Apresentação de Progressão Geométrica

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
P.G.
MATEMÁTICA DISCRETA
OBSERVE AS SEQÜÊNCIAS:
2 4 8 16 ....
-2 -6 -18 ...
-72 24 -8 ...
5 5 5 5 ...
Essas seqüências foram construídas de forma
que cada termo, a partir do segundo é igual
ao anterior multiplicado por uma constante.
SEQÜÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS
DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS.
Essa constante , que indicaremos por q, é
denominada razão da progressão geométrica.
Assim na progressão geométrica:
(2,4,8,16,....) temos q = 2 e a P.G. é crescente.
(-2,-6,-18,....) temos q = 3 e a P.G. é decrescente.
1
(-72,24,-8,...) temos q = 
3
e a P.G é alternante.
(5,5,5,5,....) temos q = 1 e a P.G. é constante.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA
Progressão Geométrica
Seja (a1,a2,a3,.....,an) uma P.G. de razão q.
Temos:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q logo, a3 = a1 .q.q
a3 = a1.q2
a4
=
a3 . q logo, a4 = a1.q2.q
a4 = a1.q3
Continuando assim podemos perceber que
qualquer termo de uma P.G. pode ser expresso
da seguinte forma:
an = a1 . qn-1
Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.
Exemplos de aplicação da fórmula:
1) Determine o décimo termo da P.G. (1,3,9,....)
Sabemos que a1 = 1 e q = 3.
Assim, substituindo na fórmula podemos escrever:
a10 = 1 . 310-1
a10 = 1 . 39, portanto a10 = 19683
2) Numa P.G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1.
Determine a razão da P.G. e, em seguida,
obtenha seu 80 termo.
Como a4 = a1 . q3, temos: 64 = 1.q3
Logo, q3 = 64 então q = 4.
Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos
determinar o 80 termo:
a8 = a1 . q7  a8 = 1. 47  a8 = 16 384
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula:


a1 q  1
Sn 
q 1
n
Veja alguns exemplos:
1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de
(3,6,12,...).
Substituindo na fórmula, temos:
3.( 250 1)
S 50 
2 1
 S50 = 3.(250 – 1)
2) Quantos termos da P.G. (2,6,18,...) devem ser
considerados para que a soma resulte em 19682?
Substituindo na fórmula, temos:


2 . 3n 1
19 682
3 1
 3n = 19 683
Logo, n = 9
 3n – 1 = 19682
 3n = 39

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