MODULO I

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MODULO I
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Definición de Ángulo:
Un ángulo es la abertura comprendida entre dos segmentos, uno llamado
lado inicial y el otro lado terminal y que tienen un punto en común llamado
vértice.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Medición de ángulos:
Para el estudio de las funciones circulares, un ángulo además de medirse en los
sistemas sexagesimal y centesimal se mide en el sistema de medida circular.
Sistema sexagesimal:
La rotación total de una circunferencia corresponde a un ángulo de 360°. La
unidad básica para la medición de ángulos en el sistema sexagesimal es el
grado, que se define como parte de la rotación total:
Se tiene entonces que : 1° = 60´ y 1´= 60"
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Sistema Centesimal:
En este sistema la unidad de medida es el grado centesimal.
El mismo se define como la centésima parte de un ángulo recto.
Es decir que :
1° = 1/100
Por lo tanto si dividimos al grado centesimal por 100 tendremos el minuto
centesimal :
1´ =1°/100
Y el segundo centesimal :
1”=1’/100
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Sistema Circular
En este sistema la unidad de medida es el radian.
El radian se define como el ángulo en el cual la longitud del arco (s) es
igual al radio (r):
Esta condición se da (r=s) cuando el ángulo subtendido por el arco en el
sistema Sexagesimal es de 57,3°
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Equivalencias entre los Sistemas de Medida
La pregunta que podríamos hacernos es cuantos radianes tiene un ángulo
que rota 360° sexagesimales?
Entonces si dividimos 360 /57,3 ≈ 6.283
La mitad de este ángulo es lo que conocemos comúnmente como el
Numero π≈3.1416
Por lo tanto 360°= 2π
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Tenemos que π radianes es igual a 180°.
Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias:
Rad.
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
Grados
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
Rad.
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
Grados
210°
225°
240°
270°
300°
315°
π
180°
11π/6 2π
330°
360°
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
En todo triángulo rectángulo, con independencia de las medidas de sus lados
(catetos e hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados que se cumplen
siempre, y que sólo dependen del valor de los ángulos agudos del triángulo.
B
Hipotenusa
c
B
a
A=90º
C
A
b
C
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
θ= L/R
θ= L/1
; R=1
; θ=L
(solo se cumple numéricamente)
“Es decir que el numero de radianes del ángulo central es igual a la longitud
del arco pero solo como arco numérico”
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
La circunferencia goniométrica (trigonométrica o unitaria) es una herramienta
muy útil a la hora de visualizar y definir razones trigonométricas de ángulos
cualesquiera.
Se trata de una circunferencia de radio 1, situada en el origen de coordenadas.
En ella se dibujan los ángulos de la siguiente forma:
El vértice en el origen de coordenadas.
Uno de sus lados en el eje de las x.
El otro lado se sitúa con la amplitud deseada: se mide el ángulo en sentido
contrario a las agujas del reloj.
La circunferencia goniométrica se divide en cuatro partes, denominadas cada
una de ellas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran a partir del semieje
positivo de las x, en sentido antihorario: primero, segundo, tercero y cuarto:
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las x y el
semieje positivo de las y es el primer cuadrante.
La parte del plano comprendida entre el semieje positivo de las y, y el
semieje negativo de las x es el segundo cuadrante
Y así sucesivamente. Tomando en cuenta los ángulos de la figura adjunta
tenemos:
Primer cuadrante: de 0 a 90º, x>0, y >0
Segundo cuadrante: de 90 a 180º, x<0, y>0
Tercer cuadrante: de 180º a 270º, x<0, y<0
Cuarto cuadrante: de 270º a 360º, x>0, y<0
Dependiendo del cuadrante considerado, las funciones trigonométricas
seno, coseno y tangente tienen un valor positivo o negativo.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Relaciones trigonométricas: seno
Se representa por la perpendicular trazada
desde el extremo del arco, hacia el
diámetro horizontal:
•En el
∆ OQP: senθ= QP/OP= Y/1
. Senθ = y
* De la figura:
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Se representa por la perpendicular
trazada desde el extremo del arco,
hacia el diámetro vertical:
En el
∆ PNO: cosθ= NP/OP= x/1
. cosθ = x
De la figura:
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Es una parte de la tangente
geométrica trazada por el origen de
arcos A(1;0), se empieza a medir de
este origen y termina en la
intersección de la tangente
geométrica con el radio prolongado
que pasa por el extremo del arco.
En el
∆ TAO: tgθ= AT/OA= y1/1
. tgθ = y1
De la figura:
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Es una parte de la tangente que pasa por
el origen de complementos
B(0;1), se empieza a medir a partir de
ese origen y termina en la intersección de
la tangente mencionada con radio
prolongado que pasa por el extremo del
arco.
En el
∆ TOB: cotgθ= BT/BO= X1/1
cotgθ = X1
De la figura:
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Es una parte del diámetro prolongado
que pasa por el origen del arco (A), se
empieza a medir del centro de la
circunferencia y termina en la
intersección del diámetro prolongado
con la tangente geométrica trazada
por el extremo del arco:
En el
∆TOB: secθ= OT/OP= X2/1
. secθ = X2
De la figura:
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Es una parte del diámetro prolongado
que pasa por el origen de
complementos, se empieza a medir en
el centro de la circunferencia y termina
en la intersección del diámetro
prolongado con la tangente geométrica
trazada por el extremo del arco.
En el
TOB: cosecθ= OT/OP= y2/1
. cosecθ = y2
De la figura:
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
De la expresión anterior pueden derivarse las siguientes
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Relaciones fundamentales
Fórmula fundamental
Aplicando el teorema de Pitágoras
Aplicando las
siguientes
definiciones
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
Relaciones a partir de la fundamental
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un
radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele
denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las
funciones recíproca se denominan con el prefijo arco.
En las paginas siguientes se explicitara para mayor claridad las funciones
inversas de algunas funciones trigonométricas y sus graficas :
31
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
El arcoseno es la función inversa del seno.
y = arcsen x , x = sen y
y es el arco cuyo seno es el número x.
arcsen (sen x) = x.
El arcoseno también se puede escribir indistintamente como: sen-1 o sin-1
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
El arco coseno es la función inversa o reciproca del coseno.
y = arccos x, x = cos y
y es el arco cuyo coseno es el número x.
.
arccos (cos x) = x.
El arco coseno también se puede expresar como: cos-1.
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
El arco tangente es la función inversa de la tangente.
y = arctg x , x = tg y
y es el arco cuya tangente es el ángulo x.
arctg (tg x) = x.
El arco tangente también se puede escribir como: tg-1 o tan-1.
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APLICACIONES PRACTICAS
RESOLUCION DE TRIANGULOS
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APLICACIONES PRACTICAS
Una de las aplicaciones practicas mas comunes en Trigonometría es la
resolución de triángulos
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario
conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
Primer caso: Se conocen la hipotenusa y un cateto
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APLICACIONES PRACTICAS
Segundo caso: se conocen 2 catetos
37
APLICACIONES PRACTICAS
Tercer caso: se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
38
APLICACIONES PRACTICAS
Cuarto caso: se conocen un cateto y un ángulo agudo
39
APLICACIONES PRACTICAS
En el triangulo de la figura se cumple la siguiente relación, conocida como
el Teorema del Seno:
40
APLICACIONES PRACTICAS
Teorema del Coseno:
Tomando como referencia el triángulo anterior, veremos que en el mismo
se cumple la siguiente relación conocida como el Teorema del Coseno
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APLICACIONES PRACTICAS
Quinto caso: Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos
adyacentes a él
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APLICACIONES PRACTICAS
Dado el triángulo cuyos datos son los siguientes:
Lado c = 63 m
Ángulo B = 42°
Ángulo A = 83°
Calcular los valores del ángulo C y de los lados a y b.
Solución:
Como sabemos que la suma de los tres ángulos interiores de todo
triángulo es igual a
180°, podemos obtener el valor del ángulo C de la siguiente manera:
C = 180° - (a + b) = 180° - (83° + 42°) = 55°
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APLICACIONES PRACTICAS
Conocido el valor de los ángulos y el lado c podemos aplicar el Teorema del seno
para el cálculo de los lados:
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REPRESENTACION GRAFICA
Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas: Denominamos
funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones trigonométricas
referenciadas en la circunferencia.
Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se
denominan funciones hiperbólicas.
Por simplicidad, y puesto que lo permite el Teorema de Thales, usamos la
circunferencia trigonométrica (de radio unidad) para el estudio de las
funciones circulares, lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de
parámetro unidad para el estudio de las funciones hiperbólicas.
45
REPRESENTACION GRAFICA
46
REPRESENTACION GRAFICA
La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma:
A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ω es la frecuencia
angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω.
47
REPRESENTACION GRAFICA
48
REPRESENTACION GRAFICA
Si graficamos el sonido producido por un diapasón afinado a 440 Hz.
veríamos lo siguiente:
Esta forma que se parece a las ondas que se producen en el agua cuando
tiramos una piedra se llaman precisamente, función de onda asociada al
sonido anterior.
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REPRESENTACION GRAFICA
Si escuchamos a una persona cuando emite el sonido de la vocal A y lo
pudiéramos graficar obtendríamos lo siguiente:
No es la misma de antes, debe de ser así ya que son sonidos distintos,
pero tienen en común una forma con un patrón que se va repitiendo.
Cuando eso ocurre en una función decimos que se trata de una función
periódica.
Se puede demostrar que dicha función se puede descomponer como
suma de funciones parecidas a la anterior.
50
REPRESENTACION GRAFICA
Periodo
Una característica distintiva de las funciones trigonométricas es la
periodicidad
Vemos que la forma de la función muestra un patrón se va repitiendo.
Cuando a una función le ocurre esto decimos que se trata de una función
periódica.
La longitud del patrón en el eje x le llamamos período, en este caso 360º o
expresado en radianes 2π.
51
REPRESENTACION GRAFICA
Amplitud
Que ocurre si multiplicamos por 2 a la función seno,
f(x) = 2sen(x)
Todas las imágenes quedan multiplicadas por dos y la forma de la gráfica es
la siguiente:
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REPRESENTACION GRAFICA
Volviendo a las matemáticas, llamamos amplitud de la función seno a la
mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo.
Así en la primera gráfica sen(x) el valor máximo que tiene la función es 1 y el
valor mínimo –1. La distancia entre ellos es 2.
Así la amplitud será la mitad de este valor o sea 1.
En la función 2sen(x) anteriormente representada vemos que el valor
máximo y mínimo son respectivamente 2 y –2 así la amplitud es 2.
En general si tenemos una función de la forma f(x) = A sen(x) su
representación gráfica será parecida a las anteriores pero la amplitud será A,
es decir el valor máximo será A y el valor mínimo –A.
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REPRESENTACION GRAFICA
Frecuencia
La relación entre la frecuencia y el período es:
Estas definiciones son de fundamental importancia en el análisis de la
transmisión de señales telefónicas como se vera en Módulos posteriores
de este Curso
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
B
α
D
90
sen      
AB
OB

AD  DB
OB
C
β
α
O
A
E
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
B
α
D
90
C
β
α
O
A
E
57
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Sustituyendo seno y el coseno del ángulo suma y dividiendo por
(cos α · cos β), tenemos que:
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
sen (    )  sen  cos   cos  sen 
cos(    )  cos  cos   sen  sen 
tan(    ) 
1  tan  tan 
tan   tan 
60
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Si ahora β=α
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FUNCIONES HIPERBOLICAS
Las funciones trigonométricas sen(t) y cos(t) pueden definirse a partir de las
coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la circunferencia unitaria
centrada en el origen, siendo t el ángulo, medido en radianes, comprendido
entre el semieje positivo x, y el segmento OP, según las siguientes
igualdades:
x(t) = cos(t)
y(t) = sen(t)
También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de
circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como
el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo x, el
segmento OP y la circunferencia unitaria.
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FUNCIONES HIPERBOLICAS
De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las
coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera,
centrada en el origen, cuya ecuación es:
Siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje
positivo x, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes
igualdades:
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FUNCIONES HIPERBOLICAS
Se llaman funciones hiperbólicas al coseno hiperbólico (denotado cosh o ch),
seno hiperbólico (seno o sh) y las funciones que se obtienen a partir de ellas,
como la tangente (tanh o th), cotangente (coth), la secante (sech) y la
cosecante (cosech) hiperbólicas:
Coseno hiperbólico:
es la parte par de la exponencial
Seno hiperbólico :
Es la parte impar de la exponencial
64
FUNCIONES HIPERBOLICAS
Tangente hiperbólica:
65
FUNCIONES HIPERBOLICAS
También puede probarse que es válida la siguiente descripción de la
hipérbola:
En razón que:
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FUNCIONES HIPERBOLICAS
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia
de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.
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FUNCIONES HIPERBOLICAS
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento .
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
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FUNCIONES HIPERBOLICAS
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y
PF'.
Distancia focal
Es el segmento FF` de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento AA’ de longitud 2a.
Eje menor
Es el segmento BB’ de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
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DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
70
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera
del límite para obtener
El valor de los límites
y
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DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES
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FUNCIONES PERIODICAS
El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la
chaleur” para tratar la solución de problemas de valores en la frontera en la
conducción del calor.
Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy
bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica,
Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.
73
FUNCIONES PERIODICAS
Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor
de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el
periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,..
74
FUNCIONES PERIODICAS
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función:
f(t)  cos( 3t )  cos( 4t )?
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
f(t  T)  cos(
tT
3
)  cos(
tT
4
)  f(t)  cos( 3t )  cos( 4t )
Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces
para que se cumpla la igualdad se requiere que:
Es decir,
T/3=2k1p, T/4=2k2p
T = 6k1p = 8k2p
Donde k1 y k2 son enteros,
El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir, T=24p
75
FUNCIONES PERIODICAS
76
FUNCIONES PERIODICAS
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno
produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que
w1T= 2pm, w2T=2pn
De donde
Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional.
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FUNCIONES PERIODICAS
la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica, ya
que no es un número racional.
1
2

3
3
f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
2
f(t)
1
0
-1
-2
0
5
10
15
t
20
25
30
78
FUNCIONES PERIODICAS
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la
siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
Donde w0=2p/T.
Es decir,
f (t) 
1
2

a 0   [ a n cos( n  0 t )  b n sen ( n  0 t ) ]
n 1
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FUNCIONES PERIODICAS
Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si
observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como:
2
an

2
bn




an
an  bn
2
2
cos( n  0 t ) 

sen ( n  0 t ) 
2
2

an  bn

bn
Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos
coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:
80
FUNCIONES PERIODICAS
an
Cn  an  bn
2
bn
2
2
an

2
bn
bn
qn
2
an
an

2
bn
 cos q n
 sen q n
Con lo cual la expresión queda:
C n cos q n cos( n  0 t )  sen q n sen ( n  0 t ) 
 C n cos( n  0 t  q n ) 
81
FUNCIONES PERIODICAS
Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:

f (t)  C 0 
 C cos( n 
n
0
t  q n )
n 1
Cn  a  b
2
n
2
n
1 
bn 
q n  tan  
 an 
82
FUNCIONES PERIODICAS
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de
componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la
enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su
periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.
83
FUNCIONES PERIODICAS
A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de
corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada
periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos qn son respectiva-mente las amplitudes y
los ángulos de fase de las armónicas.
84

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