• Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу , то прямая и окружность имеют только одну общую точку. H M r O.

Report
• Если расстояние от центра окружности до
прямой равно радиусу , то прямая и
окружность имеют только одну общую точку.
H
M
r
O
Касательная к окружности
• Прямая, имеющая с окружностью только одну общую
точку, называется касательной к окружности, а их
общая точка называется точкой касания прямой и
окружности. А  точка касания.
о
p
A
Касательная к окружности.
•
•
•
Теорема: касательная окружности перпендикулярна к
радиусу,проведенному в точку касания.
Доказательство: пусть p- касательная к окружности с центром O,Аточка касания.Докажем,что касательная p перпендикулярна к радиусу
ОА.
Предположим,что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к
прямой p.Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p,
меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до
прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность
имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая pкасательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA.
Теорема доказана.
A
O
P
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки,
равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту
точку и центр окружности.
• По теореме о свойстве касательной  1 и  2 прямые, поэтому
АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую
гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ =
АС и  3 =  4, что и требовалось доказать.
A
34
B
2
1
O
C
Если прямая проходит через конец радиуса,
лежащий на окружности, и перпендикулярна к
этому радиусу, то она является касательной
• Из условия теоремы следует, что радиус
является перпендикуляром, проведенным из
центра окружности к данной прямой. Поэтому
расстояние от центра окружности до прямой
равно радиусу, и следовательно, прямая и
окружность имеет только одну общую точку. Но
это и означает, что данная прямая является
касательной к окружности.
• Угол с вершиной в центре окружности называется ее
центральным углом . Пусть стороны центрального угла
окружности с центром О пересекают ее в точках А и В.
Центральному  АОВ соответствуют две дуги с
концами А и В.
• Если  АОВ развернутый, то ему соответствуют две
полуокружности.  ALB = 180º
O
A
B
L
• Если  АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что 
АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности.
Про дугу с концами А и В говорят, что она больше
полуокружности.
L
O
A
B
• Дугу окружности можно измерять в градусах. Если  АВ
окружности с центром в точке О меньше полуокружности
или является полуокружностью, то ее градусная мера
считается равной градусной мере центрального  АОВ.
L
A
O
B
O
A
L
B
• Если же  АВ больше полуокружности, то ее градусная мера
считается равной 360º -  АОВ (центральный).
•  ALB = 360º -  АОВ.
L
O
A
B
• Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны
пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный  АВС опирается на  АМС.
B
O
A
M
C
Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую
он опирается
• Пусть  АВС – вписанный угол окружности с центром О,
опирающийся на  АС. Докажем, что  АВС = половине  АС
(на которую он опирается). Существует 3 возможных случая
расположения луча ВО относительно  АВС. Рассмотрим их.
Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО
относительно  АВС.
• Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае  АС
меньше полуокружности, поэтому  АОС=  АС. Так как  АОС
 внешний угол равнобедренного  АВО, а  1 и  2 при
основании равнобедренного треугольника равны, то  АОС =
 1+  2 = 21. Отсюда следует, что 21 = АС или  АВС = 
1 = 1/2  АС.
B
2
1
O
A
C
Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит  АВС на два
угла.
• В этом случае луч ВО пересекает  АС в некоторой точке D.
Точка D разделяет  АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в
п.1  АВD = 1/2 AD и  DBC= 1/2  DC. Складывая эти
равенства попарно, получаем:  ABD +  DBC = 1/2  АD +
1/2  DC, или  АВС= 1/2  АС.
B
A
D
C
Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО
относительно  АВС
•  АВD равнобедренный,  AOD - внешний, т.к.  ABD равнобедр. То  1 =  2 =>  AOD =  1 +  2 = 21 =  AD,
следовательно  ABD = 1/2  AD.
• Аналогично:  ВСО равнобедр.  COD - внешний,
следовательно  СВD= 1/2  CD.
B
• Следовательно,  АВС=1/2  АС
O
A
C
D
РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
 Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Рассмотрим 2 следствие из теоремы
• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность  прямой.

similar documents