Document

Report
СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА
Теорема.
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла
равноудалена от его сторон.
Обратная
теорема.
Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная
от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Обобщенная
теорема.
Биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек
плоскости, равноудалённых от сторон этого угла.
В
Х
Е
М
А
К
• Дано:АХ – биссектриса ∠ ВАС,
М ∈ АХ, МЕ ⊥ АВ, МК ⊥ АС.
Доказать: МЕ = МК. МЕ ⊥ АВ, МК ⊥ АС
• Дано:МЕ = МК, МЕ ⊥ АВ, МК ⊥ АС.
Доказать:М ∈ АХ, АХ – биссектриса ∠ ВАС.
С
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ
БИССЕКТРИСЫ УГЛА
A
E
Дано: ∠ АВС; ВМ − биссектриса;
ВЕ = 4 см, ВМ = 5 см.
Найти: МК.
4
M
5
B
K
C
А
14
D
Дано:∆ АВС − прямоугольный;
∠ С = 90°; СМ = 5; АВ = 14,
АМ - биссектриса.
Найти:∆ А .
B
C
5
M
СВОЙСТВО СЕРЕДИННОГО
ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ОТРЕЗКУ
Теорема.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от концов этого отрезка.
Обратная
теорема.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка,
лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Обобщенная
теорема.
Серединный перпендикуляр к отрезку – множество
точек плоскости, равноудалённых от его концов.
Р
• Дано: АВ – отрезок, РК – серединный
М
перпендикуляр, М є РК
Доказать: МА = МВ
• Дано: АВ – отрезок, МА = МВ.
Доказать: М ∈ РК, РК – серединный
перпендикуляр к отрезку АВ.
А
К
В
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ
СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА
M
№679 (б)
С
Дано: ΔABC, DM серединный перпендикуляр,
BD=11,4, AD=3,2.
Найти: AC.
B
11,4
D
3,2 А
А
№ 680 (а)
C
Дано: ΔABC, FD  AC, PD  AB;
CF = FA, AP = PB.
Доказать: D - середина BC.
P
F
D
В
№ 679 (б)
Решение:
1) АС = AD + DС;
2) Δ CDB: DM - серединный перпендикуляр 
3) DC = BD = 11,4см
4) АС = AD + DС = 11,4 + 3,2 = 14,6см.
Ответ: АС = 14,6см.
№ 680 (а)
Доказательство:
1) PD  AB, AP = PB  BD =AD по свойству серединного
перпендикуляра
2) FD  AC, CF = FA  CD = DA по свойству серединного
перпендикуляра
3) AD = BD, CD = DA BD = CD, значит В-середина ВС.
ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИССЕКТРИС
ТРЕУГОЛЬНИКА (инцентр)
Теорема
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной
В
точке.
С
К
L
О
А1
С
А
В1
Дано:∆ АВС; АА1 , ВВ1 биссектрисы. АА1 ∩ ВВ1 = О.
Доказать:СС1 - биссектриса,
О ∈ СС1
М
Точка О равноудалена от всех сторон ∆ АВС и является центром
окружности, вписанной в треугольник.
ОК ⊥ АВ, OL ⊥ ВС, ОМ ⊥ АС, ОК = OL= OM – радиусы вписанной
окружности.
Точка пересечения биссектрис всегда лежит
внутри треугольника.
ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЕРЕДИННЫХ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ К СТОРОНАМ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
В
Дано:∆ АВС; k, n – серединные
перпендикуляры к сторонам
k
p
треугольника,
О – точка их пересечения
О
Доказать: р – серединный
перпендикуляр к ВС, О є р
С
А
n
Точка О равноудалена от всех вершин ∆ АВС
и является центром описанной около ∆ АВС
окружности. ОА = ОВ = ОС – радиусы
окружности.
Точка О не всегда расположена внутри треугольника.
Остроугольный
треугольник.
Точка О – внутри
треугольника.
О
О
Прямоугольный
треугольник.
Точка О – середина
гипотенузы.
О
Тупоугольный
треугольник.
Точка О – вне
треугольника.
ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА
(центр тяжести)
Теорема
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая
делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
В
Р
А
Дано:∆ АВС, AM,ВК,СР медианы
Е
К
М
Доказать:АМ ∩ ВК ∩ СР = Е
АЕ:ЕМ = 2:1, ВЕ:ЕК = 2:1,
СЕ:ЕР = 2:1
С
Точка Е всегда располагается внутри
треугольника.
ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ ТРЕУГОЛЬНИКА
(ортоцентр)
Теорема
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в
одной точке.
В
В
М
А
О
Н
Дано:∆АВС, АК, ВН, СМ –
высоты
Доказать: О – точка
пересечения высот или их
К продолжений.
К
Н
А
С
М
С
О
М
С (О)
В
В равностороннем треугольнике все
четыре замечательных точки
совпадают.
В
О
А
О – точка пересечения
биссектрис, серединных
перпендикуляров, медиан
и высот ∆ АВС.
С
ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА
Во всяком треугольнике центр тяжести,
ортоцентр, центр описанной окружности лежат
на одной прямой, причем точка пересечения
медиан (центр тяжести) делит эту прямую в
отношении 1:2.
G – центр тяжести,
H – ортоцентр,
O – центр описанной
окружности
OG:GH = 1:2
ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК (окружность
Эйлера)
Середины сторон
треугольника, основания его
высот и середины отрезков от
вершин до ортоцентра лежат
на окружности.
Ее радиус равен половине радиуса
описанной окружности.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения биссектрис треугольника.
№1
Н
∠MEF = 60°, EO = 8
OK = ?
Решение
О – точка пересечения биссектрис МО и FO.
Значит, она равноудалена от сторон ∆ МEF и
является центром вписанной окружности, ОК –
М
радиус вписанной окружности. ЕО – также
биссектриса, так как в треугольнике биссектрисы
∠FEO = 30°.
пересекаются в одной точке.
Проведем ОН ⊥EF.
ОН = ОК, так как О – центр вписанной окружности,
ОН и ОК – радиусы этой окружности.
Рассмотрим ∆ ЕОН, прямоугольный,
∠EНO = 90°, ∠ОЕН = 30°.
Ответ: ОК = 4.
По свойству катета, лежащего против угла в 30°,
1
ОН = 2 ЕО; ОН = 4.
Значит, и ОК = 4.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения биссектрис треугольника.
№2
M
K
∠MON =?
N
Решение
О – радиус вписанной окружности,
так как О равноудалена от сторон
треугольника. Значит, О – точка
пересечения биссектрис ∆KMN.
∠МКО = 40°, значит∠МКN = 80°.
∠КMN + ∠КNM = 100°.
1
1
∠OMN = 2 ∠КMN, ∠ONМ = 2 ∠КNМ,
значит ∠OMN + ∠ONМ = 50°.
Рассмотрим ∆MON.
∠МON = 180° - (∠OMN + ∠ONМ)
∠МON = 180° - 50° = 130°.
Ответ: 130°.
Решение задач по готовым чертежам
 М (О) – точка
пересечения
биссектрис
треугольника.
№4
№3
∠МСВ1= ?
ВС = 20,
S∆ВОС = ?
С
Ответ: 38°.
А
Ответ: 80.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника.
№1
MK = NK = 20.
P∆MBN= 35.
MN = ?
Решение
АВ – серединный перпендикуляр к NK. Значит, по
свойству серединного перпендикуляра к отрезку BK = BN.
P∆MBN = MN + MB + NB = 35.
MB + NB = MB + BK = 20.
Ответ: 15.
MN = P∆MBN– (MB + NB)
MN = 35 – 20 = 15.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника.
№2
В
AB = 20,∠AOB = 120°.
OC = ?
Решение
О – точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам АС и ВС,
равноудалена от вершин треугольника
и является центром описанной около
него окружности.
По следствию из теоремы синусов в ∆AOB:

20∙2 40
20
=
2;
2R
=
=
;
R
=
,
120°
3
3
3
где R – радиус описанной окружности.
20
Значит, OC =R = 3 .
Ответ:
20
3
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника.
MK = 17
CK - ?
№3
R
RO = 20
OK - ?
№4
Q
Ответ: CK = 7.
Ответ: OK = 10.
В
№5
AO = 16
∠OBC = 60°.
S∆ОBС = ?
С
Ответ: S∆ОBС = 64 3.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения медиан треугольника.
EF = 18, MK = 15.
NO = ?
Решение:
Р
О - точка пересечения медиан ∆MEN.
По свойству медиан EO : OF = 2:1,
значит
М
MO : OK = 2:1, значит MO = 10, OK = 5. EO = 12, OF = 6.
∆MOE – прямоугольный, ∠ EOM = 90°.
По теореме Пифагора
EM = 2 +  2 ;
EM = 122 + 102 = 244 = 2 61.
NP медиана ∆ MEN и ∆ MOE.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из
вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине
Ответ: NO = 2 61.
гипотенузы.
1
Значит, PO = 2ME, PO = 61.
По свойству медиан NO : OP = 2:1.
Значит, NO = 2OP, NO = 2 61.
№1
Решение задач по готовым чертежам
 К – точка пересечения медиан треугольника.
R
№2
RK = 12, MN = 20.
S∆MRN = ?
H
M
Решение
К – точка пересечения медиан треугольника.
Значит, RH – медиана, проведенная к
основанию равнобедренного ∆ MRN
(MR = NR).
Следовательно, RH также является
высотой и медианой.
По свойству медиан RK : KH = 2:1.
Значит, RH = (12:2) ∙ 3 = 18.
RH ⊥ MN.
1
S∆MRN= 2MN ∙ RH.
1
S∆MRN= 2 ∙ 20 ∙ 18 = 180.
Ответ: S∆MRN= 180.
Решение задач по готовым чертежам
 O – точка
пересечения
медиан
треугольника.
№3 B
QM = 9, BT = 12.
S∆BOQ = ?
R
Q
Ответ:S∆BOQ= 24.
№4
АА1 = 12, ВВ1 = 9.
АВ = ?
В
Ответ: АВ = 10.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения высот треугольника.
M
№1
∠ MKN = 66°.
∠ FNO = ?
O
Решение
∠ KMF = 24° из прямоугольного ∆ MKF
O - точка пересечения высот KE и MF.
N Продолжим NO за точку O до
пересечения со стороной MK в точке P.
Отрезок NP – также высота ∆ MKF.
∆ PMO~∆ FNO по двум углам:
∠ MPO = ∠ NFO = 90°
и ∠ POM = ∠ FON как вертикальные.
Значит, ∠ FNO = ∠ PMO = 24°.
Ответ: ∠ FNO = 24°.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения высот треугольника.
№2
С
О - точка пересечения высот.
О1 - точка пересечения медиан.
MC = NC = 26.
MN = 20.
OO1 = ?
Решение:
Три медианы пересекаются в одной точке О1. CD – медиана.
MD = DN = 10.
∆ MDC – прямоугольный, так как CD – медиана, проведенная
к основанию MN равнобедренного ∆ MСN.
DC = MC 2 − MD2 ; DC = 262 − 102 = 24.
По свойству медиан СО1 : О1D = 2:1.
Значит, СО1 = 16; О1D = 8.
Рассмотрим∆ DMО1.
МО1 = DM 2 + DО12 ;
МО1 = 100 + 64 = 164 = 2 41.
NО1 = МО1 = 2 41.
Решение задач по готовым чертежам
 О – точка пересечения высот треугольника.
∆ MNB~ ∆ MСD, так как они
прямоугольные и ∠ M – общий.
№2
С
  20 
100
=
;
=
;  =
.
  26
10
13
∆ NBC – прямоугольный.
100
238
ВС = МС – МВ; ВС = 26 – 13 = 13
238
NB = NC 2 − BC 2 ; NB = 262 − ( 13 )2 =
100∙576
132
=
240
13
∆ NBM~ ∆ NDO, так как они прямоугольные и угол N − общий.
NB
MB
240
100
1000∙13
25
=
;
=
;
DO
=
=
.
ND
DO 13∙10
13∙DO
13∙240
6
OО1= DО1– DО;
25
23
OО1= 8 - 6 = 6 .
Ответ:
23
.
6
Решение задач по готовым чертежам
M
№3
OK = 8, OF = 6, FP = 8.
EO = ?
P
K
Ответ: EO = 4,8.
Подготовка к ГИА 2013 по геометрии
Задания части 1, модуль «Геометрия». Задания на множественный выбор
(№ 14).
При выполнении задания выберите те ответы, которые считаете
правильными, и обведите их номера. Обведенные цифры запишите без знаков
препинания, например: 123.
Треугольники.
1
Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.
2)Медиана проходит через середину стороны треугольника.
3) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее
половине.
4) Точка пересечения медиан произвольного треугольника - центр окружности,
описанной около этого треугольника.
5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения
делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Подготовка к ГИА 2013 по геометрии
Задания части 1, модуль «Геометрия». Задания на множественный выбор.
2 Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника,
равные углы.
2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.
3) Точка пересечения высот произвольного треугольника - центр окружности,
описанной около этого треугольника.
4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади.
5) Высота может лежать и вне треугольника.
3 Укажите, какие из перечисленных утверждений верны.
1) Биссектриса всегда проходит через середину стороны треугольника.
2) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
3) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам.
4) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника - центр окружности,
вписанной в этот треугольник.
5) Точка пересечения биссектрис произвольного
треугольника - центр окружности, описанной
около этого треугольника.
Подготовка к ГИА 2013 по геометрии
Задания части 1, модуль «Геометрия».
Задания на множественный выбор.
4 Укажите, какие из перечисленных утверждений верны.
1) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
2) Биссектрисы произвольного треугольника точкой пересечения делятся в
отношении 2 к 1, считая от вершины.
3) Точка пересечения биссектрис всегда лежит внутри треугольника.
4) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам.
5) Биссектриса всегда делит треугольник на два треугольника равной
площади.
ОТВЕТЫ:
Номер задания
1
2
3
4
Номер верного ответа 235 125 234 134
Подготовка к ГИА 2013 по геометрии
Задания части 1, модуль «Геометрия» (№ 10).
№1(2.3.8.)
В треугольнике АВС проведены биссектрисы AN и BL, которые
пересекаются в точке О. Угол AOB равен 98°. Найдите внешний
угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.
С
L
О
К
N
В
А
Ответ: 164°.
Решение.
В ∆ АОВ ∠АВО + ∠ ВАО = 180° − 98°=
82°.
∠ ВАС = 2 ∠ ВАО; ∠ АВС = 2 ∠АВО ;
∠ ВАС + ∠ АВС = 2(∠АВО + ∠ ВАО ) =
164°.
По свойству внешнего угла треугольника
∠ ВСК = ∠ ВАС + ∠ АВС =164°.
Задания части 1, модуль «Геометрия».
№1(2.3.9.)
В треугольнике АВС проведены высоты AH и BK, которые
пересекаются в точке O. Угол AOB равен 104°.Найдите угол
С. Ответ дайте в градусах.
Решение.
B
∠ ВОН = 180° − 104°= 76°.
В треугольнике ВОН ∠ ВНО = 90°,
∠ ОВН = 90° −76°= 14°.
H
Треугольник ВКС прямоугольный ,
∠ ВКС = 90°;
O
∠ С = 90° − ∠ КВС ;
∠ С = 90° − 14°= 76°.
K
A
Ответ: 76°.
C
Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
№1(4.2.3.)
В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВК.
Найдите площадь треугольника АВС, если АМ = 10, ВК = 6.
В
Решение.
F – точка пересечения медиан АМ и ВК
треугольника АВС .
M
По свойству медиан BF : FK = 2: 1 ; AF: FM = 2: 1.
20
10
Значит, ВF = 4, FK = 2. AF = (10:3) ∙2 = 3 , FM = 3 .
F
А
∆ ABK; ∆ ABK =
K
С
Медиана разбивает ∆ABС на
2 равновеликих треугольника,
то есть ∆ ABK = ∆ KBC .
Значит, ∆ ABС = 2 ∙ ∆ ABK ;
∆ ABС = 2 ∙ 20 = 40.
∆ ABK =
1
2
∙6 ∙
Ответ: 40.
1
∙ BK ∙
2
20
= 20.
3
AF;
Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
№2(4.2.3.7.)
Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к другим
сторонам, равны 18 и 24. Найдите площадь треугольника.
Решение:
B
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Значит, СD – медиана, О ∈DC.
По свойству медианы, BO : OK = 2:1, BO = 16,
L
D
O
OK = 8.
AO : OL = 2:1, AO = 12, OL = 6.
Найдем площадь треугольника АОВ по формуле
Герона.
A
K
C
АО+ОВ+АВ
p=
; p = 24.
2
∆ AOB = 24 ∙ (24 − 20) ∙ (24 − 16) ∙ (24 − 12)
∆ AOB = 24 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 12 = 962 = 96.
В треугольнике АОВ OD –
медиана, делит его на два равновеликих треугольника.
∆ AOD = ∆ DOB = 48.
Три медианы треугольника делят его на 6 равновеликих
треугольников.
∆ ABС = 6 ∙ ∆ AOD = 6 ∙ 48 = 288.
Ответ: 288.
Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
№3(4.2.3.9.)
Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из
вершины В в отношении 5:4, считая от вершины В. В каком отношении,
считая от вершины С эта биссектриса делит медиану, проведенную из
вершины С?
B
Решение:
По условию задачи
AL – биссектриса, ВК и CN – медианы,
D – точка пересечения медиан,
N
L
D F
Е – точка пересечения биссектрисы AL
и медианы BK.
E
BE : ЕК = 5:4
C
K
A
Так как BE : ЕК = 5:4, то ВК = 5х + 4х = 9х.
По свойству медиан точка D делит ВК
в отношении 2:1, считая от вершины В,
то есть ВD : DK = 2:1.
Тогда BD = 6х, DK = 3х.
Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
Продолжение решения
B
В ∆ АВК АЕ – биссектриса. По свойству
биссектрисы ВЕ : КЕ = АВ : АК.
Отсюда АВ : АК = 5:4.
4
АК = 5АВ = 0,8АВ.
К – середина АС, значит АС = 1,6АВ.
Рассмотрим ∆ АNC. В нем АF –
биссектриса, где F – точка пересечения
биссектрисы AL и медианы CN, F ∈AL.
СF : FB = AC : AN.
AC = 1,6AB; AN = 0,5AB.


=
16
.
5
Значит,  =
16
.
5
=
1,6AB
0,5AB

N
D
L
F
E
A
C
K
Ответ:

.

Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
№4(задача № 56)
Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М.
Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если
известно, что АВ = 18 2, СН = 12 2, угол ВАС равен 45°.
В
Решение
По условию, высоты ВН1 и СР треугольника
АВС пересекаются в точке Н, следовательно,
она расположена внутри этого треугольника.
ВL и AN – медианы треугольника АВС,
пересекаются в точке М. Обозначим Н1, K1, М1
– основания перпендикуляров, проведенных из
точек Н, К и М к прямой АС.
∆ АPС – прямоугольный, ∠РАС = 45°, значит
А
∠РСА = 45°.
∆ НН1С – прямоугольный, ∠НСН1 =
45°, катеты равны: СН1 = НН1, НН1=
2
СН ∙ sin 45° = 12 2 ∙ 2 = 12, СН1 = 12.
∆ ВН1А – прямоугольный, равнобедренный,
катеты равны: АН1 = ВН1, ВН1 =
АВ ∙ sin 45°.
Р
K
Н
N
М
L M1 K1 Н1
С
Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
Продолжение решения
ВН1 = 18, АН1 = 18.
∆ ВН1L ~∆ ММ1L по двум углам, и
ВН1
BL
3
=
=
по свойству медиан
ММ1 ML 1
треугольника.
В
Р
K
1
ВН1,
3
Отсюда ММ1 =
ММ1 = 6.
По теореме Фалеса отрезок КК1 - средняя
линия трапеции НН1 М1 N. По свойству
НН +ММ
средней линии КК1 = 1 2 1, КК1 = 9.
Так как АС = АН1 + Н1С, АС = 30.
1
Отсюда S∆AKC = 2 AC ∙ KK1, S∆AKC= 135.
Ответ: 135.
Н
N
М
А
L M1 K1 Н1
С
Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
№5(задача № 52)
В ∆АВС проведены высоты AN и BM и отмечена точка К – середина стороны
АВ. Найдите АВ, если известно, что ∠АСВ =
105°, площадь треугольника МNК равна 16.
Решение
1) ∠С − тупой. Значит, точка О (пересечение
1
высот ВМ и АN) лежит вне ∆АВС. KN = 2АВ, так
как ∆АNB - прямоугольный, К – середина
А
гипотенузы.
NK – медиана, проведенная из вершины прямого
угла.
1
2) МК = 2АВ, так как ∆АМB – прямоугольный.
МK – медиана, проведенная из вершины прямого
угла.
3) Из 1) и 2) следует, что NK = МК.
4) ∠СВМ = 15° из ∆ВСМ , ∠NAC = 15° (из ∆CAN),
∠ВAC + ∠AВC = 75° из ∆АВС .
В
K
С
N
M
О
Задания части 2 . Модуль «Геометрия».
Продолжение решения
Пусть ∠ВAC = х°, ∠AВC = 75 − х °.
5) а) ∆АКN − равнобедренный, ∠КAN = ∠KNA =
(15 + х)°.
∠AKN= 180° − 2 ∙ (15 + х)° = 150 − 2x °.
б) ∆ВМК − равнобедренный, основание ВМ.
∠КВМ = 15° + 75 − х ° = (90 – х)° = ∠ВМК.
А
∠ВКМ = 180° − 2 ∙ (90 − х)° = 2х°.
в) ∠МNК = 180° − (∠AKN + ∠ВКМ) = 180° −
(150° − 2х° + 2х°) = 30°.
1
1
6) S∆MNK =2 NK2∙ sin 30° = 4 ∙ NK2.
1
4
∙ NK2 = 16 (по условию).
NK2 = 64, NK2 = 8.
1
АВ = 8, АВ = 16.
2
Ответ: 16.
В
K
С
N
M
О
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
№1( (Нахождение расстояния от точки пересечения биссектрис до
сторон треугольника).
Найти расстояние до сторон треугольника от точки пересечения его биссектрис,
если периметр треугольника равен 36 см, а площадь равна 18 см2.
Решение
1) О – точка пересечения биссектрис.
Значит, она равноудалена от сторон
треугольника. ОМ = ON = OP.
2) ОМ, ON и ОР – радиусы окружности,
вписанной в треугольник АВС.

18
S = pr, r =  , r = 18 = 1.
Ответ: 1
С
N
М
О
А
P
В
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
№2
(Свойства медиан).
В произвольном треугольнике Р – точка пересечения медиан. Найти площадь
треугольника АВС, если площадь треугольника АРВ равна 47.
С
Решение
1
S∆АВС=2АВ∙ СC1.
У ∆АСВ и ∆АРВ общее основание АВ, значит их
M
N
площадь зависит от их высот.
P
∆КРР1~∆КСС1(прямоугольные, ∠К − общий).
РР 1- высота∆АРВ, СC1– высота ∆АСВ (РР 1∥СC1)
КР
1
k = КС = 3 , так как СР : РК = 2:1 по свойству медиан.
А
C P К
Значит,
1
РР 1
СС1
=
1
,
3
т.е. СC1=3 РР1. ТогдаS∆АРВ =
1
1
АВ
2
∙РР 1.
S∆АВС =2АВ ∙ СC1=2АВ∙ 3 РР1= 3∙S∆АРВ= 3 ∙ 47 = 141.
Ответ: 141
1
1
В
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
№3
(Точка пересечения серединных перпендикуляров).
В равнобедренном ∆АСВ с основанием АВ, равным 12 см и боковой стороной,
равной 10 см, найдите расстояние от точки пересечения серединных
перпендикуляров до его вершин.
С
Решение
СN – серединный перпендикуляр (по
М
свойству медианы равнобедренного
треугольника, проведенной к основанию)
N
1
N – середина АВ и NB = 2АВ. Точка
пересечения серединных перпендикуляров к
А
О
сторонам треугольника равноудалена от всех
его вершин. СО – искомое расстояние.
СО
СМ
∆СОМ~∆СВN. Значит, СВ = СN. Отсюда
СМ∙СВ
СО = СN . Найдем СN из прямоугольного
∆СВМ по теореме Пифагора:
1
СN = СВ2 − NB 2 = СВ2 − (2 АВ)2 =
В
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
Продолжение решения
по теореме Пифагора
1
С
СN = СВ2 − NB 2 = СВ2 − (2 АВ)2 =
= 102 − 62 = 8 см
Так как МО – серединный
перпендикуляр к стороне СВ, то
1
CN = 2 СВ.
Тогда СО =
25
см
4
СМ∙СМ
2СN
=
СМ2 102
=
2СN 2∙8
Ответ: 6,25 см
=
М
N
А
О
В
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
№4 (Расстояние от точки пересечения биссектрис до точки пересечения
серединных перпендикуляров).
В прямоугольном ∆АВС (∠С = 90°) найти расстояние между точкой
пересечения биссектрис и точкой пересечения серединных
перпендикуляров, если расстояние от точки пересечения биссектрис до
сторон треугольника равно 3 см, АС = 24 см, ВС = 7 см.
Решение
1) Пусть О – точка пересечения биссектрис,
О1 – точка пересечения серединных
перпендикуляров. МО = ON – расстояния от
точки О до сторон треугольника. ОО1–
искомое расстояние.
2) ∆АВС - прямоугольный. Тогда точка
О1лежит на середине гипотенузы АВ, т.е. АО1
= О1В.
АВ = АС2 + ВС2 = 49 + 576 = 625 =
= 25 см.
А
О1
О
М
С
К
N
В
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
Продолжение решения
АО1 = О1В = 12,5 см.
3) СМОN – квадрат, так как ОМ = ON и ∠С =
∠М = ∠N = 90°.
СМ = СN = OM = ON = 3 см по условию.
4) Проведем продолжение МО за точку О.
∆OO1K – прямоугольный, ∠К = 90°. OO1 –
гипотенуза.
1
O1K = 2 АС − МС = 12 – 3 = 9 см.
1
2
ОК = СВ − СN = 3,5 – 3 = 0,5 см.
OO1= OK 2 + O1K2 =
=
5 3
см.
2
Ответ:
 
см

0,25 + 81 =
А
О1
О
М
С
325
4
=
К
N
В
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
№4
Расстояние от точки пересечения биссектрис прямоугольного треугольника до
его сторон равно 4 см, а расстояние от точки пересечения серединных
перпендикуляров до вершин треугольника равно 13 см. Найти периметр
треугольника.
С
Решение
N
1) Точка, равноудаленная от всех
сторон ∆АВС – это точка
М
пересечения биссектрис – точка О.
О
K
Рассмотрим ∆АМО и ∆АРО:
АО – общая гипотенуза; МО = РО (как
расстояния от точки пересечения
биссектрис до сторон треугольника).
А
Р
F
В
Значит, ∆АМО = ∆АРО по гипотенузе
и катету.
Из равенства треугольников следует
равенство соответствующих сторон:
МА = АР.
Задачи по теме «Четыре замечательные точки
треугольника» (Интернет-ресурс)
Продолжение решения
2) Аналогично, ∆РОВ = ∆NOB и BN = ВР.
3) Тогда АВ = АР + ВР = АМ + ВN.
4) Рассмотрим четырехугольник CMON.
Так как MO = ON, то CMON – квадрат;
∠М = ∠N = ∠С = 90° и ∠ О = 90°.
Тогда ОМ = ON = МС = NC = 4 см.
5) KF – серединный перпендикуляр к
стороне ВС, так как ∆АВС –
прямоугольный, то точка пересечения
серединных перпендикуляров лежит на А
середине гипотенузы, следовательно, точка
F принадлежит АВ и AF = FB = 13 см (по
условию), значит АВ = 26.
6) Р∆АВС = АВ + АС + ВС = АВ + (АМ + МС)
+ (СN + NB) = АВ + (АМ + NB) +
+ (МС + СN) =
= АВ + АВ + 2МС = 2АВ + 2МС.
Р∆АВС = 2 ∙ 26 + 2 ∙ 4 = 60 (см).
С
N
М
О
Р
K
F
В
Ответ: 60 см
Приложение
Список задач ГИА по геометрии по теме: «Замечательные
точки треугольника»
1 часть. Модуль «Геометрия»
№1
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АN и BL, которые пересекаются
в точке О. Угол АОВ равен 100°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ
дайте в градусах.
№2
В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Найдите
величину угла, образованного этими биссектрисами, если угол А равен 44°,
угол В равен 24°.
№3
В треугольнике АВС угол С равен 88°, АD и BE – биссектрисы,
пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ.
Приложение
Список задач ГИА по геометрии по теме: «Замечательные
точки треугольника»
№4
В треугольнике АВС угол А равен 80°, угол В равен 60°, а их биссектрисы
пересекаются в точке Н. Найдите угол АСН.
№5
Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М, угол АМВ
равен 123°. Найдите угол АСМ.
№6
В треугольнике АВС проведены высоты ВХ и CY, которые пересекаются в
точке О. Угол ВОС равен 119°. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.
№7
В треугольнике АВС высоты, проведены из вершин А и В. Найдите
величину угла между высотами, если угол А равен 52°,
угол В равен 34°.
Приложение
Список задач ГИА по геометрии по теме: «Замечательные
точки треугольника»
2 часть. Модуль «Геометрия»
№1
В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВN. Найдите площадь
треугольника АВС, если АМ равна 2 см, ВN равна 3 см.
№2
Биссектриса угла В треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины С в
отношении 7:2, считая от вершины С. В каком отношении, считая от вершины А, эта
биссектриса делит медиану, проведенную из вершины А?
№3
Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К –
середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС,
если известно, что АВ = 12, СН = 6, угол ВАС равен 45°.
Приложение
Список задач ГИА по геометрии по теме: «Замечательные точки
треугольника»
№4
В треугольнике АВС проведены высоты АN и ВМ и отмечена точка К – середина
стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что угол АСВ равен 105°, а площадь
треугольника MNK равна 16.
№5
Точка М лежит внутри равностороннего треугольника на расстоянии 3 3 от двух его
сторон, и на расстоянии 4 3 от третьей стороны. Найдите длину стороны данного
треугольника.
№6
Площадь треугольника АВС равна 60. Биссектриса АD пересекает медиану ВК в
точке Е, при этом ВЕ : КЕ = 1 : 1. Найти площадь четырехугольника ЕDCK.
№7
В треугольнике АВС проведены высоты AN и BM и отмечена точка К –
середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что
угол АСВ равен 120°, а площадь
треугольника MNK = 3.
Приложение
Список задач ГИА по геометрии по теме: «Замечательные
точки треугольника»
№8
Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К –
середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что
АВ = 6 2, СН = 3 2, ∠ ВАС = 45°.
№9
В равнобедренном треугольнике серединный перпендикуляр к боковой стороне АВ
пересекает другую боковую сторону в точке Е. Найдите основание треугольника
АВС , если периметр треугольника АЕС равен 15, а боковая сторона равна 14.
№10
Найдите площадь равнобедренного треугольника АВС, если основания перпендикуляра,
проведенного из точки О пересечения медиан к боковой стороне треугольника делит ее
на отрезки 3 и 2 см, причем расстояние от точки пересечения медиан до нижнего
основания составляет 1 см.
№11
Найдите периметр прямоугольного треугольника с гипотенузой 10
и расстоянием от точки пересечения биссектрис до сторон
треугольника, равным 4.
Использованные ресурсы
1. Семенов А.В. Государственная итоговая аттестация
выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2013.
Учебное пособие. – М.: Интеллект-центр, 2012.
2. Кузнецова Л.В., Суворова С.В., Бунимович Е.А. Математика:
сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе. –
3. М.: Просвещение, 2012.
4. Семенов А.В., Ященко И.В. ГИА-2012. Математика: типовые
экзаменационные варианты: 30 вариантов. –
5. М.: Национальное образование, 2012.
6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7 – 9: учеб. для
общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2009.
7. Балаян Э.Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для
подготовки к ГИА и ЕГЭ: 7 – 9 классы. – Ростов н/Д.: Феникс,
2012 (Большая перемена).
8. ФГОС. Глазков Ю.А., Камаев П.М. Рабочая тетрадь по
геометрии: 8 класс: к учебнику Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова,
С.Б. Мадомцева и др. «Геометрия. 7 – 9». – М.: Издательство
«Экзамен», 2012.
9. Безрукова Г.К., Мельникова Н.Б. Государственная итоговая
аттестация выпускников 9 классов в новой форме.
Геометрия. 2009. – М.: Интеллект центр, 2009.

similar documents