Podstawy Fizyki Wykład 2 Opis ruchu Czym jest mechanika? Mechanika jest działem fizyki zajmującym się opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na skutek ich wzajemnych oddziaływań.

Report
Slide 1

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 2

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 3

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 4

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 5

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 6

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 7

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 8

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 9

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 10

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 11

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 12

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 13

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 14

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 15

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 16

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 17

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 18

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 19

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 20

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 21

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 22

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 23

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 24

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 25

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 26

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 27

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 28

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 29

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 30

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 31

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 32

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 33

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 34

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 35

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 36

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


Slide 37

Podstawy Fizyki
Wykład 2
Opis ruchu

Czym jest mechanika?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na
skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika
bada też stan równowagi pomiędzy ciałami
materialnymi. Mechanikę dzielimy na:
•kinematykę,
•dynamikę.
2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem)
geometrycznych własności ruchu ciał bez
uwzględnienia ich cech fizycznych oraz
działających na nie sił.
Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał
materialnych pod wpływem działających na nie
sił.

3

Układ odniesienia,
układy współrzędnych
Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ
ciał, względem którego dokonujemy określenia
położenia innych ciał.
Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w ruchu względem tego układu.
Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się
w czasie względem układu odniesienia, mówimy
że ciało to jest w spoczynku względem tego
układu.

4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym
warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.
Zarówno ruch jak i spoczynek są
pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie
odniesienia do opisu tego ruchu w innym
układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw.
transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo
często wiążemy układ współrzędnych.
W zagadnieniach mechaniki bardzo często
stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ
współrzędnych prostokątnych.
Inne układy współrzędnych to m.in.:
•układ sferyczny;
•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:
Układ sferyczny

Układ cylindryczny

7

Opis punktu w kartezjańskim układzie
współrzędnych

y

P
P(xp,yp,zp)
yp

O

zp

xp
x

z

8

W mechanice bardzo często stosuje się
uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał
rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że
położenie punktu możemy opisać najprościej,
tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało
obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe,
że jego położenie można opisać bez znaczącego
błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem
względnym. I tak np. przy opisie ruchu
samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie
możemy traktować go jako punkt materialny.
Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego
ruchu z Rzeszowa do Gdańska.
Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu
translacyjnego (postępowego) ciała można
założyć, że odpowiada mu punkt materialny
będący cząstką o masie równej masie obiektu
umieszczonej w centrum jego masy.
10

Położenie i tor ciała
Obierając konkretny układ współrzędnych
obserwator może opisać jednoznacznie
położenie badanego punktu materialnego
wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor
promienia wodzącego), którego początek
znajduje się w początku układu współrzędnych
a koniec w badanym punkcie.
Promień wodzący można określić
matematycznie w różny sposób.
11

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

x  x, y  y, z  z
x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos 
y

P

yˆ y

zˆ z

O

r

xˆ x
x

z

12

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni
w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest
zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej
chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

Torem – nazywamy krzywą lub prostą
utworzoną przez punkty określające
kolejne położenia ciała w przestrzeni

r(t)
y
O
x

Położenie punku materialnego
Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie
punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też
wektor położenia.

   
r  x yz

Układ kartezjański


iz


ix

z

 
 


x  x ix , y  y i y , z  z iz

P


iy

r
O

z

y





r  x ix  y i y  z iz

x

x

y


r 

x y z
2

2

2

Przemieszczenie

z


r12

Położenie początkowe





r1  x 1 i x  y 1 i y  z 1 i z


r2


r1

Położenie końcowe





r2  x 2 i x  y 2 i y  z 2 i z
Przemieszczenie

y

x





 
r12  r2  r1  ( x 2  x1 ) i x  ( y 2  y1 ) i y  ( z 2  z 1 ) i z

2
2
2
r12  r12  ( x 2  x1 )  ( y 2  y 1 )  ( z 2  z 1 )
Przemieszczenie elementarne





d r  dx i x  dy i y  dz i z


r(t)

Interwał
przestrzenny

Tor
Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas
ruchu

Równanie toru
Wektorowe równanie toru




 
r  r (t )  x (t ) ix  y (t ) i y  z (t ) iz

 x  x (t )

 y  y (t )
 z  z (t )

 ( x, y, z )  0

Parametryczne
równanie toru

Postać jawna
równania toru


r(t)

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

s12
2

s

2

 ds  
1


dr

r1

1


r12

r2

Dla współrzędnych kartezjańskich
2

s


1

dx  dy  dz
2

2

2

dt
dt

2




1

2

2

2

 dx 
 dy 
 dz 

 
 
 dt
 dt 
 dt 
 dt 

Prędkość średnia
Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany
następująco:


v śr 


r
t

r
r1(t)

r2(t+t)

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość (prędkość chwilowa)
v  lim

t 0


v 

r
t

 lim

r t  t   r t 
t

t 0

def



dr  t 
r3

dt
z


dr

dx ( t )  dy ( t ) 
dz ( t ) 

ix 
iy 
iz
dt
dt
dt
dt

P


v

P3

r2

P2

r r3
r2

P1
r1
y





v  v x ix  v y i y  v z iz

vx 

dx ( t )
dt

, vy 

dy ( t )
dt

, vz 

x

dz ( t )
dt

Dodawanie prędkości


u

  
v  v ' u


u


v'

z


v

z’
prędkość
unoszenia


r’


r

y’

  
r  r ' r0
x

v 

dr
dt



y

d  r '  r0 
dt


r0
x’



dr '
dt



d r0
dt

 v ' u

Przyspieszenie średnie
v1

z
P1

P2
tor
r1

v2

v
y

x
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:


a śr 


v
t

Przyspieszenie

a  lim

t 0

v
t

v t  t   v t 

 lim

t 0

t

2

d  dr  d r




2
dt
dt  dt 
dt

def

dv

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor
przyśpieszenia jako sumę jego składowych:




 


a  a x  a y  a z  a x ix  a y i y  a z iz

ax 

dv x
dt

2



d x
dt

2

, itp dla y , z

a

ax  ay  az
2

2

2

Przyspieszenie styczne i normalne

Wiemy, że


a 


dv




d ( v  it )

dt

dt

dv 

at 
it
dt

stąd

Co daje

dv 

at 
it
dt
v 

an 
 in
2



przyspieszenie styczne

więc


d it

 dv 
a
 it  v 
dt
dt


an  v 


d it
dt

it

at


in

przyspieszenie normalne
an

a

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

v  const ,

gdy :

vx  v,


a 0

v y  0,

vz  0
x

t

t

x  x 0   v dt  v  dt  v ( t  t 0 )
t0

x0

t0

x  x 0  v (t  t 0 )
t0

t

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.
gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,
gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

a  const ,
ax  a,

gdy :

a y  0,

az  0

dv x  a  dt
vx

t

 dv  a  dt
x



v x  v 0  a (t  t 0 )
x

t0

v0

t

t

t

x  x 0   [ v 0  a ( t  t 0 )] dt  x 0   v 0 dt  a  ( t  t 0 ) dt
x

x

t0

t0

x  x 0  v ( t  t0 ) 
x
0

1
2

a ( t  t0 )

t0

2

v

a

v0
s
t0

a(t-t0)
t

t

t0

t

t

Rzut ukośny

y
g
v0


ymax

x
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

Składowe przyspieszenia:

v 0 x  v 0 cos  , v 0 y  v 0 sin 
a x  0, a y   g

vz

vz
v

z

v
vx

vz

vx
g

v
vx

g

vx
v

g

g
x

Zależność prędkości od czasu

v x  v 0 cos  ,

v y  v 0 sin   gt

Parametryczne równanie toru

x (t )  x 0  v 0 x  t ,

y (t )  y 0  v 0 y  t 

1
2

gt

2

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:
1.
2.

Zasięg rzutu,
Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2 v 0 cos   tg 
2

x max 

2

2



v0

g

sin 2

g

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym
wynosi:
2

y max 

Czas trwania rzutu:

t 

v0

sin 
2

2g
2v0
g

sin 

Ruch po okręgu
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu
krzywoliniowego gdzie r = const

y

Ruch ciała określony jest przez funkcję
 = (t), definiująca tzw. drogę kątową.
r



s
x
Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s   r

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

ds
dt



d

r

v   r

dt

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a  prędkość kątową.
Jednostką prędkości kątowej jest s-1.
Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy
jednostajnym.
Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;
at

dv
dt



d
dt

r

at    r

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem
stycznym, a  nazywamy przyśpieszeniem
kątowym.

an
r

a

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)


 
v r

a 


dv







d

dt
dt



a  at  an



r  


dr



dt
at

r



d   

v
at 
r  r
dt

 

 
  
  
2
a n    v    (  r )  (  r )  (   ) r    r
Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej f2p w ruchu
jednostajnym po okregu

 

2p
T

gdzie częstość
jest równa:

 1

T



  2p 

Określanie zwrotu
prędkości
i przyspieszenia
kątowego

Porównanie
wielkości liniowych i kątowych

kątowe

liniowe

  const

a  const

   0  t
f  f0   0t 

1

v  v 0  at

t 2

x  x 0  v 0t 

2

x = rf

v = r

at = r

1
2

at

2

klasyfikacja ruchów


similar documents