第十二章 动量矩定理 §12-0 引言 均质轮受外力作用而绕 其质心O作定轴转动,它有 角速度和角加速度,但对于   Foy o Fox A 轮的动量为: P  mvC  mvO  0 外力的矢量和为: e  F F R  F ox  Foy  F 

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第十二章
动量矩定理
§12-0 引言
均质轮受外力作用而绕
其质心O作定轴转动,它有
角速度和角加速度,但对于 

Foy
o
Fox A
轮的动量为:
P  mvC  mvO  0
外力的矢量和为:
e 
F
F R  F ox  Foy  F  0
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定
轴转动是的运动。
§12-1 动量矩
动量矩:动量对某点(轴)之矩。
一、质点的动量矩
1、质点对某点之矩:质点在某瞬时的动量对O点之矩
定义为质点在某瞬时对点O的动量矩。
z
mv
M Z mv 
M O mv 
r
θ
y
o
r xy
x
A
mv xy
质点A对点O的动量矩:
质点A对Z轴的动量矩:
M O (mv )  r  mv

大小: M z (mv )  [M O (mv )]z  r xy  (mv ) xy

方向: M z (mv ) 是代数量,它的正负可以通过右手
定则判断;即:手心握转动轴(坐标轴),四指的指
向为质点动量的方向,大拇指指向为该动量矩的方向,
若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。
或:从坐标轴正向看去,逆时针为正、顺时针为负。
单位:
kg  m 2 s
二、质点系动量矩
n
1、对点的动量矩:
LO   M O (mi vi )
i 1
2、对轴的动量矩(即上式在各轴上的投影):
Lz   M z (mi vi )
3、刚体的动量矩
(1)平移刚体:刚体上任意点的速度均与其质心速度
相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。
对点的:
 m r  v
L  M mv 
LO   M O (mi vi ) 
对轴的:
z
z
i
C
i
C
 
 M O mv C
(2)定轴转动刚体对转动轴的动量矩:


vi  ri
Lz   M z mi vi    mi ri   J z
2
J z   定轴转动刚体对z轴的转动惯量
(3)平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一
固定轴的动量矩为:
Lz  M z mvC   J C
即:其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动
量对该轴的动量矩,与其绕过质心的轴作定轴转动时
对该轴的动量矩之和。
§12-2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设有质点A,受外力作用,
由牛顿第二定律:
ma  F 且
z
dv
a
dt
F
dv
m
F
dt
o
在等式两边同时叉
乘矢径 r
x
r
mv
y
d
r  (mv )  r  F
dt


 
d
d
dr
r
(mv ) 
r  mv 
 mv
dt
dt
dt
左式:
其中:

 
 
dr
 mv  v  mv  0
dt
d
(r  mv )  r  F
dt
  
d
d
(r  mv ) 
M O mv
其中:
dt
dt

r F  MO F
  
 
d

M O mv  M O F
dt
--质点对点的动量矩定理
即:质点对任一点
的动量矩对时间的
导数等于作用在质
点上的力对该点之
矩。
z
M O mv 

MO F
o
x
F
r
mv
y
上式向坐标轴投影后得:
d
M Z mv   M Z F 
dt
--质点对轴的动量矩定理
即:质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在
质点上的力对该轴之矩。
二、质点系的动量矩定理
质点系中某质点对固定点的动量矩定理为:
d
(i)
(e)
M O(mi vi )  M O(Fi )  M O(Fi )
dt
质点系对固定点的动量矩定理为:
d
(i)
(e)
 M O(mi vi )   M O(Fi )   M O(Fi )
dt
其中:  M O(Fi (i) )  0
d
d
d LO
 M O(mi vi )   M O(mi vi ) 
dt
dt
dt

 
e 
d LO
 M O Fi
dt
--质点系对固定点的动量矩定理
即:质点系对某固定点的动量矩对时间的导数,等于
质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的:
dLz
(e)
  M z(Fi )
dt
--质点系对固定轴的动量矩定理
即:质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数,等于
质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
  0 则
若: M F   0 则
若: M O F
e 
e 
z
LO  C(常矢量)
Lz  C(常量)
§12-3 刚体的转动惯量
刚体对某轴的转动惯量:刚体内各质点质量与各质
点到轴的矢径大小平方的乘积之和。
n
J z   mi ri 2
i 1
单位: kg  m2
一、简单形状刚体的转动惯量
1、均质杆对质心轴的转动惯量
z
m
单位长度的质量为:dm  dx
l
l
2
m
1
2
J z  2  x dx  ml
0
l
12
C
2
x
l
x
dx
2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量
单位弧长的质量为:m 2R
取微弧长为: ds  R  d
Jz  

2 R
0

2
0
Z
m
R
ds
2R
2
m
R
R  d  mR 2
2R
2
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量
可将圆盘分割成无数小的圆环,则各圆环质量为:
m
2m
dm 
 2rdr  2 rdr
2
R
R

2m 3
dJ z  dm  r  2 r dr
R
y
2
J z   dm  r  
2
R
0
2m 3
1
2
r
d
r

mR
s
2
R
2
dr
r
1
1
另外: J x  J y  J z  mR 2
2
4
R
x
二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量
平行移轴定理: J z  J zc  md
2
即:刚体对某轴的转动惯量,等于刚体对过其质心且
与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴
间距离平方的乘积。
例1:求均质细直杆对过其端点O的轴的转动惯量。
解:

z
J z  J zc  md
z
2
J ZC
1
 ml 2
12
O
l
2
C
1 2
1 1 2
J z  ml  m   ml
12
 2 3
2

例2:求钟摆对过点O的轴的转动惯量。
解: 杆对过点对过点O的轴的转动惯量:
1 2
J O1  ml
3
x
1
圆盘对过其质心轴的转动惯量: J c  mR 2
2
杆对过点对过点O的轴的转动惯量,用平行移轴定
理求得:
JO2

1
2
2
 mR  ml  R 
2
O
J O  J O1  J O 2
l
mg
C
1 2 1
2
2
 ml  mR  ml  R 
3
2
2R
mg
§12-4 质点系相对质心的动量矩定理
本节主要研究:当选择质心作为动量矩和力矩
的矩心世,质心的运动对动量矩的影响。
z
r r
i
C
i
A
---(1)
v i  vC  v ir ---(2)
vir
r
r
i
C
i
v e  vc
C
y
o
v
C
x
vi
z
vir
A
r
1、质点系相对固定
点运动的动量矩
r
i
C
i
v e  vc
C
y
o
v
C
x
LO   M O mi vi    ri  mi vi
---(3)
2、质点系相对定坐标系的运动(绝对运动)的对质心
的动量矩
LC   M C mi vi    i  mi vi
---(4)
vi
3、质点系相对质心的运动(相对运动)对质心的动
量矩
LCr   M C mi vir    i  mi vir
---(5)
将(2)式代入(4)得:
LC   M C mi vi    i  mi vC  vir 
LC   mi  i  vC    i  mi vir
C  0
m 
i
i
 m C  0

LC    i  mi vir  LCr
----(6)
将(1)式代入(3)得:


LO   rC   i  mi vi  rC   mi vi    i  mi vi
LO  rC  mvC  LC
----(7)
将(7)式代入(6)得:
LO  rC  mvC  LCr
----(8)
rC  mvC
--质点系质心的动量对固定点的动量矩
L Cr
--质点系相对质心的运动(相对运动)对
质心点的动量矩
则第(8)式可写为如下格式:
 

LO  M O mv C   M C mi v Cr

即:质点系对于固定点的动量矩,等于质点系质心动量
对该点的动量矩,与质点系相对质心的运动对质心动量
矩的矢量和。
e 
d LO
由动量矩定理:
 M O Fi
dt
 
左边:
d L O d L Cr

 v C  mv C  r C  ma C
dt
dt
右边:
M
F    M F  r
e 
O
e
i
C
i
Fi
e
C
 
e
d L Cr
 M C Fi
dt
--质点系相对质心的动量矩定理
即:质点系在相对质心作平动的坐标系的运动中,相对
质心的动量矩对时间的导数,等于质点系上所有外力对
质心之矩的矢量和。
§12-5 刚体的运动微分方程
一、定轴转动刚体的运动微分方程
对转动轴的动量矩为:
动量矩定理:
Lz  J z
dLz d
(e)



J z   M z(Fi )
dt
dt
   且   
(e)
 J z   M z(Fi )
(e)


J z   M z(Fi )





--刚体定轴转动时的运动微分方程
二、平面运动刚体的运动微分方程
刚体相对质心轴的动量矩定理为
dLCr
e
 J C    M C Fi 
dt
----(1)
刚体质心运动的运动微分方程为
maC   F i
e
----(2)
(1)、(2)式共同成为刚体平面运动的运动微
分方程为
例1:单摆将质量为m的小球用长为的线悬挂于水平轴
上,使其在重力作用下绕悬挂轴O在铅直平面内摆动。
0
线自重不计且不可伸长,摆线由偏角 时从静止开始
释放,求单摆的运动规律。
解:将小球视为质点。其速度
为 v  l 且垂直于摆线。摆对轴
的动量矩为
2

mo mv  ml  l  ml 
mo T   o
mo F   mglsin 
O
0
T
l
C
v
mg
注意:在计算动量矩与力矩时,符号规定应一致(在
本题中规定逆时针转向为正)。
根据动量矩定理,有
dx
2
m l    m glsin 
dt
即
g
  sin   0
l
——(1)
g
sin    并令  
l
2
n
则(1)式化为
     0
2
n
解此微分方程,并将运动初始条件带入,即当t=0时
  0

 0  0
  0 cosnt
由此可知,单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为
2
l
T
 2
n
g
例2:双轴传动系统中,传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量
为 J1 与 J 2 ,两齿轮的节圆半径分别为 R1 与 R2 ,齿数分别
为 z 1 与 z2 ,在轴Ⅰ上作用有主动力矩 M 1 ,在轴Ⅱ上作用有
阻力矩 M 2 ,如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。
解:轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为
J1 1  M 1  P R1
传动比为:
R2  1
z2
i


R1  2
z1
联立上述三式得:
M1  M 2 i
1 
J1  J 2 i 2
J 2 2  M 2  P R2
z2
II
M2
I
z1
M1
例3:质量为m半径为R的均质圆轮置放在倾角为  的斜面上,
在重力的作用下由静止开始运动,设轮与斜面间的静、动滑动
摩擦系数分别为 f 、f  ,不计滚动摩阻。试分析轮的运动。
解:取轮为研究对象,根
据平面运动微分方程有
y

mac  mgsin   F
0  m gcos  N
J c   FR
且
R
mg
N  m g cos

N
aC
F
情况一:设接触处绝对光滑。则F=0

ac  g sin 
 0
情况二:设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑,做纯滚动。F为
静滑动摩擦力。

ac  R

2
ac  g sin 
3
1
F  g sin 
3
2

g sin 
3R
例4:均质滑轮A、B的质量为 m1 与 m2 ,半径分别为 R1与R2 ,
物体C的质量为 m3 ;
求:重物的加速度,系统中各绳的张力,轴承O的约束反力。
解:设个物体的数度如
图示,且:
1
v3  v2  R22  R11
2
M
R1 F
Oy
1
m1 g
v2
2
对系统进行受力分析如
图
A
FOx
B
m2 g
R2
C
v3
m3 g
则整个系统对O点的动量矩为:
LO  LOA  LOB  LOC
 J11  J 22  m2 v2 R2   m3v3 R2

1
2
J 1  m1 R1
2
1
2
J 2  m2 R2
2
1
 LO  4m1  3m2  2m3 R2 v3
2
由动量矩定理得:
M
R1 F
Oy
 
1
e 
d LO
 M O Fi
dt
A
FOx
m1 g
2M  m2  m3 gR2 
a3 
4m1  3m2  2m3 R2
v2
2
B
m2 g
R2
C
v3
取分离体C:
m3a3  T3  m3 g
m3 g
T3
v3
C
m3 g
取分离体B:
T2
T1
m2 a2  T1  T2  T3  m2 g
v2
2
J 2 2  T1 R2  T2 R2
B
R2
m2 g
取分离体C :
m1a1x  FOx
m1a1 y  0
J11  M  T2 R1
联合上述各式可求
得各未知量
M
R1 F
Oy
1
FOx
A
T2
m1 g
T1

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