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Determinação de Vazões Extremas
1
PROF. BENEDITO C. SILVA
Estimativas de vazões máximas
 Usos:
 Dimensionamento de estruturas de drenagem
 Dimensionamento de vertedores
 Dimensionamento de proteções contra cheias
 Análises de risco de inundação
 Dimensionamento de ensecadeiras
 Dimensionamento de pontes
 Morfologia fluvial
 Questões ambientais: relação rio-planície
Tempos de retorno admitidos para
algumas estruturas
Estrutura
TR (anos)
Bueiros de estradas pouco movimentadas
5 a 10
Bueiros de estradas muito movimentadas
50 a 100
Pontes
50 a 100
Diques de proteção de cidades
50 a 200
Drenagem pluvial
2 a 10
Grandes barragens (vertedor)
10 mil
Pequenas barragens
100
Vazões máximas a partir de
séries de vazões medidas
Deve ser obtida uma série histórica de vazões máximas
diárias, considerando:
i. Valores máximos diários de cada ano
ii. Um valor para cada ano hidrológico
iii. O ano hidrológico corresponde ao período de 12
meses, começando no início do período
terminando ao final da estação seca.
chuvoso e
Para o Sudeste do Brasil, o ano hidrológico se inicia
em outubro e termina em setembro do ano seguinte
4
Seleção dos máximos anuais
Vazões diárias em Morpará (Rio São Francisco)
6000
5000
Máx. de
1996
Máx. de
1995/96
Máx. de
1995
3
Vazão (m /s)
4000
3000
2000
1000
Ano civil
0
31/12/94
31/12/95
5
Ano hidrológico
31/12/96
31/12/97
Função distribuição de probabilidade
acumulada
Probabilidade de não-excedência
F x   P X  x 
Probabilidade da variável X ser
menor ou igual ao valor x
Probabilidade de excedência
P X  x   1  F  x 
Probabilidade da variável X ser
maior ou igual ao valor x
6
Função de distribuição empírica
7
• Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando
equações de posição de locação ou plotagem para
estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo:
m
P (Q  qm ) 
n 1
Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra
n é o tamanho da amostra.
Exemplo de ajuste empírico
8
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Ordem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Vazão
Máxima
289.5
263.3
240.0
227.3
210.8
184.5
183.8
170.3
167.3
157.5
145.5
131.3
104.3
Probabilidade
empírica
0.0714
0.1429
0.2143
0.2857
0.3571
0.4286
0.5000
0.5714
0.6429
0.7143
0.7857
0.8571
0.9286
Tempo
Retorno
14.0
7.0
4.7
3.5
2.8
2.3
2.0
1.8
1.6
1.4
1.3
1.2
1.1
1
1
TR 

 7.0
Para o segundo valor:
P(Q  q) 0.1429
m
2
PQ  q  

 0.1429
n  1 13  1
Exemplo de ajuste empírico
300.0
3
Vazão máxima (m /s)
250.0
200.0
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Tempo de retorno, TR (ano)
9
12.0
14.0
Distribuições teóricas de probabilidade
Distribuições usuais em hidrologia
• Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou
precipitações médias)
• Log-Normal (vazões máximas)
• Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas)
• Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas)
• Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em
alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros
10
Distribuições teóricas de probabilidade
11
Distribuições teóricas de probabilidade
12
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
13
A função densidade de probabilidade acumulada é
PQ  q  e
e y
Ou, passando para probabilidade de excedência
PQ  q  1  e
Onde,
y
e  y
q

  0,78s
  x  0,5772
s - desvio padrão da série
de valores máximos
x - média da série de
valores máximos
Distribuição de Gumbel (Extremos I)
PQ  q  1  e
e  y
1
e  y
 1 e
TR
1
e  y
e
 1
TR
Passando o logaritmo 2 vezes

1 

y   ln  ln1 

 TR 

q


1 

qTR     ln  ln1 

 TR 

14

1 

  ln  ln1 

 TR 

Cálculo da vazão máxima q, para o
tempo de retorno TR
Distribuição Log-Pearson Tipo III
Função densidade de probabilidade:
Fórmula alternativa:
A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por,
logQTR  logQ  KSlogQ
SlogQ
= Desvio padrão dos logaritmos da vazões
15
Distribuição Log-Pearson Tipo III
O parâmetro K é calculado por:
3


2 
G  G  

K   k1     1  1
G
6
6



 




Com,
2,515517 0,802853t  0,010328t 2
k1  t 
1  1,432788t  0,189269t 2  0,001308t 3
t  2 ln TR
G é o coeficiente de assimetria
16
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição
Normal
17
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Média
190.4 m3/s
Desvio
padrão
53.5 m3/s
Tempo
de retorno
100
90
80
70
60
50
40
30
20
14
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1.01
Probabilidade
0.010
0.011
0.013
0.014
0.017
0.020
0.025
0.033
0.050
0.071
0.100
0.111
0.125
0.143
0.167
0.200
0.250
0.333
0.500
0.990
Vazão (m3/s)
Distrib. Normal
314.9
312.8
310.4
307.6
304.3
300.3
295.3
288.6
278.5
268.8
259.0
255.7
252.0
247.5
242.2
235.4
226.5
213.4
190.4
65.6
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Normal
350.0
250.0
3
Vazão máxima (m /s)
300.0
200.0
Empírica
Normal
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
Tempo de retorno, TR (ano)
18
25.0
30.0
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Gumbel
Ano
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Média
Desvio
padrão
Vazão
Máxima
145.5
183.8
289.5
131.3
227.3
167.3
104.3
263.3
157.5
240
170.3
210.8
184.5
Tempo
de retorno
100
90
80
70
60
50
40
30
20
14
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1.01
Probabilidade
0.010
0.011
0.013
0.014
0.017
0.020
0.025
0.033
0.050
0.071
0.100
0.111
0.125
0.143
0.167
0.200
0.250
0.333
0.500
0.990
Vazão (m3/s)
Distrib. Gumbel
358.39
353.97
349.02
343.41
336.92
329.23
319.81
307.62
290.32
274.95
q
260.26
255.61
250.36
244.37
237.36
228.92
218.31
203.98
181.59
102.41
190.4 m3/s
53.5 m3/s
Alfa
Mi
41.76223
19 166.2795
TR    ln  ln1 


1 

TR 
Exemplo de ajuste de função teórica
Distribuição Gumbel
350.0
250.0
3
Vazão máxima (m /s)
300.0
200.0
Empírica
Normal
Gumbel
150.0
100.0
50.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
Tempo20
de retorno, TR (ano)
25.0
30.0
Exemplo rio Guaporé
Comparação de resultados
TR
Normal
Log Normal Log Pearson 3
Gumbel
2
754
678
685
696
5
1050
1010
1013
1007
10
1204
1245
1236
1212
25
1369
1554
1522
1472
50
1475
1794
1737
1665
100
1571
2041
1953
1856
Considerações finais
 Vazões máximas não seguem distribuição normal.
 Distribuição assimétrica.
 Estimativa de vazões máximas com
Log Normal
 Gumbel
 Log Pearson 3

Considerações finais
 Não há uma distribuição perfeita
 Log Pearson 3 é recomendada oficialmente nos EUA,
mas não é adequada quando N é pequeno
 Gumbel tem a vantagem de ser de simples aplicação
 Incerteza da curva – chave.
Vazão máxima para locais sem dados
observados: método racional
Qp=0,278 C I A
Qp: vazão máxima (m3/s)
C: coeficiente de run-off
I: intensidade em mm/h
A: área em km2
Área < 2 km2
25
26
Sequência de cálculo
27
• Delimitar a bacia hidrográfica;
• Divisão de áreas quanto a cobertura da bacia (C1, C2,
C3, etc.);
• Cálculo do C (média ponderada)
• Determinação do comprimento do curso principal L e a
sua declividade S (ou H, que
é o desnível entre o ponto mais afastado da
bacia e o exutório);
Sequência de cálculo
28
Exemplo
29
30
(C = 0,10)
(C = 0,85)
(C = 0,25)
(C = 0,20)
31
Solução
=
, ,  + , ,  + , ,  + , , 
= , 
, 
32
Solução
0,30
9,88 m3/s
33

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