unitary  † =  −1,那麼  矩陣必須是Hermitian:† = 
det = 1,那麼  矩陣必須是Traceless:tr = 0
=
re
re + im
→
re + im
re + im
re + im
re + im
1
re − im
3
→
re
2 1 + 2
1 − 2
−3
可見 Hermitian and Traceless 的2 × 2矩陣有三個線性獨立的分量:
1
2
3
 = ∙ 1 + ∙ 2 + ∙ 3
2
2
2
0
1 =
1
1
0
 =  − =
2 =
0 −
 0



− 21 ∙1 + 22 ∙2 + 23 ∙3

1,2,3
2
3 =
就稱為Isospin SU(2) 的 generators
1 0
0 −1
3
= exp −
=1

∙
2 
 矩陣如同旋轉一般可以以三個角度1,2,3 來標定
0
1 =
1
1
0
2 =
0 −
 0
3 =
1 0
0 −1
這三個 generators 彼此的對易關係:
0 1
1 , 2 =
∙
1 0
 0
−
=
−
0 −
0
0 −
0 −
0 1
−
∙
 0
 0
1 0
0
1 0
= 2
= 2 3

0 −1
1 1
1
 ,  =  3
2 1 2 2
2
這三個 generators 彼此的對易關係正是三個方向的角動量的對易關係。
 ,  =  
這個相似度不只是如此,如果直接看自旋為1/2的粒子狀態:
1
1 ↑ + 2 ↓ = 
狀態
2
在此二維向量空間上,角動量可以表示為:
1 0
 =
2 1
1
0
1 0 −
 =
2  0
1 1 0
 =
2 0 −1
在量子力學中,旋轉算子就是角動量線性組合的指數函數:
3
 =  −
 ∙1 + ∙2 + ∙3
= exp −
 ∙ 
=1
自旋1/2的電子態的三個角動量與 Isospin SU(2)的三個generator一模一樣。
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於自旋1/2 的電子態的3D 旋轉。
↔
u,d 的雙重態在數學上就對應自旋向上與向下的雙重態!
 u  
    
 d  
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於自旋1/2 的電子態的3D 旋轉。
(但並不是真的旋轉)。
u,d 的雙重態在數學上就對應自旋向上與向下的雙重態!
 u  
    
 d  
強交互作用在對應的 Isospin “旋轉” 變換下是不變的!
3
 = exp −
=1

∙
2 
 u   u' 
u
      U  
 d   d '
d 
SU(2)的結構與三度空間旋轉群一模一樣!
要了解 Isospin SU(2) 就研究 3D 旋轉即可!
S(2)~(3)
旋轉變換是老朋友了!
F
F’
a’
將一個物理系統作旋轉!
所有可能的旋轉的集合稱為旋轉變換群。
以上的旋轉變換與坐標軸的變換是等價的。
將座標軸旋轉 θ 角,即可得到一組新的座標軸
當觀察者所選觀察座標發生變化
觀察得到的物理量就會發生變化
( x, y )
( x' , y ' )
被動變換
主動變換
座標軸旋轉後,描述一個向量的分量就會取一組新的值,
新分量與舊分量的關係適用於任一向量,因此如同所有向量作一致的變換。
x'  xcos  ysin ,
y'  xsin  ycos
被動變換與主動變換是等價的
座標軸旋轉
F
F’
a’
旋轉變換
被動座標軸旋轉(轉座標軸)與將整個系統做反向旋轉(座標軸不變)效果是等價的!
F
F’
a’
物理的定律應該與座標軸的選取無關!
旋轉變換前後的物理定律必須一樣! 因此無法以物理方法分辨旋轉變換前後。


F  ma


F '  ma '
變換後,力向量與加速度向量都改變了,但兩者相等的定律不變!
觀察量可能隨著旋轉的變換而改變,但連接這些物理量的物理定律是不變的。
在牛頓力學中,如何保證旋轉變換後,物理定律可以不變?


F  ma


? ma '
F'
注意等式兩邊都是向量。此定律可以寫成分量等式:
Fx  max Fy  may
Fx '  max ' Fy '  may '
所有的向量分量在座標軸旋轉下滿足一樣的變換式:
Fx '  Fx cos   Fy sin a x '  a x cos  a y sin
Fy '  Fx sin  Fy cos  a y '  a x sin  a y cos
Fx  max
注意分量等式的左右滿足同樣的轉換關係
Fx '  Fx cos  Fy sin


F  ma
ax '  ax cos  a y sin


F '  ma '
如果等式兩邊都是向量,就保證公式不隨座標軸變換而改變!
F
F’
a’


F  ma


F '  ma '
如果物理定律等式兩邊都同時是向量(或純量、張量),保證公式在旋轉變換下不變
牛頓力學的物理定律是旋轉對稱。
如果物理條件(位能,質量分布等)也是旋轉對稱,這個系統整體就有旋轉對稱性。
物理定律的不變,來自於自然界的無法觀測量 unobservable!
F
F’
a’

 ˆ
F  ma  ki
流動介質
旋轉變換的不變,即是因為宇宙沒有一個絕對的 x 軸及 y 軸
如果宇宙充滿一個流動的介質,那麼不同軸的選擇就有不同的結果!
旋轉的不變性就會被借質的流速所破壞!
用物理定律或運動方程式的不變來討論對稱實在不方便
運動方程式是由 Lagrange 導出
如果變換後的 ′ 與原來的  相等, → ′ = ,例如:
2 
=
+
2 
 所得出的運動方程式與 ′ 所得出的運動方程式是相同的!
 的不變性對  有很強的限制。
 在旋轉變換下的不變性,要求位能只能是純量的函數。
例如以下的位能就不允許: V(r ) = cx
這樣的位能會破壞旋轉對稱。
與其討論物理定律的不變性,不如直接討論的不變性更加方便。
以Lagrange來看,  如同具體物件的對稱般,的確在對稱變換下是不變!
Symmetry
如果物理遵守旋轉對稱性:
出現在物理定律中的物理量必須能分類為純量、向量、或張量。
在旋轉變換下,這些物理量遵守各自的變換規則:
例如若是向量:一個旋轉變換,就對應一個3 × 3矩陣,適用於任一向量
 → 
′
3
  ∙  
=
=1

′
cos 
 → ′ = sin 

0
′
− sin 
cos 
0

0
0 ∙ 

1
張量則較複雜。但亦類似。
所以每一種物理量,就是對旋轉變換的一個代表或表現 representation!
定理:一個連續的變換群的變換,在它的 representation空間可以寫成矩陣。
而變換所對應的矩陣可以寫成 generator 矩陣的指數函數:

  = exp −
 ∙ 
=1
generator 矩陣的對易子會是generator 矩陣的線性疊加:
 ,  =
 

整個連續的變換群就由其generators,以及其對易關係決定!
以3D旋轉為例,其generators 就是三個角動量:
3
 1,2,3 = exp −
 ∙ 
=1
 ,  = 
角動量對易關係
物理定律的對稱性有甚麼具體結果?
一個連續變換群的變換,所對應的矩陣可以寫成 generator 矩陣的指數函數

  = exp −
 ∙ 
=1
在古典物理中,由物理的對稱性可得,每一個 generator 就對應一守恆量!
Translation invariance
Momentum Conservation
Rotation invariance
Angular Momentum Conservation
量子力學:一個連續變換對狀態的作用可以以一個算子來描述:

  = exp −
 ∙ 
=1
變換算子可以寫成 generator 算子的指數函數
例如旋轉變換算子可以寫成角動量算子的指數函數。
在量子力學,對稱性隱含,會與該守恆量()具有共同本徵態
,  = 0
會與該守恆量()對易commute
的本徵態,也就是L2 、Lz的本徵態 , 
旋轉變換算子可以寫成 generator 角動量算子的指數函數
因此所有旋轉算子在此空間中的作用已完全被決定!
L2 、Lz的本徵態 ,  所展開的空間就是一個旋轉變換群的 Representation。
所有的能量本徵態都可以對稱群 SU(2) 的 Representation來分類!
æ 1 ö
ç
÷
ç 2 ÷
ç 1 ÷
ç - ÷
è 2 ø
1
=
2
3
 = exp −
 ∙ 
=1
Doublet 2
角動量的本徵態為基底所展開的一個個空間,稱為3D旋轉的 Representation.
=0
Singlet
æ 1 ö
ç
÷
ç 2 ÷
ç 1 ÷
ç - ÷
è 2 ø
1
=
2
Doublet 2
æ 1 ö
ç
÷
ç 0 ÷
ç -1 ÷
è
ø
=1
Triplet 3
3
=
2
Quartet 4
0
æ
ç
ç
ç
ç
è
3/2
1/ 2
-1 / 2
-3 / 2
ö
÷
÷
÷
÷
ø
SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於3D 旋轉。
因此3D旋轉的Representation就是 SU(2)的Representation!
=0
0
æ 1 ö
ç
÷
ç 2 ÷
ç 1 ÷
ç - ÷
è 2 ø
=
æ 1 ö
ç
÷
0
ç
÷
ç -1 ÷
è
ø
=1
æ
ç
ç
ç
ç
è
3/2
1/ 2
-1 / 2
-3 / 2
ö
÷
÷
÷
÷
ø
=
1
2
3
2
Singlet
Doublet 2
Triplet 3
Quartet 4
在旋轉變換中,一個Representation中的狀態會”轉”(變換)到其他狀態。
如果物理在旋轉變換下是不變的,一個Representation中的所有狀態性質相同。
狀態會”轉”(變換)到其他狀態,但在旋轉中,2 是不變的,
一個Representation中的狀態不會被”轉”到其他  不同的Representation中。
因此一個特定的 Representation 在對稱變換下是封閉的 closed!
如果量子物理系統有一個連續對稱性:
所有的能量本徵態都可以對稱的 Representation來分類!
一個 Representation 在對稱變換下是封閉的 closed!
如果物理在旋轉變換下是不變的,一個Representation中的所有狀態性質相同。
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就是 3D 旋轉(但並不是真的旋轉)。
u,d 的雙重態在數學上就對應自旋向上與向下的雙重態!
 u  
    
 d  
強交互作用在對應的 Isospin “旋轉” 變換下是不變的!
所有的基本粒子(能量本徵態)都落在的 SU(2) 的 Representations
這些Representations就是Isospin SU(2)”角動量”的本徵態組合。
一個Representation中的所有基本粒子性質(質量)相等。
夸克與輕子是雙重態 Doublet
所有雙重態 Doublet 都以相同方式變換
u
u 
   U   
d 
d 
c
c
   U   
s
s
3
 = exp −
=1
 e 
 e 
   U   
e
e

∙
2 
Isospin SU(2) 的變換在數學結構上就完全等於自旋1/2 的電子態的3D 旋轉。
u-d 互換後,很多東西也要跟著換!
就像旋轉變換下的張量!
u
d
u
d
u-d 互換後,W+-W-也要跟著換!
W+
W
W-

′
=
∙

+ ∙

′
′
=
∙

+ ∙

au  bd
d
cu  bd
W-
u
W-
+
u
W
W+
u
+
除了 ± ,還需要一個中性的  3
W

W3 W

顯然是一個 triplet
W3
W 3
W
+
3
 − 是一個 triplet
W  
W  
 3
 3
W   V  W 
W  
W  




V是 3×3 的矩陣,與U 連鎖
所有 Triplet 都以相同方式互換的三人組
SU(2) 的 Representations 中只有一個是 3維!
我們已早有一個3維的 representation了呀!3D 向量: 

兩個 Triplet 必須是同一個空間
可知  +
±
=
3
 − 是 
 1 ∓  2
2

1
 的線性組合
2
 3 ~ 



SU(2) 的 特定維度的Representations 只有一個!
s s
Singlet
u
u 
   U   
d 
d 
W  
W  
 3
 3
W   V  W 
W  
W  




Doublet 2
  
  
 0
 0
   V   
  
  
 
 
   
   
 
 
 
 
 0   Y   0 




  
  




Triplet 3
Quartet 4
而單單靠維數就決定了它屬於哪一個Representation
如同3D旋轉的向量,無論其具體物理意義,同一個Representation以同一方式變換。
在同一個 Representation中的粒子,因 SU(2)不變性,變換後不改變自然
因此性質(質量及強作用力)必須相同!
所有的質量很接近!
不只單一基本粒子可以以 representation來分類
幾乎所有的物理,例如基本粒子的組合,也可以以 representation來分類
例如 triplet ’s 與 doublet

的組合:

這類似,在量子力學課程中,角動量的相加。
這個寫法可以用來研究’s 與核子的散射!
在  ’s 與核子的散射反應中,iso角動量是不變的。
而且相同的總  的所有散射反應率都相等
3
2
3
3 3
3 1
3 1
→
~
→
~ ⋯ ≡ ℳ3
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1
1
1
→
~
→
−
− ~ ⋯ ≡ ℳ1
2 2
2 2
2
2
2
2
以上的討論很容易即可推廣到多個物件
N個相似物件或狀態,在量子力學下的變換,而不會影響自然定律
2
1
3

N
1
1’
2
2’

古典
i , i  1 N
變換前的 N 個狀態或物件
N’
N
i' , i  1N 變換後的狀態是原來狀態的線性組合
量子
There is a unitary operator U connecting the two bases
i  i'  U i
SU(N)
U U  1 detU  1
所有與它們相關的物理態都必須可以分類為 SU(N) 的 Representation
在同一個 Representation中的粒子(或物理量),變換後不改變自然
因此性質(質量及強作用力)必須相等(物理量必須相等)
對稱還可以幫助我們發現宇宙深藏的秘密。
質量類似的重子與介子的分類圖。
重子與介子是 SU(3) 的 representation! (8) Octet
所有的基本粒子(能量本徵態)都必須落在對稱群的 Representations
一個Representation中的所有基本粒子性質(質量)相等。
由此可以推論中子與介子的物理遵守 SU(3) 不變性。
72
強作用力的 SU(3)不變性
3 個相似物件 u,d,s,在量子力學下的變換,而不會影響自然定律
合理推論(但不是確證)這三個相似物體就是重子及介子的組成成分!
重子與介子由強力性質相同 u,d,s 組成,因此遵守 u-d-s 互換不變性,即 SU(3),
因此它們必須是SU(3) 的 Representation!
73
SU(3)不變性的根源:
強交互作用的基本元件:夸克與膠子的交點。
膠子是味盲Flavor Blind
同樣的 Feynman 圖適用於所有風味的夸克
同樣的 Feynman rule- g 耦合常數適用於所有風味的夸克
關掉電弱作用並忽略夸克質量後,所有夸克彼此將沒有分別。
但嚴格來講,質量無法忽略,
t,b,c夸克實在比u,d,s重很多,因此只有u,d,s三個夸克的互換不變性比較有用!
強交互作用遵守 SU(3)不變性
Isospin SU(2) 就是 SU(3) 的一個子集。但它在電弱作用中扮演重要角色。
75
Isospin SU(2) Symmetry 對稱
 u' 
u 
   U   
 d '
d 
 c' 
c
   U   
 s' 
s
 'e 
 e 
   U   
 e' 
e
在 Isospin SU(2)變換之後,強交互作用的  不變!
a b 

U  
c d 
U U  1

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