Informatik JgSt. 13, Abitur 2009 Dualzahlen und ihre logischen Verknüpfungen010001010001001111010100101010Hans-Detmar Pelz, Willy-Brandt-Gesamtschule, Castrop-Rauxel Informatik JgSt.

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Informatik JgSt. 13, Abitur 2009
Dualzahlen und ihre logischen
Verknüpfungen
101110101101000010100010010001
010001010001001111010100101010
001010100010100010100010101001
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Neben dem Dezimalsystem gibt es noch
zahlreiche andere Zahlensysteme.
Das Prinzip des Dezimalsystems:
Es besteht aus zehn Ziffern: 0, 1, 2, ... 8, 9.
Damit lassen sich aber zunächst
einmal nur zehn verschiedene
Dinge bezeichnen.
Danach sind alle Symbole
aufgebraucht und man muss sich
etwas Neues einfallen lassen.
Man erweitert die Darstellung
um eine Stelle. Auf diese Weise
kann man 100 verschiedene
Dinge bezeichnen.
Bekannterweise lässt sich dieser
„Trick“ beliebig oft wiederholen...
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
16
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90
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96
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99
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Die Dualzahlen (oder auch Binärzahlen)
haben nur zwei Zeichen zur Verfügung:
„0“ und „1“.
Das Prinzip ist genau dasselbe wie
beim Dezimalsystem.
Es lassen sich zunächst nur zwei
verschiedene Dinge bezeichnen.
Daher muss man recht schnell die
nächste Stelle benutzen:
Schreibt man die Dezimalzahlen
daneben, wird schnell klar, dass bei
jeder Zweierpotenz eine weitere
Stelle benötigt wird.
0
0
1
1
20
10
2
21
11
3
100
4
101
5
110
6
111
7
1000
8
1001
9
22
23
1010 10
1011 11
1100 12
1101 13
1110 14
1111 15
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10000 16
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Damit lässt sich recht leicht eine Dualzahl in eine
Dezimalzahl umwandeln:
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
29 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
Zur Umrechnung addiert man einfach die Zweierpotenzen, die unter einer „1“
stehen.
In diesem Fall:
29 + 27 + 25 + 23 + 22 + 21 =
512 + 128 + 32 + 8 + 4 + 2 = 686
Andere Beispiele sind:
Mit den Lösungen:
10010000101
1157
und
und
10010111011101
9693
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Bei der Umwandlung
einer Dezimalzahl in
eine Dualzahl muss
man fortgesetzt durch
2 dividieren und die
Reste notieren.
Jetzt müssen die Reste von
unten nach oben gelesen
werden und von links nach
rechts notiert werden:
485 : 2 = 242 Rest 1
242 : 2 = 121 Rest 0
121 : 2 =
60 Rest 1
60 : 2 =
30 Rest 0
30 : 2 =
15 Rest 0
15 : 2 =
7 Rest 1
7:2=
3 Rest 1
3:2=
1 Rest 1
1:2=
0 Rest 1
1 1 1 1 0 0 1 0 1 = 485
Ermittle die Dualzahldarstellung für 1857 und 3260
Die Lösungen sind: 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 und
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110010111100
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Arbeitsauftrag:
• Erstelle ein Programm, welches die Umwandlung von Dezimalzahlen
in Dualzahlen und umgekehrt leistet.
• Du solltest dazu Panels benutzen, die nach Anklicken von grau auf rot
umschalten (oder umgekehrt).
• Wird eine Zahl in ein Editfeld eingegeben, färben sich die Panels nach
Drücken eines Buttons entsprechend.
• Es reicht, 8 Panels zu konstruieren.
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Rechnen mit Dualzahlen
• Der PC kann nur elektrische Zustände wie „Spannung
vorhanden“ oder „keine Spannung vorhanden“
erkennen.
• Daher muss mit Dualzahlen gerechnet werden
100101
37
+ 011011
+ 27
1000000
64
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Dazu benötigt man logische Verknüpfungen
Die UND- Verknüpfung
Die ODER- Verknüpfung
Die nicht- Verknüpfung
(AND- Verknüpfung)
(OR- Verknüpfung)
(not- Verknüpfung)
A B A und B
A B A oder B
A Nicht A
0 0
0
0 0
0
0
1
0 1
0
0 1
1
0
1
1 0
0
1 0
1
1
0
1 1
1
1 1
1
1
0
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Weitere logische Verknüpfungen sind:
Die nicht-UND- Verknüpfung
Die nicht-ODER- Verknüpfung
(NAND- Verknüpfung)
(NOR- Verknüpfung)
A B A und B
A B A oder B
0 0
1
0 0
1
0 1
1
0 1
0
1 0
1
1 0
0
1 1
0
1 1
0
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Noch weiter gehende logische Verknüpfungen sind:
Die Entweder-ODER- Verknüpfung
Die nicht-Entweder-ODER Verknüpfung
(EXOR- Verknüpfung)
(NEXOR- Verknüpfung)
A B A oder B
A B A und B
0 0
0
0 0
1
0 1
1
0 1
0
1 0
1
1 0
0
1 1
0
1 1
1
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Arbeitsauftrag
• Erstelle ein kurzes Programm, dass die vier soeben
genannten Logiktabellen darstellt.
• Benutze dazu Panels, die beim Anklicken farbig werden und
dann eine entsprechende logische Aktion ausführen.
• Damit reichen für die Eingabe zwei Panels, die Ausgabe
muss über sechs Panels erfolgen.
• Es ist das Ziel, einen dualen Addierer vorzubereiten.
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Führt man eine Addition durch,
dann gibt es auch gelegentlich
einen Übertrag:
1011
+1001
1
1 1
-------------10100
Dieser Übertrag muss natürlich auch berücksichtigt werden.
Fragt sich bloß: WIE ?
Die Summe zweier Dualzahlen findet man mit der logischen Verknüpfung EXOR.
Ob ein Übertrag vorhanden ist, findet man mit AND heraus.
Zunächst berechnet man die Summe der beiden Zahlen mit EXOR, danach die Summe
des Ergebnisses mit dem Übertrag, ebenfalls per EXOR.
In beiden Fällen wird mittels AND ermittelt, ob ein Übertrag nötig ist.
Es kann nur maximal ein Übertrag vorkommen.
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Arbeitsauftrag
•
•
Erstelle mit Hilfe dieser Erkenntnisse einen Addierer für Dualzahlen.
Er soll wie nachstehendes Beispiel funktionieren.
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Hilfreich ist es, den Übertrag aufzuzählen und auch die
Summe der ersten beiden Zahlen, danach muss der
Übertrag und die Summe verrechnet werden.
AdditionvonD
ualzahlen
0
1
1 1
0 1
1 0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0Ü
bertrag
0 Sum
m
eZ1undZ2
0G
esam
tsum
m
e
Die Summe errechnet sich über EXOR
Der Übertrag mittels einer Kombination
aus AND und OR
Die Gesamtsumme mittels EXOR.
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