A_logika

Report
A logika
PTE-FEEK
Informatikus-könyvtáros Bsc
2007
Mi a logika?
• A logika ésszerűséget jelent. Ha valami nem
szabályos, akkor az vét az ész szabályai ellen.
Logikán minden olyan beszédet, gondolkodást,
cselekedetet, viselkedést értünk, amelyben az
ésszerűséget véljük felfedezni, a nem logikus
dolgokban pedig az ésszerűtlenséget fedezzük
fel. A logika az ésszel, a rációval van
összefüggésben.
A logika története
A logika a görög logosz szóból származik. Jelentése
beszéd, gondolat. Az egyik legrégebbi tudomány, hiszen
magába foglalja a klasszikus ókori filozófiai logikát éppen
úgy, mint a modern matematikai logikát.
A logika – akár a filozófia, akár a matematika részeként
tekintjük – a gondolkodás törvényszerűségeit kutatja. A
matematikai logika egyrészt önálló ága a matematikának,
másrészt
annak
különböző
részterületei
közti
összefüggéseket
is
kutatja
a
megfelelő
szimbólumrendszer bevezetésével.
Mi szükség van a logikára?
• Mi a szerepe, funkciója, értelme a logikának?
Az emberi élet elválaszthatatlan eleme, az
életben maradás függhet a helyes döntéstől,
viselkedéstől. Nem iktatható ki az emberi
viselkedés keretei között.
A mindennapi élet logikája
Hol, milyen szinten jelenik meg a logika? A
döntéshozatal a logika egyik funkciója, gondolati úton,
és a helyes döntés meghozatala.
Egy faluban 3 féle ember él: igazmondó, mindig hazudó
és felemás (következetesen egyszer igazat mond, aztán
hazudik). A tűzoltóságon csörög a telefon. A telefonáló
beleszól: „Ég a templom!” A tűzoltóparancsnok
visszakérdez: „Melyik csoportba tartozol?” „A
felemásba.” - szól a válasz, és a hívó lecsapja a kagylót.
Kérdés: Ki kell-e menni a templomhoz.
A mindennapi élet logikája
Válasz: Nem kell kimenni! Igazmondó nem lehet
(akkor a saját csoportját mondta volna), ha
hazudós, akkor nem ég a templom, ha felemás,
akkor igazat mondott a csoportjáról, tehát a
templom nem ég, mert akkor hazudott.
Preferencia:
Támogatott
vagy
kizáró
szempontok. A logika a helyes alternatívák
felállítása után a preferenciák alapján szűkíti a
kört, és ezúton a leghelyesebb megoldáshoz
vezet.
A mindennapi élet logikája
A logika mindig közvetett módon nyilvánul
meg számunkra. Az egyik hordozó közege a
logikának a nyelv, a cselekedet (ez is a
gondolkodás által nyilvánul meg), a viselkedés.
A nyelv, a beszéd (kommunikáció) teszi
lehetővé, hogy valamiről azt mondhassuk,
logikus vagy logikátlan. A nyelv egy szélesebb
közegbe integrálódik, a kommunikáció
folyamatába illeszkedik bele.
Mi a kommunikáció és hol jelenik
meg benne a logika?
A
kommunikáció
valamilyen
üzenet
továbbítása. Mindig van egy közlő és egy
befogadó. Az üzenet a közlőben érzés
formájában jelenik meg. Az érzetet nem
tudjuk megtapasztalni. Ahhoz, hogy az
érzetből üzenet váljék, a belül meglévő érzetet
kódolni
kell.
Kódolás:
valamilyen
megtapasztalható formába átültetni az
üzenetet.
Mi a kommunikáció és hol jelenik
meg benne a logika?
Két formája van:
1. Nem verbális kód alkalmazása (testi kommunikáció).
2. Verbális (nyelvi)kódolás.
Az üzenetet a befogadónak értelmeznie (dekódolni) kell.
Van verbális és nem verbális dekódolás. Ha ez létrejön,
akkor a kommunikáció betölti funkcióját a befogadónál.
KOMMUNIKÁCIÓ
Közlő
Üzenet
Kód
Befogadó
A logika története
Bár a logikus gondolkodás mondhatni egyidős az
emberiséggel, a logika, mint tudomány,
fejlődésének első nagy fordulópontja az ókorra
tehető.
A logikára nagy hatást gyakorló gondolkodók
közül legelsőként az éleai Zénón említhető meg,
akinek híres apóriái nagy hatással voltak az őt
követő gondolkodókra is.
Később Szókratész az indukcióval, fogalmakkal és
állításokkal foglalkozott különböző elméletek
felállításának kapcsán.
A logika története
Arisztotelész logikai szempontból legfontosabb
műve az Organon, ezen belül is az Első Analitika
és a Második Analitika címet viselő könyvek,
melyben tulajdonképpen megalapozta a logikát.
Következtetéseket állított fel, ahol már betűkkel
jelölte a bennük előforduló változtatható
részeket. Három logikai alapszabályt határozott
meg, melyek oly sokáig az egyetlen alapját
képezték a matematikának. Ezek a következők
voltak: azonosság elve, ellentmondás elve és a
harmadik kizárásának elve.
A logika története
A sztoikusok vezették be a kijelentésváltozókat a
logikában. Korábban Arisztotelész csak a
fogalmakra használt változókat. A sztoikus
filozófiai iskola alapítója a kritoni Zénón volt.
Másik nagy alakja pedig Khrűsziposz, akinek
nevéhez fűződik sztoikus logika rendszerezése.
Az arisztotelészi logika nagy hatást gyakorolt a
gondolkodókra, tudósokra mintegy kétezer éven
keresztül, hiszen szinte bármely tudományban
alkalmazható volt.
A logika története
Ennek következtében a középkorban a logika közel azonos
szinten maradt.
A skolasztikus Occam nevéhez fűződnek fontos eredmények
ebben az időszakban. Ugyanebben a korban fontos szerepet
játszott Ibn Szina (Avicenna) Alexandriában, aki
rendszerezte a görög tudományokat Arisztotelész logikán
alapuló rendszerét továbbfejlesztve.
Sokáig lassan fejlődött a matematikai logika. A nagy lépés
Boole és De Morgan nevéhez fűződik. Boole mutatta ki,
hogy a formális logika törvényeit a matematikában is lehet
használni, s leírta az általa bevezetett szimbólumokkal a
logika legalapvetőbb törvényeit.
De Morgan vele egy időben ugyanilyen eredményre jutott.
A logika története
• A 19. században kapott új lendületet a logika fejlődése. Venn a
szimbolikus logika vizsgálatával foglalkozott. Peano pedig a
természetes számok vizsgálata során alkalmazott logikai eszközöket.
• A Cantor által felépített halmazelméletben több ellentmondás
(antinómia) is felmerült, melyek közül az elsőt épp Cantor maga
tárta fel. Ez a matematikai válság azonban újabb lendületet adott a
logika fejlődésének, hiszen az ellentmondások mindegyike a
kétértékű logikán, mégpedig a „harmadik kizárásának elvén”
alapult.
• Először Lukasiewicz vetette fel a háromértékű logika lehetőségét,
ahol egy állításnak három logikai értéke lehet:
- igaz
- hamis
- harmadik lehetőség (pl. eldönthetetlen).
A logika története
• Ez az elmélet a gyakorlatban is felhasználható.
Kvantummechanikai alkalmazhatóságának egyik felfedezője
Neumann János volt.
• A fuzzy (fuzzy = elmosódott, bolyhos, nem éles határú)
logika még tovább ment. Míg a kétértékű logikában csak a 0
(hamis) és az 1 (igaz) logikai érték lehetséges, addig itt
bármely 0 és 1 közötti számértéket fölvehet. A többértékű
logika gondolatát a halmazelméletben először Zadeh
vezette be az ún. fuzzy-részhalmaz fogalmán keresztül.
Ebből kiindulva felépíthetővé vált egy teljes matematikai
irányzat (fuzzy-matematika), melynek egy ága a fuzzylogika. Míg a hagyományos kétértékű logika és a technika
összefonódásának köszönhető a számítógép, addig a fuzzylogika főként a vezérlést forradalmasította (videó kamerák,
porszívók, mosógépek készülnek ezen technika
segítségével)
Mi az ítélet?
• Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy
hamis.
Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az
ítélet logikai értékének nevezzük.
Jelölése:
• i igaz
• h hamis
Mi az ítélet?
• A 2 páros és prím.
Logikai értéke pedig igaz.
• A mákos tészta egyik alapanyaga a mustár.
Ennek logikai értéke hamis.
• Most következzen egy mondat, ami nem ítélet:
Hazudok.
Ennek nem dönthető el a logikai értéke, hiszen:
1. ha igaz, akkor hazudok, tehát hamis
2. ha hamis, akkor igazat mondok, vagyis igaz.
Az elemi ítélet és az ítélet
• Az elemi ítélet olyan ítélet, amely nem
bontható tovább más ítéletekre.
Minden ítélet egy vagy több elemi ítélet
logikai műveletekkel való összekapcsolásával
hozható létre.
• Egy összetett ítélet:
A 2 páros és prím.
• Ez két elemi ítélet összekapcsolása az ÉS
logikai művelettel.
Az elemi ítélet és az ítélet
A logikai műveletek
név
jelölés
jelentés
negáció
tagadás
konjunkció
és
diszjunkció
vagy
antivalencia
kizáró vagy
implikáció
ha ... akkor
ekvivalencia
akkor és csak akkor
Sheffer művelet
sem-sem művelet
• Legyen A illetve B ítélet a következő.
A: A gomba növény. (logikai értéke: h)
B: A kukorica növény. (logikai értéke: i)
C: A gorilla emlős. (logikai értéke: i)
• Ebből képezhetünk összetett ítéleteket.
Például a következőket.
A A gomba NEM növény.
A gomba növény VAGY a kukorica növény.
A
(Magyarán: A gomba VAGY a kukorica növény.)
B
VAGY a gomba növény VAGY a kukorica
A
növény.
B
B
A kukorica növény ÉS a gorilla emlős.
C
A negáció
• Jele:
• A negáció az ítélet tagadása.
Ha p igaz, akkor p hamis.
Ha pedig p hamis, akkor p igaz.
• Példa:
p: Süt a nap.
Ha a "süt a nap" kijelentés igaz, akkor a "nem süt
a nap" kijelentés hamis.
Ha a "süt a nap" kijelentés hamis, akkor a "nem
süt a nap" kijelentés igaz.
A negáció
Ezt táblázatban is ábrázolhatjuk:
p
p
i
h
ha p igaz, akkor
h
i
ha p hamis, akkor
p hamis
p igaz
A konjunkció
• Jele: 
• Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk az ÉS
kötőszóval, új ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a
konjunkció.
Egy konjunkció logikai értéke csak akkor igaz, ha a benne
szereplő ítéletek mindegyike igaz. Egyébként hamis.
• Példa:
r: A hidrogén nemesgáz.
s: A hidrogén vegyjele H.
A hidrogén nem nemesgáz, tehát az állítások közül az első
hamis. A hidrogén vegyjele H, tehát a második állítás igaz.
Így a "hidrogén nemesgáz ÉS vegyjele H" állítás hamis
lesz.
A konjunkció
Táblázatban ábrázolva:
p q p
i
q
i
i
i h
h
h i
h
h h
h
ha p és q is igaz, akkor p
q is igaz
mivel q hamis, nem teljesül, hogy
mindkettő igaz, ezért a p q hamis lesz
mivel p hamis, nem teljesül, hogy
mindkettő igaz, ezért a p q hamis lesz
mivel p és q is hamis, nem teljesül, hogy
mindkettő igaz, ezért a p q hamis lesz
A diszjunkció

• Jele:
• Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk a VAGY kötőszóval, új
ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a diszjunkció.
Egy diszjunkció logikai értéke akkor igaz, ha a benne szereplő
ítéletek közül legalább az egyik igaz. Egyébként hamis.
• Példa:
r: A kukorica növény.
s: A kukorica állat.
A kukorica növény, tehát az állítások közül az első igaz. A kukorica
nem állat, tehát a második állítás hamis. Így a "kukorica növény
vagy állat" állítás igaz lesz, mivel legalább az egyik teljesült.
A diszjunkció
Táblázatban ábrázolva:
q
p q p
i
i
i h
i
h i
i
h h
h
i
ha p és q is igaz, akkor p
q is igaz
mivel p igaz, teljesül, hogy legalább az egyik
igaz, ezért a p q igaz lesz
mivel q igaz, teljesül, hogy legalább az egyik
igaz, ezért a p q igaz lesz
mivel p és q is hamis, nem teljesül, hogy
legalább az egyik igaz, ezért a p q hamis
lesz
Az antivalencia
• Jele: 
• Olyan vagy művelet, amely akkor igaz, ha a benne
szereplő állítások közül pontosan egy igaz. Egyébként
hamis.
• Példa:
r: Rendet rakok a szobámban.
s: Kimegyek görkorcsolyázni.
A "VAGY rendet rakok a szobámban, VAGY kimegyek
görkorcsolyázni." mondat hamis, ha mindkét állítás igaz.
Azaz akkor igaz, ha rendet rakok a szobámban, de nem
korcsolyázom, vagy ha korcsolyázom, de nem rakok rendet.
Az antivalencia
Táblázatban ábrázolva:
p q p
i
q
i
h
i h
i
h i
i
h h
h
ha p és q is igaz, akkor p
q hamis
mivel p igaz, és q hamis, teljesül, hogy
pontosan az egyik igaz, így a p q igaz lesz
mivel p hamis, és q igaz, teljesül, hogy
pontosan az egyik igaz, így a p q igaz lesz
mivel p és q is hamis, nem teljesül, hogy
pontosan az egyik igaz, így a p q hamis
lesz
Az implikáció
• Jele: 
• Ha p és q két állítás, akkor a HA p, AKKOR q alakú új állítást
implikációnak, vagy következtetésnek nevezzük, és azt
jelenti, ha p igaz, akkor q is igaz. Ezt úgy mondjuk, hogy "p
implikálja q-t".
Az implikáció csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, és a
következmény hamis ( p igaz, de q hamis).
Az implikáció tehát két részből áll:
implikáció
...
......
HA esik az eső, AKKOR vizes a járda.
előtag:
feltétel
hipotézis
utótag:
következmény,
konklúzió
Az implikáció
• r: esik az eső
s: vizes a járda
A r s implikáció így hangzik: "Ha esik az eső, akkor
vizes a járda". Ennek logikai értéke igaz.
A s r implikáció, ami az előző megfordítása pedig
így hangozhat: "Ha vizes a járda, akkor esik az
eső". Amint látjuk ennek lehet hamis is a logikai
értéke, például, ha egy locsoló kocsi járt arra.
Láthatjuk tehát, hogy egy implikációnak és
megfordításának nem feltétlenül egyezik meg a
logikai értéke.
Az implikáció
Táblázatban ábrázolva:
p q
p
q
i i
i
i h
h
h i
i
h h
i
ha p feltétel és q következmény is igaz,
akkor p
q igaz
mivel p feltétel igaz, és q következmény
hamis, a p
q következtetés hamis
mivel p feltétel hamis, és q következmény
igaz, a p
q következtetés igaz lesz
mivel p feltétel és q következmény is
hamis, a p
q következtetés igaz
Tehát csak akkor hamis az implikáció, ha igaz feltételből hamis lesz a következtetés.
Az ekvivalencia
• Jele: 
• Ha egy implikációnak és megfordításának logikai értéke megegyezik
(vagy egyszerre igaz, vagy egyszerre hamis), akkor ezt ekvivalenciának
nevezzük.
Ha például p q igaz, és megfordítása q p is egyszerre igaz, akkor
implikációnak nevezzük.
Vagy ha r s hamis, és megfordítása s r is egyszerre hamis, akkor szintén
implikációról beszélünk.
Tehát az implikáció így írható fel: (p q) (q p)
Az ekvivalenciát a "p akkor és csak akkor, ha q" alakban szoktuk
megfogalmazni.
Példa:
p: A háromszög egyenlő oldalú
q: A háromszög minden szöge egyenlő
p q: A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha minden szöge
egyenlő.
Ezt megfogalmazhatnánk két implikáció formájában is:
Ha a háromszög egyenlő oldalú, akkor minden szöge egyenlő. ÉS Ha a
háromszög minden szöge egyenlő, akkor egyenlő oldalú.
Az ekvivalencia
Táblázatban ábrázolva:
p q
p
q
i i
i
i h
h
h i
h
h h
i
p
q igaz és q
p igaz, tehát p
q
is igaz
p
q hamis és bár q
p igaz, de mivel
logikai értékük különböző p
q hamis
bár p
q igaz de q
p hamis, így mivel
logikai értékük különböző p
q hamis
p
q hamis és q
p is hamis, tehát
mivel logikai értékük megegyezik, p
q
igaz
Tehát csak akkor hamis az ekvivalencia, ha a két állítás logikai értéke különböző.
A Sheffer művelet
• Jele: |
• Kizárásnak is szokás nevezni.
A művelet logikai értéke csak akkor hamis, ha
az ítéletek közül mindkettő igaz.
Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Sheffer
művelet akkor igaz, ha legalább az egyik
állítás hamis.
Táblázatban ábrázolva:
A Sheffer művelet
p
q
p |q
i
i
h
i
h
i
h
i
i
h
h
i
A sem-sem művelet
• Jele: ~
• A művelet logikai értéke csak akkor igaz, ha az
ítéletek közül mindkettő hamis.
Táblázatban ábrázolva:
A sem-sem művelet
p
q
p ~q
i
i
h
i
h
h
h
i
h
h
h
i
Legyenek p, q, r és s a következő ítéletek!
p: Szép nap van.
q: Még a rabkocsiból is nóta hangzik.
r: Kutyák futkosnak az árokszélen.
s: Mindenki remekül tölti az időt.
• 1. feladat:
Fogalmazd meg a következő kijelentéseket!
a) p  r
b) p  s  q
c) r  s
• a) Szép nap van és kutyák futkosnak az
árokszélen.
b) Ha szép nap van, akkor mindenki remekül
tölti az időt, és még a rabkocsiból is nóta
hangzik.
c) Vagy kutyák futkosnak az árokszélen, vagy
mindenki remekül tölti az időt.
a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen.
b) Ha szép nap van, akkor mindenki remekül tölti az
időt, és még a rabkocsiból is nóta hangzik.
c) Vagy kutyák futkosnak az árokszélen, vagy mindenki
remekül tölti az időt.
• Írd fel a következő mondatokat logikai jelek
segítségével!
a) Mindenki remekül tölti az időt, és kutyák
futkosnak az árokszélen.
b) Ha nem futkosnak kutyák az árokszélen, akkor
mindenki remekül tölti az időt.
c) Akkor és csak akkor tölti mindenki remekül az
időt, ha még a rabkocsiból is nóta hangzik.
• a) s  r
• b) r  s
• c) s  q
• Add meg a következő kifejezés logikai értékét,
ha
p igaz, q igaz, r hamis, s hamis.
a) p  q
b) q  s
c) s  p
d)  s
e) q  r
f) s ~ r
• a) igaz, mert ha az implikáció feltétele és
következménye is igaz, akkor az implikáció is igaz.
b) igaz, mert az antivalencia akkor igaz, ha az
ítéletek közül pontosan az egyik igaz, itt pedig q
igaz, és s hamis.
c) igaz, mert a Sheffer művelet csak akkor hamis,
ha mindkét ítélet igaz, itt pedig az egyik (s) hamis.
d) igaz, mert s hamis, ezért negációja (tagadása)
igaz.
e) igaz, mert a diszjunkció akkor igaz, ha legalább
az egyik ítélet igaz.
f) igaz, mert a sem-sem művelet csak akkor igaz,
ha mindkét ítélet hamis. Itt pedig r és s is hamis.
• A király két ajtó elé állította a rabot, majd így
szólt:
- Két ajtót láthatsz. Azt nem lehet tudni, hogy
melyik hova vezet. Lehet, hogy mindkettő a
halálba, lehet, hogy mindkettő a
szabadsághoz, de az is lehet, hogy az egyik ide,
a másik oda. Az ajtókon feliratokat találsz.
Vagy mindkét felirat igaz, vagy mindkettő
hamis. Válassz!
Legalább az egyik ajtó a szabadságba vezet
A másik ajtó mögött a hóhér vár.
• Ha a második felirat hamis lenne, akkor az első
ajtó a szabadságot jelentené. Tehát teljesülne
az első felirat. Márpedig vagy mindkettő igaz,
vagy mindkettő hamis. Így kizártuk, hogy
mindkettő hamis, ezért mindkét felirat igaz.
Ekkor a rab a 2. ajtót választotta, és
megmenekült.
• A király ismét kiválasztott egy rabot, és a két
ajtó elé állította:
- A társad megmenekült, s ha te is szeretnél
szedd össze magad, mert nehezítettem a
feladaton.
Ha a szabadságba vezet az 1. ajtó, akkor a rajta
lévő felirat igaz, ha a halálba, akkor hamis. A 2.
ajtónál pedig pont fordítva. Ha a szabadságba
vezet, akkor hamis, ha a halálba, akkor igaz.
Melyik ajtót nyissuk ki?
Mindkét ajtó a szabadságba vezet.
Mindkét ajtó a szabadságba vezet.
• A két felirat egyforma, tehát vagy mindkettő
igaz, vagy mindkettő hamis.
Nézzük meg először azt az esetet, ha
mindkettő igaz. Eszerint mindkét ajtó a
szabadságba vezet. Tehát a második is. Ekkor
viszont a második feliratnak hamisnak kell
lennie, és ez ellentmond annak, hogy mindkét
felirat igaz.
Tehát csak egy lehetőség maradt: mindkét
felirat hamis. Ekkor pedig az első ajtó mögött a
hóhér várja a rabot, a második mögött pedig a
szabadság.
• A király ismét kiválasztott egy rabot, és őt is a
két ajtó elé állította, s mivel bosszantotta,
hogy a két első rab megmenekült, a feliratokat
a harmadik rab kezébe nyomta:
- Döntsd el te, hogy melyik való az első és
melyik a második ajtóra! Csak ne feledd, hogy
ha a szabadságba vezet az 1. ajtó, akkor a rajta
lévő felirat igaz, ha a halálba, akkor hamis. A 2.
ajtónál pedig pont fordítva. Ha a szabadságba
vezet, akkor hamis, ha a halálba, akkor igaz.
Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet.
Mindkét ajtó a halálba visz
• Nézzük meg először azt az esetet, ha az első felirat az első ajtóra
kerül:
Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet.
Mindkét ajtó a halálba visz
• Ekkor ha az első ajtó az életet jelentené, akkor igaznak kéne lenni a
rajta lévő feliratnak, de az hamis.
Ha viszont az első ajtó a halálba vinne, akkor a rajta lévő felirat
hamis lenne, de ebben az esetben igaz.
Tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk, ezért a feliratokat
pont fordítva kell elhelyezni:
Mindkét ajtó a halálba visz
Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet.
•
• Ha az első ajtó az életet jelentené akkor igaz lenne, tehát mindkét
ajtó mögött hóhér állna. Viszont ekkor az első felirat hamis lenne, és
ez ellentmondás.
Ezért az első ajtó a halálba visz, s a rajta lévő felirat hamis. Tehát van
egy az életbe vezető ajtó, ez pedig a második ajtó.
• Már csak egy rab maradt a tömlöcben. A király
mivel már nagyon vágyott egy jó kis
kivégzésre, úgy gondolta, hogy most három
ajtó közül kell választani, és abból kettő
mögött hóhér várja a rabot, egy mögött
viszont a szabadság. Mivel azonban akart adni
egy kis esélyt a rabnak, elárulta, hogy
legfeljebb az egyik felirat igaz. Melyiket
válassza?
•
Ez az ajtó a hóhérodhoz Ez az ajtó visz a
A második ajtó mögött
• vezet.
szabadsághoz.
hóhér vár.
• A második és a harmadik felirat ellentmond
egymásnak, tehát az egyik biztos igaz, a másik
biztosan hamis. És mivel legfeljebb egy felirat
lehet igaz, ezért az első biztosan hamis. Tehát
az első ajtót kell választani.
• Egy szigeten lovagok és lókötők élnek. Az első
járókelőtől megkérdezzük:
• - Ön lovag? Mit fog válaszolni?
• Feladat. Egy szigeten lovagok és lókötők élnek.
Az első járókelőről szeretnénk megtudni, hogy
lovag-e, vagy lókötő. Egyetlen eldöntendő
kérdést tehetünk fel neki. Mi legyen ez?
• Seholsincs szigeten járunk, ahol van
hazugmondók városa és igazmondók városa,
de a városlakók átjárogatnak egymáshoz
látogatóba. Mit kérdezzen a vándor, ha meg
akarja tudni, melyik városban van?
• Egy vándor egy útkereszteződéshez ér, ahol az
út kétfelé ágazik, az egyik a szakadékba, a
másik a városba vezet. A kereszteződében áll
egy ház, ahol egy ikerpár él, az egyikük
igazmondó, a másikuk hazugmondó. Amikor a
vándor megérkezik, csak az egyikük van
otthon, de nem tudni, hogy melyikük. A
vándor egyetlen kérdést tehet fel, hogy
megtudja, melyik városban van. Mi legyen ez a
kérdés? Tegyünk fel
• A lovagok és lókötők szigetén a lakók az igen
és nem szavak helyett a plink és plank szavakat
használják, de nem tudjuk, hogy melyik
melyik. Melyik az a kérdés, amiből ez
eldönthető?
A műveletek sorrendje
Egy többszörösen összetett művelet logikai értékét
többféleképpen lehetne értelmezni, ha nem
állítanánk fel egy műveleti sorrendet. A logika
műveleteknél ez a következő.
1. negáció
2. konjunkció
3. diszjunkció
4. implikáció
5. ekvivalencia
Egyenértékű jelek esetén pedig balról jobbra
végezzük el a műveleteket.
• Nézzük meg, hogy milyen értékeket vehet fel a
kifejezés attól függően, hogy milyen sorrendet
határozunk meg.
1. Először a negációt végezzük el, azután a
konjunkciót:
p
q
p
p
i
i
h
h
i
h
h
h
h
i
i
i
h
h
i
h
q
2. most nézzük meg milyen igazságértékeket
kapunk, ha a konjunkciót végezzük el először,
és csak azután a negációt:
p
i
i
h
h
q
i
h
i
h
p
q
i
h
h
h
(p q)
h
i
i
i
Láthatjuk, hogy két teljesen különböző
eredményt kaptunk, tehát fontos, hogy
figyeljünk a helyes műveleti sorrendre.
Logikai érték kiszámítása
igazságtáblával
A több állításból álló ítéletek logikai értékének
kiszámítása nehezen követhető, ha segítség nélkül
próbáljuk végiggondolni. Az igazságtábla segít
rendszerezni a különböző műveletek logikai értékét.
Példa:
(pq )(pr)
A logikai értékek meghatározásához tudnunk kell a pq
és a pr kifejezések logikai értékét.
A pr meghatározható közvetlenül a p és az r logikai
értékeiből, de a pq meghatározásához még
szükségünk van a q értékeire is.
Először beírjuk p, q és r összes variációját.
Majd q alapján q-t határozzuk meg.
Így könnyen megadható pq kifejezés.
Ezután megadjuk pr logikai értékeit.
pq és pr alapján meghatározható a
végeredmény.
p
i
i
i
i
h
h
h
h
q
i
i
h
h
i
i
h
h
r
i
h
i
h
i
h
i
h
q
h
h
i
i
h
h
i
i
p
q
h
h
i
i
i
i
i
i
p
r
i
h
i
h
h
h
h
h
(p
q)
i
h
i
i
i
i
i
i
(p
r)
• Határozd meg a következő ítéletek lehetséges
logikai értékeit igazságtábla segítségével!
a) (AB)(AB)
b) (p q)(qr)
(A B) ( A B)
A B A B
i i
i
i h
h
h i
h
h h
h
A
h
h
i
i
A B
i
h
i
h
(A
B)
(
i
i
i
i
A
B)
( p
q) (q r)
p
q
p
q
q
r
(
p
q)
r)
p
q
r
i
i
i
h
h
h
i
h
i
i
h
h
h
h
h
h
i
h
i
h
i
i
i
i
i
h
h
h
i
i
i
i
h
i
i
i
h
i
i
i
h
i
h
i
h
i
h
h
h
h
i
i
i
i
i
i
h
h
h
i
i
i
i
i
(q
A műveletek tulajdonságai
1. kommutativitás (megfordíthatóság)
A B=B A
A B=B A
A B=B A
2. asszociativitás (csoportosíthatóság)
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
3. disztributivitás (szétbonthatóság)
(A B) C = (A C) (B C)
(A B) C = (A C) (B C)
4. De Morgan szabályok
(A B) = A
B
(A B) = A
B
5. Az implikáció felbontása:
A B= A B
6. Metszési szabály:
A i=A
Az A állítás és egy igaz állítás konjunkciójának
logikai értéke ugyanaz, mint az A állítás logikai értéke.
A h=h
Az A állítás és egy hamis állítás konjunkciója
mindig hamis, hiszen a konjunkció
csak akkor lenne igaz, ha mindkét ítélet igaz.
7. Egyesítési szabály:
A i =i
Az A állítás és egy igaz állítás diszjunkciója mindig igaz,
hiszen a diszjunkció csak akkor hamis, ha mindkét ítélet hamis.
A h =A
Az A állítás és egy hamis állítás diszjunkciójának logikai értéke
ugyanaz, mint az A állítás logikai értéke.
8. Negációs szabály:
A
A=h
Az A állítás és tagadásának konjunkciója biztosan hamis,
mivel vagy az A vagy a A hamis.
A
A=i
Az A állítás és tagadásának diszjunkciója biztosan igaz,
mivel az egyikük igaz.
9. Kettős tagadás
( A) = A
• Három szigetlakó (X, Y, Z) áll a tengerparton.
Megkérdezzük X-et: Te
• igazmondó vagy?, de nem értjük mit mond.
Megkérdezzük Y-t: Mit mondott X? Mire
• Y: X azt mondta, hogy nem. Mire közbeszól Z:
Ne higgyen Y-nak, hazudik. Van-e
• köztük igazmondó? és hazugmondó?

similar documents