Решение задач А. Прокофьев, В. Бардушкин, Москва Расстояние между двумя точками Расстояние между точками A(x1; y1 z1) и B(x2; y2; z2) вычисляется по формуле ( A ;

Report
Решение задач
А. Прокофьев,
В. Бардушкин,
Москва
Расстояние между двумя точками
Расстояние между точками A(x1; y1 z1) и B(x2; y2; z2)
вычисляется по формуле
( A ; B ) 
Журнал «Математика» № 01/2013
 x 2  x1 
2
  y 2  y 1    z 2  z1  .
2
2
Задача 1
Найти координаты точки C на отрезке AB такой, что
AC : CB = k, где A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2).
Журнал «Математика» № 01/2013
Задача 2
Найти координаты точки B, если A(x1; y1; z1), A B  {p; q; r }.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 1
В единичном кубе A…D1 точки E,
K и L — середины ребер AA1, CD
и B1C1 соответственно, а точки M
и N лежат соответственно на
отрезках EK и LK так, что
EM : EK = 2 : 3, а LN : NK = 1 : 4.
Найти длину отрезка МN.
Журнал «Математика» № 01/2013
Угол между прямыми в пространстве
Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее
направляющим вектором.
При нахождении угла  между прямыми m и l используют
формулу
cos  
Журнал «Математика» № 01/2013
pq
p  q
.
Угол между прямыми в пространстве
Или (в координатной форме)
cos  
где

p  x 1 ; y1 ; z1
x 1 x 2  y 1 y 2  z1 z 2
x y z  x y z
2
1
и
2
1
2
1
2
2

q  x 2 ; y 2 ; z2
— направляющие векторы прямых m и l.
Журнал «Математика» № 01/2013
2
2

2
2
—
,
Пример 2
В единичном кубе A…D1 найти
угол между прямыми АЕ и DF, где
Е и F — точки, расположенные на
ребрах CD и C1D1 так, что
1
1
DE  DC , C1F  C1D1.
3
3
Журнал «Математика» № 01/2013
Способы задания плоскости
Плоскость в пространстве однозначно определяется:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;
в) двумя пересекающимися прямыми;
г) двумя параллельными прямыми.
Журнал «Математика» № 01/2013
Составление уравнения плоскости
Составив уравнение плоскости MNP, проходящей через
три точки, не лежащие на одной прямой и заданные
своими координатами
M(xM; yM; zM), N(xN; yN; zN), P(xP; yP; zP).
Пусть это уравнение имеет вид ax + by + cz + d = 0, где a,
b, c, d — неизвестные числа. Подставим в него
координаты точек M, N, P.
Журнал «Математика» № 01/2013
Получим систему уравнений:
 ax M  by M  cz M  d  0,

 ax N  by N  cz N  d  0,
 ax  by  cz  d  0.
P
P
 P
Решив ее, найдем: a = pd, b = qd, c = rd (если окажется, что
d = 0, то a = pc, b = qc; если d = c = 0, то a = pb). Подставив
в исходное уравнение и сократив на d ≠ 0, получим
уравнение
рx + qy + rz + 1 = 0.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 3
Дан единичный куб A…D1. Составить
плоскости, проходящей через точки B, D и C1.
Журнал «Математика» № 01/2013
уравнение
Решение
Найдем координаты точек: B(0; 1; 0), D(1; 0; 0), C1(1; 1; 1).
Записав
в
общем
виде
уравнение
плоскости
ax + by + cz + d = 0 и подставив в него координаты этих
точек, получим систему уравнений:
 a  0  b 1  c  0  d  0, (для точки B )

 a 1  b  0  c  0  d  0, (для точки D )
 a 1  b 1  c 1  d  0. (для точки C )
1

Отсюда b = –d, a = –d и c = d. Тогда уравнение плоскости
BC1D имеет вид –dx – dy + dz + d = 0, или
–x – y + z + 1 = 0.
Журнал «Математика» № 01/2013
Угол между плоскостями
Угол между плоскостями a и β, заданными соответственно
уравнениями
a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0
равен углу φ между их нормальными векторами
na  a1 ; b1 ; c1  и n  a2 ; b2 ; c2  ,
и вычисляется по формуле
cos   a;    | cos  | 
Журнал «Математика» № 01/2013
na  n
na  n

a1a2  b1b2  c1c2
a b c  a b c
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.
Пример 4
В прямоугольном параллелепипеде A…D1 известны ребра
AB = 8, AD = 6, CC1 = 5. Найти угол между плоскостями
BDD1 и AD1B1.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 5
В правильной четырехугольной призме A…D1 стороны
основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре
AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 3 : 1. Найти угол
между плоскостями ABC и BED1.
Журнал «Математика» № 01/2013
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки M до плоскости a можно вычислить
по формуле
( M ; a ) 
ax 0  by 0  cz 0  d
a b c
2
2
2
,
где M(x0; y0; z0), а плоскость a задана уравнением
ax + by + cz + d = 0.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 6
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Сторона
основания равна 2, а боковое ребро — 3. Точка D —
середина ребра CC1. Найти расстояние от точки C до
плоскости AB1D.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 7
В правильной четырехугольной призме A…D1 стороны
основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E —
середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A
до плоскости BED1.
Журнал «Математика» № 01/2013
Расстояние от точки до прямой
Рассмотрим способ вычисления расстояния от точки A до
прямой l в пространстве, основанный на применении
формулы расстояния от точки до плоскости.
ρ(A; BDC) = ρ(A; l)
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 8
В единичном кубе A…D1 найти расстояние от точки D1 до
прямой РQ, где Р и Q — середины соответственно ребер
A1B1 и ВС.
Журнал «Математика» № 01/2013
Угол между прямой и плоскостью
Пусть введена декартова система координат, в которой уже
составлено уравнение плоскости a: ax + by + cz + d = 0.
Выберем на прямой l две точки, A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB).
AB

xB  xA 
2
 yB  yA

2
  zB  z A
Выберем на плоскости a некоторую
точку C(xC; yC; zC) и проведем через нее
прямую l1 || l.
Журнал «Математика» № 01/2013

2
.
Пусть вектор CD  AB — ее направляющий вектор.
Координаты точки D(xD; yD; zD) определяются равенствами:
xD = xC + xB – xA, yD = yC + yB – yA, zD = zC + zB – zA.
Поскольку l1 || l, то угол между прямой l
и плоскостью a равен углу между
прямой l1 и a.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пусть точка H — проекция точки D на плоскость a. Тогда
угол  — искомый, из прямоугольного треугольника CDH
DH
, где CD 
получим: sin  
CD
AB ,
а DH находится
по формуле расстояния от точки D до плоскости a:
DH  ( D ; a ) 
Журнал «Математика» № 01/2013
ax D  by D  cz D  d
a b c
2
2
2
.
Пример 9
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в
которой AB = 5, SA = 4, точка Е — середина ребра SB.
Найти угол между прямой CE и плоскостью SBD.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 10
В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра
которой равны 1, найти угол между прямой AB1 и
плоскостью ACE1.
Журнал «Математика» № 01/2013
Расстояние между скрещивающимися
прямыми
Если скрещивающиеся прямые поместить в параллельные
плоскости, то расстояние между этими прямыми будет
равно расстоянию между построенными плоскостями, а
оно равно расстоянию от любой точки одной прямой до
плоскости, содержащей вторую прямую.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 11
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра
которой равны 7, найти расстояние между прямыми AA1 и
BC1.
Журнал «Математика» № 01/2013
Пример 12
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое
ребро и сторона основания равны 5 и 3 соответственно.
Точка N — середина ребра SF, а точка M делит ребро SD
так, что SM : MD = 1 : 3. Найти расстояние между прямыми
AN и EM.
Журнал «Математика» № 01/2013

similar documents