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数学のかたち
共線問題と共点問題
Masashi Sanae
1
テーマ
メネラウスの定理、チェバの定理から
共線問題と共点問題について考える
共線・・・点が同一直線上に存在
共点・・・直線が1点で交わる
2
内容
I.
メネラウスの定理
1.
2.
3.
メネラウスの定理とその証明
メネラウスの定理の応用
チェバの定理とその証明
II. メネラウスの定理、チェバの定理の逆
1.
2.
3.
4.
5.
メネラウスの定理の逆
チェバの定理の逆
メネラウスの定理の逆と共線問題
チェバの定理の逆と三角形の五心
チェバの定理の逆の応用
III. メネラウスの定理の拡張
1.
2.
3.
多角形におけるメネラウスの定理
多角形におけるチェバの定理
空間におけるメネラウスの定理
3
Ⅰ メネラウスの定理
メネラウスの定理とその証明
4
メネラウスの定理
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
3点 P, Q, R が同一直線上にあるとき、
BP CQ AR


1
PC QA RB
が成り立つ。
デモ
5
メネラウスの定理のパターン
6
証明1 線分の相似比を用いる
AR BP CQ


RB PC QA
AS BP PC


1

BP PC AS
7
【問1】 補助線を変えて証明
(1)
(2)
8
証明2 面積比を用いる
S3
S1  S 2 S 2
BP CQ





1
S1  S 2
S2
S3
RB PC QA
AR
9
Ⅰ メネラウスの定理
メネラウスの定理の応用
10
例題1(メネラウスの定理の応用)
O
OP
PA

OQ

QB
OR
RC
P
A
R
C
Q
B
11
例題1 解答
△OAC と直線 PB
△OBC と直線 AQ
OP AB CR


1
PA BC RO
OQ BA CR


1
QB AC RO
O
P
A
R
C
O
P
Q
B
A
R
C
Q
B12
例題1 解答
△OAC と直線 PB
△OBC と直線 AQ
OP AB CR


1
PA BC RO
OQ BA CR


1
QB AC RO
BC RO AC RO





PA
QB
AB CR BA CR
OP
OQ
OR  CB AC 
OR AB




 
RC  AB AB 
RC AB

OR
RC
13
【問2】
△ ABC : △ PQ R  m  m n  n : (m  n)
2
2
2
A
m
n
F
R
n
Q
E
m
P
B
m
D
n
C
14
【問2】 方針
△ P Q R  △ A B C - (△ P A B + △ Q B C + △ R C A )
△PAB を求めることで、AP:PD がわかる。
A
m
n
F
R
n
Q
E
m
P
B
m
D
n
C
15
【問2】 方針
△ADC と直線 BE にメネラウスの定理を用いる。
A
m
n
F
R
n
Q
E
m
P
B
m
D
n
C
16
Ⅰ メネラウスの定理
チェバの定理とその証明
17
チェバの定理
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
3直線 AP, BQ, CR が一点で交わるとき、
BP CQ AR


1
PC QA RB
が成り立つ。
デモ
18
【問3】 チェバの定理のパターン
A
R
Q
O
B
P
C
デモ
19
【問4】 証明①相似比による証明
20
【問4】 証明②面積比による証明
A
R
Q
S3
O
S2
S1
B
P
C
証明③メネラウスの定理を利用
△ABP と直線 RC
BC

PO
CP OA

AR
△OBC と直線 AQ
AO
PB CQ


1
OP BC QA
1
RB
A
A
Q
R
Q
R
O
B
P
O
C
B
P
C22
証明③メネラウスの定理を利用
△ABP と直線 RC
BC

PO
CP OA
BC
PO

AR
△OBC と直線 AQ
1
RB
AR AO PB CQ





CP OA RB OP BC QA
AO
PB CQ


1
OP BC QA
BP CQ AR



PC QA RB
1
23
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
メネラウスの定理の逆
24
メネラウスの定理(再掲)
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
3点 P, Q, R が同一直線上にあるとき、
BP CQ AR


1
PC QA PB
が成り立つ。
25
メネラウスの定理の逆
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
BP CQ AR


1
PC QA PB
が成り立つならば、3点 P, Q, R は同一直線上
にある。
26
メネラウスの定理の逆はなりたたない
(反例)
Q
R
B
A
P
C
27
メネラウスの定理の逆(修正版)
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
内分点が偶数個、外分点が奇数個で、かつ、
BP CQ AR


1
PC QA PB
が成り立つならば、3点 P, Q, R は同一直線上
にある。
28
メネラウスの定理の逆の証明
Q, R が辺の内分点で、直線 RQ と BQ の交点
をP’ とするとき、
BP' CQ AR


1
P 'C Q A R B
条件より、
∴
BP
PC

BP'
BP CQ AR


1
PC QA RB
∴ P  P'
P 'C
29
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
チェバの定理の逆
30
チェバの定理(再掲)
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
3直線 AP, BQ, CR が一点で交わるとき、
BP CQ AR


1
PC QA RB
が成り立つ。
31
チェバの定理の逆
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
BP CQ AR


1
PC QA RB
が成り立つならば、3直線 AP, BQ, CR は一点
で交わる。
32
チェバの定理の逆もなりたたない
(反例)
33
チェバの定理の逆(修正版)
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、
BP CQ AR


1
PC QA RB
が成り立つならば、3直線 AP, BQ, CR は一点
で交わる。
34
修正版もなりたたない
(反例)
35
チェバの定理の逆(再修正版)
3点 P, Q, R をそれぞれ△ABCの3辺 BC, CA,
AB の内分点、またはたは外分点とする。
内分点が奇数個、外分点が偶数個で、かつ、
BP CQ AR


1
PC QA RB
が成り立つならば、3直線 AP, BQ, CR は一点
で交わるか、またはすべて平行である。
36
チェバの定理の逆の証明
P, Q が辺の内分点で、直線 AP と BQ の交点を
O、CO と AB の交点を R’ とするとき、
BP CQ AR'


1
P C Q A R 'B
条件より、
A
BP CQ AR


1
PC QA RB
R
R‘
Q
O
∴
AR
RB

AR'
R 'B
∴ R  R'
B
P
C
37
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
メネラウスの定理の逆と共線問題
38
シムソンの定理
△ABC の外接円の任意の点 D から、3直線
BC, CA, AB に下ろした垂線の足をそれぞれ、
P, Q, R とする。このとき、この3点は同一直線上
にある。
デモ
39
シムソンの定理の証明 (方針)
△ABC と3点 P, Q, R において、
BP CQ AR


1
PC QA RB
が成り立つことをいえばよい。
(メネラウスの定理の逆)
40
シムソンの定理の証明
BP CQ AR


PC QA RB

D B cos 
D C cos 

D C cos(    )
D A cos 

D A cos 
D B cos(    )
1
41
ニュートンの定理
四角形 ABCD の対辺 AB, CD の延長線の交
点を E、AD, BC の延長線の交点を F とする。
AC, BD, EF の中点をそれぞれ P, Q, R とすると
き、この3点は同一直線上にある。
デモ
42
ニュートンの定理の証明 (方針)
BC の中点を G、GP と CE の交点を H、GQ と
BE との交点を I とする。
3点 H, I, R がそれぞれ CE, BE, FE の中点であ
るから、3点は同一直線上。
△GHI と3点 P, Q, R において、
G P H R IQ


1
PH RI QG
が成り立つことをいえばよい。
(メネラウスの定理の逆)
43
ニュートンの定理の証明
△EBC と3点 P, Q, R において、
BA ED CF


1
A E D C FB
G P H R IQ
BA FC ED





PH RI QG
AE FB D C
1
44
デザルグの定理
△ABC と △A’B’C’ において、直線 AA’, BB’,
CC’ が1点 O で交わっている。直線 AB と A’B’、
BC と B’C’、 CA と C’A’ の交点をそれぞれ P,
Q, R とするとき、この3点は同一直線上にある。
デモ
45
デザルグの定理の証明 (方針)
△ABC と3点 P, Q, R において、
AP BQ CR


1
PB QC RA
が成り立つことをいえばよい。
(メネラウスの定理の逆)
46
デザルグの定理の証明
△OAB と直線 PB’ △OBC と直線 QB’ △OCA と直線 C’R
BQ CC' OB'
CR AA' OC'
AP BB' OA'


1


1


1
Q C C 'O B B '
R A A 'O C 'C
P B B 'O A A '
デザルグの定理の証明
△OAB と直線 PB’ △OBC と直線 QB’ △OCA と直線 C’RC
BQ CC' OB'
CR AA' OC'
AP BB' OA'


1


1


1
Q C C 'O B B '
R A A 'O C 'C
P B B 'O A A '
AP BB' OA' BQ C C ' O B' CR AA' OC'








P B B 'O A A ' Q C C 'O B B ' R A A 'O C 'C
AP BQ CR



PB QC RA
1
パップスの定理
2直線上の3点をそれぞれ、A, B, C, A’, B’, C’ と
する。線分 AB’ と A’B、BC’ と B’ C、AC’ と A’C
の交点をそれぞれ P, Q, R とするとき、この3点
は一直線上にある。
デモ
49
【問5】 証明 (方針)
直線 AB’ と BC’ との交点を D、A’C と AB’,
BC’ との交点をそれぞれ E, F とする。
△DEF と3点 P, Q, R において、
D P E R FQ


1
PE RF QD
が成り立つことをいえばよい。
(メネラウスの定理の逆)
50
パスカルの定理
円に内接する六角形 ABCDEF において、AB
と DE、BC と EF、CD と FA のそれぞれの交点
を P, Q, R とすると、この3点は一直線上にある。
デモ
51
【問6】 証明 (方針)
直線 AB と CD 、AB と EF,CD と EF の交点を
それぞれの交点を L, M, N とする。
△LMN と3点 P, Q, R において、
LP
ME NR


1
PM EN RL
が成り立つことをいえばよい。
(メネラウスの定理の逆)
52
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
チェバの定理の逆と三角形の五心
53
重心
三角形の中線は1点で交わる。
A
B
C
54
重心の証明
A
BP CQ AR
BP CQ AR





PC QA RB
BP CQ AR
チェバの定理の逆より、3直線は
1点で交わる。
1
R
B
Q
C
P
△ABP と直線 RC
A
AR BC PG


1
RB CP GA
PG
GA

RB

CP
AR BC

R
Q
G
1
2
B
P
C
垂心
三角形の3頂点から対辺に下ろした垂線は1点
で交わる。
A
B
C
56
垂心の証明
A
BP

A B cos B
PC
A C cos C
AR
A C cos A
RB

CQ
QA

B C cos C
R
A B cos A
Q
B C cos B
B
P
A B cos B B C cos C A C cos A
BP CQ AR
1





A C cos C A B cos A
PC QA RB
B C cos B
チェバの定理の逆より、3直線は1点で交わる。
C
外心
三角形の3辺の垂直2等分線は1点で交わる。
A
B
C
58
外心の証明
BC, CA, AB の中点を P, Q, R とすると、
BC // RQ, CA // PR, AB // QP
BC, CA, AB の垂直2等分線は、RQ, PR, QP に
対しても垂直。よって、△ABCの垂直2等分線
の交点は△PQRの垂心に一致する。
A
垂心はすでに証明済み。
R
B
Q
P
C
【問7】(1) 内心
三角形の3頂角の2等分線は1点で交わる。
A
B
C
60
【問7】(1) 方針
頂角 A, B, C の2等分線と対辺との交点を P, Q,
R とする。角の二等分線の性質を用いて、
BP CQ AR


1
PC QA RB
をいう。(チェバの定理の逆)
61
【問7】(2) 傍心
三角形の1頂角の内角と、他の外角の2等分線
A
は1点で交わる。
B
C
62
【問7】(2) 方針
頂角 A の内角、 B, C の外角の2等分線と対辺
との交点を P, Q, R とする。
角の二等分線の性質を用いて、
Q
BP CQ AR


1
PC QA RB
R
A
B
P
C
をいう。(チェバの定理の逆)
63
Ⅱ メネラウスの定理、チェバの定理の逆
チェバの定理の逆の応用
64
例題2(ジュルゴンヌ点)
△ABCの内接円と辺 BC, CA, AB との接点を P,
Q, R とすると、3直線 AP, BQ, CR は1点で交わ
る。
A
R
Q
B
P
C
デモ
65
例題2 方針
円外の1点から円に引いた接線の長さが等しい
ことを利用して、
BP CQ AR


1
PC QA RB
をいう。(チェバの定理の逆)
66
例題2 解答
BP = BR, CP = CQ, AQ = AR より、
BP CQ AR
BP CQ AR





PC QA RB
CQ AR BP
チェバの定理の逆より、
AP, BQ, CR は1点で交わる。
B
1
A
R
Q
C
P
67
【問8】 (ナーゲル点)
△ABCの傍接円と辺 BC,
CA, AB との接点を P, Q, R
とすると、3直線 AP, BQ,
CR は1点で交わる。
A
R
B
Q
P
C
デモ
68
【問8】 方針
円外の1点から円に引いた接線の長さが等しい
ことを利用して、
BP CQ AR


1
PC QA RB
をいう。(チェバの定理の逆)
A
S
B
P
C
T
69
【問8】 方針
BC = a, CA = b, AB = c, 2s=a + b + c とおく。
AS=
AS+AS

AS+AT
2


2
(A B + B S )+ (A C + C P )
2
A
(A B + B P )+ (A C + C P )
2
S
B
P
C
T

AB+BC+CA
 s
2
BP  BS  AS - AB  s  c
70
Ⅲ メネラウスの定理の拡張
多角形におけるメネラウスの定理
71
多角形におけるメネラウスの定理
n 角形のどの頂点も通らない直線が、直線
AkAk+1(k=1, 2, 3, ・・・, n , An+1=A1)と交わる点
を Pk とするとき、
A 3 P3
A 1 P1 A 2 P2



P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4

A n Pn
Pn A n  1
n


k 1
A k Pk
1
Pk A k  1
が成立する。
72
多角形におけるパターン
A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4



1
P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4 A 1
A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4 A 5 P5




1
P1 A 2 P2 A 3 P3 A 4 P4 A 5 P5 A 1
デモ
73
証明1 線分の相似比を用いる
A 1 P1
P1 A 2

A 1B1
A 2 P2
A 2B 2
P2 A 3
A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3



P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1


A 2B2
A k Pk
A 3B3
Pk A k  1
A n Pn
Pn A n  1

A 1B1
A 2B2

A 2B2

A kBk

A k 1 B k 1
A 3B3
A 3B 3 A 4B 4


A nBn
1
A n 1 B n 1
74
証明2 帰納法を用いる
n 角形の辺 AnAn+1 に△AnAn+1A1 を作り、
AnAn+1, An+1A1 と直線との交点を P’, Pn+1 とする。
三角形では明らか。
n 角形で次の関係が成り立つとする。
A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3



P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1
A n Pn

1
Pn A n  1
△AnAn+1A1 と直線において、
A 1 Pn

A nP '
Pn A n P ' A n  1

A n  1 Pn  1
Pn  1 A 1
1
75
証明2 帰納法を用いる
2式をかけると、
A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3



P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1

A n 1 Pn 1

Pn 1 A n
A nP '

P ' A n 1
A n  1 Pn  1
1
Pn  1 A 1
P’ を Pn におきかえると、n + 1 角形でも成立。
A 1 P1 A 2 P2 A 3 P3



P1 A 2 P2 A 3 P3 A 1

A n 1 Pn 1
Pn 1 A n

A n Pn
Pn A n  1

A n  1 Pn  1
1
Pn  1 A 1
76
Ⅲ メネラウスの定理の拡張
多角形におけるチェバの定理
77
多角形におけるチェバの定理
2n+1 角形の辺または延長上にない平面上の1点Oに
対して、直線 AkO と A n+k mod 2n+1 A n+k+1 mod 2n+1
(k=1, 2,・・・,2n+1,A2n+2=A1)と交わる点を Pk とすると、
A n  1 P1 A n  2 P2 A n  3 P3



P1 A n  2 P2 A n  3 P3 A n  4

A n P2 n  1
P2 n  1 A n  1
2 n 1


k 1
A n  k Pk
1
Pk A n  k  1
が成立する。
78
考え方
対辺が存在する奇数多角形においてのみ拡張
される。
n2
A1
P3
n3
A5
P4
A2
P2
P5
(A 2 n  2  A n )
A4
P1
A3
A 3 P1 A 4 P2 A 5 P3 A 1 P4 A 2 P5




1
P1 A 4 P2 A 5 P3 A 1 P4 A 2 P5 A 3
デモ
A 4 P1 A 5 P2 A 6 P3 A 7 P4 A 1 P5 A 2 P6 A 3 P7






1
P1 A 5 P2 A 6 P3 A 7 P4 A 1 P5 A 2 P6 A 3 P7 A 4
79
証明 面積比を用いる
△AkAn+kO = Sm とおくと、
A n  k Pk

Pk A n  k  1
Snk
S n  k 1
(A 2 n  2  A 1 )
A n  1 P1 A n  2 P2 A n  3 P3



P1 A n  2 P2 A n  3 P3 A n  4
S n 1 S n  2 S n  3




S n2 S n3 S n4

S n 1
Sn

A n P2 n  1
P2 n  1 A n  1

Sn
S n 1
1
80
Ⅲ メネラウスの定理の拡張
空間におけるメネラウスの定理
81
空間におけるメネラウスの定理
空間内の四面体 ABCD の辺 AB, BC, CD, DA
またはその延長が平面 π と交わる点をそれぞ
A
れ P, Q, R, S とすると、
AP BQ CR DS



1
PB QC RD SA
S
P
π
が成立する。
D
B
R
Q
C
デモ
82
証明
直線 AC と平面 π との交点を U とする。
△ABC と直線PQ
△ACD と直線SR
AP BQ CU


1
PB QC UA
AU CR DS


1
UC RD SA
83
証明
直線 AC と平面 π との交点を U とする。
△ABC と直線PQ
△ACD と直線SR
AP BQ CU


1
PB QC UA
AU CR DS


1
UC RD SA
AP BQ CU AU CR DS
AP BQ CR DS









1
PB QC UA UC RD SA
PB QC RD SA
84
頂点の巡る順
直線 BD と平面 π との交点を T とする。
△ABD と直線PS
△BCD と直線QR
AP BT DS


1
PB TD SA
BQ CR DT


1
QC RD TB
85
証明
直線 BD と平面 π との交点を T とする。
△ABD と直線PS
△BCD と直線QR
AP BT DS


1
PB TD SA
BQ CR DT


1
QC RD TB
AP BQ CR DS
AP BT DS BQ CR DT









1
PB QC RD SA
PB TD SA QC RD TB
86

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