Polinomio de Legendre

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Polinomio de Legendre
Valeria Flores De La Luz
Walberth Hernández Ramírez
Resumen

Es uno de los ejemplos más importantes de los Polinomios
Ortogonales.

Aparecen como soluciones en varios problemas clásicos como:

Aplicaciones matemáticas

Propagación de ondas

Reconocimiento de patrones

Reconstrucción de señales digitales

Las soluciones de los polinomios de Legendre son ortogonales en el
intervalo [-1, 1].

Tiene la característica de que Pn(1) = 1

Los polinomios de Legendre surgen como alternativa para solucionar la ecuación
diferencial de Legendre, que en su forma canónica se define como:
(1-x2)y’’ – 2xy’ + λy = 0
donde λ=n(n+1) y n=grado del polinomio

Cuya solución general es la combinación lineal de dos soluciones literalmente
independientes:
y(x) = Ay1(x)+By2(x)

Toma la forma de
y(x) = APn(x) + BQn(x)

Los primeros 6 polinomios de Legendre Pn(x) están representados como:

Computacionalmente existen varios métodos para implementar los polinomios
de Legendre
P0(x) = 1

Para calcular el polinomio cuando n=0 se resuelve la siguiente integral
=
2
2 0 +1
=1
P1(x) = x

P1(x) = (x-B) P0(x)
Donde 1
=
P1(x) = (x-0) * 1
P1(x) = x
1
−1  
1
−1 
=0
Para n>=2
Algoritmo
ENTRADA grado n y x
Salida: El valor del polinomio de grado n, evaluado en x
p0=1;
p1=x;
Si n = 0
return p0;
Si n=1
return p1;
Para k=1 hasta n
pn = (((2*k+1)*x*p1) –(k*p0))/(k+1);
p0=p1;
p1= pn;
Fin_para
Imprime pn
Resultados
Interpolación de Legendre

=0   ()

  =

  =    +    . . .   

Ejemplo :

0 = 1.21

3  =

  =
1 = 1.23
2 = 0.43
3 2 −1
1.21 1 + 1.23  + 0.43(
)
2
1.21 + 1.23 + 0.64 2 − 0.21

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