metodiskais materiāls

Report
3. Pārejas procesi lineārās ķēdēs.
3.1. Komutācijas pamatlikumi.
3.2. Klasiskā metode.
3.3. Operatoru metode
3.4. Pārejas procesu skaitliskie aprēķini:
3.4.1. Stāvokļa mainīgo metode.
3.4.2. Diskrēto rezistīvo shēmu metode.
3.5. Furjē transformācija.
1
3.4.1. Stāvokļa mainīgo metode.
3.4.1.1. Metodes pamatnostādnes.
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
3.4.1.3. RLC virknes slēgums.
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem
elementiem.
2
3.4.1.1. Metodes pamatnostādnes.
Stāvokļa mainīgie – lielumi, kuriem zināmas to vērtības pirms komutācijas:
1. Spoļu strāvas.
2. Kondensatoru spriegumi.
Stāvokļa mainīgo metode:
1. Metodes pamatā ir diferenciālvienādojumu sistēma, kurā stāvokļa mainīgo
pirmie atvasinājumi ir izteikti ar pašiem stāvokļa mainīgajiem –šajā sistēmā
atklātā veidā neparādās citas strāvas vai spriegumi.
2. Stāvokļa mainīgo atvasinājumus pēc laika skaitliski integrē ar iteratīviem Eilera
algoritmiem.
1.
2.
3.
Pirmajā iterācijā izmanto spoļu strāvu un kondensatoru spriegumu vērtības pirms
komutācijas, uz kuru pamata tiek aprēķinātas jaunas šo lielumu vērtības, kuras tiek
izmantotas nākošajā iterācijā.
Rezultātā tiek iegūtas stāvokļa mainīgo vērtības laika intervālā no pārejas procesa sākuma
līdz stacionārā režīma iestāšanās brīdim. Šīs vērtības var sakārtot tabulā vai arī attēlot
grafiski kā stāvokļa mainīgo pārejas procesa līknes.
Pārejas procesa līkņu precizitāte atkarīga no skaitliskās integrēšanas soļa – jo tas ir mazāks,
jo lielāka ir precizitāte , bet jo lielāks kļūst arī izskaitļojumu apjoms. Taču pie ļoti lieliem
izskaitļojumu apjomiem var uzkrāties tāda aprēķinu kļūda, kura noved pie nepareiziem
secinājumiem. Tādēļ optimālais integrēšanas soļa lielums ir nosakāms sekojoši:
1.
2.
3.
Sākotnēji izvēlās samērā lielu integrēšanas soli, piemēram, 10% no laika konstantes lieluma. Tad
aprēķina pārejas procesu, kuru atspoguļo grafiski.
Pakāpeniski samazina integrēšanas soli. Katrā solī aprēķina un zīmē pārejas procesa grafiku. Ar katru
jaunu soļa samazinājumu grafiks izmainās arvien mazāk – var vērot kā tas pamazām tiecās uz kādu
robežlīkni.
Par optimālu integrēšanas soli uzskata tādu, kuru vēl palielinot, pārejas procesa grafiks vizuāli vairs
nemainās.
3
3.4.1. Stāvokļa mainīgo metode.
3.4.1.1. Metodes pamatnostādnes.
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
3.4.1.3. RLC virknes slēgums.
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem
elementiem.
4
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
t0
u(t )
i
Dots :
R
u (t )  U  100V
R  1k  1000
I
uR
C  1000F
uC
C
uC (0)  0
Atrast : uC (t )
5
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
t  0;
t0
i
R
u(t )
I
uR
uC
C
Stāvokļa mainīgo
vienādojums
elektrotehnikā
Stāvokļa mainīgo
vienādojums
matemātikā
u (t ) uC
Ri  uC  u (t )  i 

R
R
du
du
i u (t ) uC
iC C  C  


dt
dt C RC RC
1
1

uC 
u (t )
RC
RC
duC
1
1
 auC  bu (t ); kur a  
; b
dt
RC
RC
dx
 ax  bf
dt
6
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
x(t )
dx(t )
 ax(t )  bf (t )
dt
xn  x(t ) t  t n ; f n  f (t ) t  t n
x
xn 1
xn
x2
x0 x1
t0 t1 t2
t
t
t n t n 1
f (t )  zināma laika funkcija
x(t )  nezināma laika funkcija
Sākuma noteikums
Pirmā iterācija
Otrā iterācija
xn 1  x(t ) t  t n1 ; f n 1  f (t ) t  t n1
x  xn 1  xn ; t  tn 1  tn  h  const
x
 axn  bfn ; Eilera tiešais algoritms
t
x  atxn  btf n  ahxn  bhfn
xn 1  xn  x
x0  x(t ) t  t
0
0
 x(0)  x(0)
x  ahx0  bhf0 ; f 0  f (t0 )  f (0)

 x1  x0  x
x  ahx1  bhf1; f1  f (t1 )

7
 x2  x1  x
t0
i
R
u(t )
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
t  0;
duC
1
1
 auC  bu(t ); kur a  
; b
dt
RC
RC
xn 1  xn  x; x  ahxn  bhfn
I
uR
uC , n 1  uC , n  uC ; uC  ahuC , n  bhun
Pieņem h  t  0,1s
1
1
1
a
  3  3  1; b 
 1; u (t )  100
RC
10 10
RC
Sākuma nosacījums t  t0  0
uC
C
uC , 0  uC (0)  uC (0)  0
uC (t )
uC , n 1
1.iterācija t  t1  0,1s
 uC
uC , n
uC , 2
uC ,1
uC , 0
t0 t1 t2
Eilera tiešais algoritms
uC  ahuC , 0  bhu0  1  0,1  0  1  0,1  100  10V
t
t
uC ,1  uC , 0  uC  0  10  10V
2.iterācija t  t2  0,2 s
uC , 2  ahuC ,1  bhu1 
 1  0,1  10  1  0,1  100  9V
t n t n 1
uC , 2  uC ,1  uC  10  9  19V
8
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
dx(t )
 ax(t )  bf (t )
dt
xn  x(t ) t  t ; f n  f (t ) t  t
x(t )
x
xn 1
n
xn
x2
x0 x1
t0 t1 t2
t
t
t n t n 1
f (t )  zināma laika funkcija
x(t )  nezināma laika funkcija
n
xn 1  x(t ) t  t n1 ; f n 1  f (t ) t  t n1
x  xn 1  xn ; t  tn 1  tn  h  const
x
 axn 1  bfn 1; Eilera netiešais algoritms
t
x  atxn 1  btf n 1  ahxn 1  bhfn 1
xn 1  xn  x  xn  ahxn 1  bhfn 1;
xn 1 (1  ah)  xn  bhfn 1;
1
bh
xn 
f n 1
1  ah
1  ah
x0  x(t ) t  t  0  x(0)  x(0)
xn 1 
Sākuma noteikums
0
Pirmā iterācija
Otrā iterācija
1
bh
x1 
x0 
f1; f1  f (t1 )
1  ah
1  ah
1
bh
x2 
x1 
f 2 ; f 2  f (t2 )
1  ah
1  ah
9
t0
i
R
u(t )
t  0;
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
duC
1
1
 auC  bu(t ); kur a  
; b
dt
RC
RC
1
bh
xn 1 
xn 
f n 1
1  ah
1  ah
1
bh
uC , n 1 
uC , n 
un 1
1  ah
1  ah
Pieņem h  t  0,1s
1
1
1
a
  3  3  1; b 
 1; u (t )  100
RC
10 10
RC
Sākuma nosacījums t  t0  0
I
uR
uC
C
uC , 0  uC (0)  uC (0)  0
uC (t )
uC , n 1
1.iterācija t  t1  0,1s
 uC
uC , n
uC , 2
uC ,1
uC , 0
t0 t1 t2
Eilera netiešais algoritms
1
bh
uC , 0 
u1 
1  ah
1  ah
1
1  0,1

0
100  9,09V
1   10,1 1   10,1
2.iterācija t  t2  0,2 s
uC ,1 
t
t
t n t n 1
1
bh
uC ,1 
u2 
1  ah
1  ah
1
1  0,1

9,09 
100  17,37V
1   10,1
1   10,1
uC , 2 
10
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
uC (V)
uC (t )  Eilera tiešais algoritms
1

t

RC

uC (t )  U 1  e


h  0,1s
19V
Stāvokļa
mainīgo
metode
17,37V
uC (t )  Eilera netiešais algoritms
U  100V
10V
9,09V
R  1000
C  1000F
h  0,1s
h  0,1s
t (s)
0,1s
0,2s
11
uC (t )  Eilera tiešais algoritms
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
uC (V)
1

t

RC

uC (t )  U 1  e


uC (t )  Eilera netiešais algoritms
h  0,5s
Stāvokļa
mainīgo
metode
U  100V
R  1000
C  1000F
t (s)
12
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
uC (V)
h  0,2s
Stāvokļa
mainīgo
metode
t (s)
13
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
uC (V)
h  0,1s
Stāvokļa
mainīgo
metode
t (s)
14
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
uC (V)
h  0,01s
Stāvokļa
mainīgo
metode
t (s)
15
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
Stāvokļa mainīgo metode
uC , n 1  uC , n  uC ;
Tiešais
algoritms
uC  ahuC , n  bhun
1
bh
uC , n 1 
uC , n 
un 1
1  ah
1  ah
1

t

RC

uC (t )  U 1  e


Netiešais
algoritms
Klasiskā
metode
U  100V
R  1000
C  1000F
16
3.4.1. Stāvokļa mainīgo metode.
3.4.1.1. Metodes pamatnostādnes.
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
3.4.1.3. RLC virknes slēgums.
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem
elementiem.
17
3.4.1.3. RLC virknes slēgums.
t0
u L  u R  uC  u (t )
t0
i
R
u(t )
I
L
С
uR
uL
uС
di
uL  L
dt
u R  Ri
 di
 L dt  Ri  uC  u (t )

i  C duC

dt
R 1
1
 di
 dt   L i  L uC  L u

 duC  i
 dt C
18
3.4.1.3. RLC virknes slēgums.
t0
i
R
u(t )
I
L
С
uR
uL
uС
R 1
1
 di
 dt   L i  L uC  L u

 duC  i
 dt C
 dx1 (t )
 dt  a11 x1 (t )  a12 x2 (t )  b1 f1 (t )

 dx2 (t )  a21 x1 (t )  a22 x2 (t )  b2 f 2 (t )
 dt
x1 (t )  i (t ); x2 (t )  uC (t ); f1 (t )  u (t )
R
1
1
a11   ; a12   ; b1 
L
L
L
1
a21  ; a12  0; b1  0
C
19
3.4.1.3. RLC virknes slēgums.
 dx1 (t )
 dt  a11 x1 (t )  a12 x2 (t )  b1 f1 (t )

 dx2 (t )  a21 x1 (t )  a22 x2 (t )  b2 f 2 (t )
 dt
 x1, n 1  x1, n  ha11 x1, n  ha12 x2, n  hb1 f1, n

Eilera tiešais algoritms
x

x

ha
x

ha
x

hb
f
21 1, n
22 2 , n
2 2, n
 2, n 1 2, n
– (n+1) iterācijai katru
vienādojumu risina
 x1, n 1  1  ha11 x1, n  ha12 x2, n  hb1 f1, n
atsevišķi

 x2, n 1  ha21 x1, n  1  ha22 x2, n  hb2 f 2, n
 x1, n 1  x1, n  ha11 x1, n 1  ha12 x2, n 1  hb1 f1, n 1

 x2, n 1  x2, n  ha21 x1, n 1  ha22 x2, n 1  hb2 f 2, n 1
Eilera netiešais
algoritms – (n+1)
 x1, n 1  ha11 x1, n 1  ha12 x2, n 1  x1, n  hb1 f1, n 1
iterācijai risina

kā vienādojumu
 x2, n 1  ha21 x1, n 1  ha22 x2, n 1  x2, n  hb2 f 2, n 1
sistēmu
1  ha11 x1, n 1   ha12 x2, n 1  x1, n  hb1 f1, n 1

 ha21 x1, n 1  1  ha22 x2, n 1  x2, n  hb2 f 2, n 1
20
3.4.1. Stāvokļa mainīgo metode.
3.4.1.1. Metodes pamatnostādnes.
3.4.1.2. RC virknes slēgums.
3.4.1.3. RLC virknes slēgums.
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem
elementiem.
21
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
L
i1 R1
E1
I
t0
a
uС
i4
С
R3
R2
II
i2
b
Šis uzdevums jau ir
risināts ar klasisko
un operatoru
metodēm
Dots :
i3
E2
R1  R2  R3  10
L  0,6 H
C  10 3 F
E1  E2  100V
Atrast :
i4 (t )
i4 (t )  20e50t  30e 66, 67 t ( A22)
t0
E1
i1 R1
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
a
R3
R2
uС
i4
b
Jāatrod : uC (0); i1 (0)
i2
i3
E2
1. Līdzstrāvas režīms pirms
komutācijas: spoli var aizvietot ar
īsslēgumu, bet kondensatoru – ar
pārtraukumu
Šajā rezīmā ir jāaprēķina vienīgi tie
lielumi, kuri pakļaujas komutācijas
likumiem: strāva spolē un
spriegums uz kondensatora
Pielietojam 2 mezglu metodi :
1
1
1
1
E1  E2
100  100
R1
R3
10
10  0
b  0; a 

1 1
1
1 1 1
 
 
R1 R2 R3
10 10 10
uC (t )  uab  b  a  0  0  0; uC (0)  0V
1
1
i1 (t )  b  a  E1   0  0  100  10 A; i1 (0)  10 A
R1
10
23
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
L
i1 R1
E1
I
a
uС
i4
С
b
II
di1 (t )

 uC (t )  E1
t  0  R1i1 (t )  L
dt

 R2i2 (t )  uC (t )  0 (2)
R2

i1 (t )  i2 (t )  i4 (t ) (3)

i2

duC (t )
i
(
t
)

C
(7 )
4

dt
1. (1)-(3) vienādojumi ir Kirhofa
likumi abiem kontūriem un
mezglam “a”.
2. (7) vienādojums saista strāvu un
spriegumu kondensatorā.
uC
 di1 E1 R1
 dt  L  L i1  L

 duC  i4
(7 )
 dt C
i4  i1  i2 (3)

i  uC
( 2)
2

R2
(1)
(1)
24
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
Eilera tiešais algoritms
uC
 di1 E1 R1
 dt  L  L i1  L (1)

Eilera tiešā algoritma
 duC  i4
(7) (n+1)-jā solī funkcijas
vērtību izvēlas (n+1)-ā
 dt C
i4  i1  i2 (3)laika intervāla sākumā
(t=n*h). Pēc šīs

izteiksmes pirmo i4
i  uC
(
2
)
vērtību var atrast laika
 2 R2
momentā t=0, t.i., ja n=0.
 di
R1
1
1
1
   i1  uC  E1
L
L
L
 dt
 duC i4 i1  i2 i1 uC
 
 


C
C R2C
 dt C

1
1
 i1 
uC

C
R2C

R1
1
1
i1, n 1  i1, n
  i1, n  uC , n  E1

h
L
L
L
u
u
 C , n 1 C , n  1 i1, n  1 uC , n

h
C
R2C
R1h
h
h

i1, n 1  i1, n  L i1, n  L uC , n  L E1

h
h
uC , n 1  uC , n  i1, n 
uC , n

C
R2C
h
h

 R1h 
i

1

i

u

E1
 1, n
C ,n
 1, n 1 
L 
L
L



h
h 
u
i1, n  1 
uC , n
C , n 1 

C
 R2C 
du
C
i4  C C  i4, n  uC , n 1  uC25, n 
dt
h
R1
1
1
 di1
 dt   L i1  L uC  L E1
 du
1
1
 C  i1 
uC
 dt C
R2C
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
R1
1
1
i1, n 1  i1, n


i

u

E1
1, n 1
C , n 1

h
L
L
L
u
u
 C , n 1 C , n  1 i1, n 1  1 uC , n 1

h
C
R2C
R1h
h
h

i1, n 1  i1, n  L i1, n 1  L uC , n 1  L E1

h
h
uC , n 1  uC , n  i1, n 1 
uC , n 1

C
R2C
h
h
 R1h 
1  L i1, n 1  L uC , n 1  i1, n  L E1



h 
 h i
1
uC , n 1  uC , n
1, n 1  

 C
 R2C 
Eilera netiešais algoritms
26
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
h
h
 R1h 
Eilera netiešais algoritms
1  L i1, n 1  L uC , n 1  i1, n  L E1



h 
 h i
 1 
u
 uC , n
 C 1, n 1  R2C  C , n 1
h
 R1h 
Eilera netiešā
1



2
L 
L
h  h

 R h 
algoritma (n+1)-jā

 1  1 1 
 

h
h  
solī funkcijas vērtību
L  R2C  LC

1 

izvēlas (n+1)-ā laika
C
 R2C 
intervāla
h 
h

beigās[t=(n+1)*h].
i

E
 1, n
1
Pēc šīs izteiksmes
L 
L
h 
h  h


 i1,n1 
  i1, n  E1 1 
  uC , n pirmo i4 vērtību var

h  
L  R2C  L
uC , n
1 

atrast laika
R
C

2 
momentā t=h, t.i., ja
n=0.
h 
 R1h  
1 
  i1, n  E1 
L  
L   1  R1h u  h  i  h E 
 uC ,n1  

 C ,n
 1, n
1
h
L 
C
L 


uC , n
C
 i1,n1
 uC ,n1
du
C
27
i1, n 1 
; uC , n 1 
;
i4  C C  i4, n 1  uC , n 1  uC , n 


dt
h
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
i4 ( A)
Lai atrastu i4(0), nepieciešams atrisināt shēmas
diferenciālvienādojumu sistēmu laika momentā t=0, taču tas īsti
neiederās skaitlisko metožu būtībā! Bez tam, samazinot soli h,
samazinās arī vajadzība pēc i4(0) vispār (skat. nākamos grafikus!)
i4 (t )  20e50t  30e 66, 67 t ( A)
Prasītā pārejas procesa strāva i4(t) nav stāvokļa mainīgais. Tādēļ
nav zināma tās vērtība i4(0) pirmajā brīdī pēc komutācijas!
Eilera netiešajā algoritmā pirmo i4(t) vērtību var atrast laika
momentā t=h, t.i., ja n=0!
h  0,005s
Stāvokļa
mainīgo
metode
uC (t )  Eilera netiešais algoritms
t (s)
uC (t )  Eilera tiešais algoritms
28
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
i4 ( A)
Samazinot soli h, laiks t=h, kurā tiek aprēķināta pirmā i4(t) vērtība,
arvien vairāk pietuvojās momentam t=0!
h  0,002s
Stāvokļa
mainīgo
metode
t (s)
29
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
i4 ( A)
Samazinot soli h, laiks t=h, kurā tiek aprēķināta pirmā i4(t) vērtība,
arvien vairāk pietuvojās momentam t=0!
h  0,0002s
Šajā grafikā pie soļa h=0,0002s ir
grūti pamanīt, ka iztrūkst i4(t)
vērtība laika momentā t=0. Bez
tam, ir skaidri redzams, ka i4(t)
grafiks laika momentā t=0 tiecās
uz vērtību i4(0)=10A. Tāda tā bija
arī klasiskajā metodē.
Stāvokļa
mainīgo
metode
t (s)
30
3.4.1.4. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
h
h

 R1h 
i

1

i

u

E1
 1, n
C ,n
 1, n 1 
L 
L
L



h
h 
u

i


1

uC , n
C , n 1
1, n


C
 R2C 
Meklējamā
C
i4, n  uC , n 1  uC , n 
funkcija
h
(tiešais
Tiešais
algoritms
Stāvokļa
mainīgo
metode
algoritms)
Netiešais
algoritms
h
h
 R1h 
1

i

u

i

E1

 1, n 1
C , n 1
1, n

L 
L
L
Meklējamā funkcija


(netiešais algoritms)

h 
C
 h i


1

i4, n 1  uC , n 1  uC , n  C 1, n 1  R C uC , n 1  u31C , n

2 

h
3. Pārejas procesi lineārās ķēdēs.
3.1. Komutācijas pamatlikumi.
3.2. Klasiskā metode.
3.3. Operatoru metode
3.4. Pārejas procesu skaitliskie aprēķini:
3.4.1. Stāvokļa mainīgo metode.
3.4.2. Diskrēto rezistīvo shēmu metode.
3.5. Furjē transformācija.
32
3.4.2. Diskrēto rezistīvo shēmu
metode.
3.4.2.1. Metodes pamatnostādnes.
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem
elementiem.
33
3.4.2.1. Metodes pamatnostādnes.
Stāvokļa mainīgie – lielumi, kuriem zināmas to vērtības pirms komutācijas:
1. Spoļu strāvas.
2. Kondensatoru spriegumi.
Diskrēto rezistīvo shēmu metode:
1. Metodes pamatā ir diferenciālvienādojumu sistēma, kura netiek pārveidota
normālformā, bet tiek atstāta negrozītā veidā saskaņā ar shēmas Kirhofa
vienādojumiem.
2. Saskaņā ar Eilera netiešo algoritmu šajos vienādojumos stāvokļa mainīgo pirmie
atvasinājumi tiek aizvietoti ar galīgiem pieaugumiem, bet paši mainīgie – ar to
vērtībām integrēšanas intervāla galapunktā.
3. Skaitliskais aprēķins katrā iterācijā balstīts uz sākotnējās shēmas pārveidi par
rezistīvu shēmu, kurā saglabāti sākotnējie avoti un pieslēgi vēl papildus avoti. Katrs
shēmas reaktīvais elements aizvietots ar rezistora un papildus avota slēgumu, pie
kam papildus avotu vērtības ir proporcionālas stāvokļa mainīgo vērtībām
iepriekšējā iterācijā. Tādējādi katrā iterācijā tiek rēķinātas zaru strāvas saskaņā ar
aprēķinu metodēm stacionārās ķēdēs. Pirmajā iterācijā izmanto spoļu strāvu un
kondensatoru spriegumu vērtības pirms komutācijas. Katrā nākamajā iterācijā
obiligāti jāatrod arī stāvokļu mainīgo jaunās vērtības.
4. Tā kā shēmas forma iterācijās nemainās, bet mainās tikai papildus avotu vērtības,
tad šo rezistīvo aizvietošanas shēmu var sastādīt tieši no sākotnējās shēmas bez
diferenciālvienādojumu sastādīšanas. Arī vienādojumu sistēmas forma
aizvietošanas shēmu strāvu aprēķinam iterācijās nemainās, bet mainās tikai to
papildus avotu vērtības.
5. Iegūtās pārejas procesa līknes pareizību var pārbaudīt, pielietojot citu metodi,
piemēram, Eilera tiešo algoritmu. Sakritības gadījumā palielinās iespēja, ka aprēķins
34
nesatur kļūdas.
3.4.2.1. Metodes pamatnostādnes.
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
Induktivitātes aizvietošanas shēmas
a
L
iL , n 1  iL , n L
diL
iL
L
u L  L ; u L , n 1 L
L
 iL , n 1  iL , n
dt
t
h
h
h
uL
h  const  RL  const
En  RL J n
iL
b
a
L
RL 
h
L
En  iL , n
h
i L , n 1
En
Jn 
RL
u L , n 1
J n  iL , n
i L , n 1
a
RL 
L
u L , n 1
h
b
b
35
Kapacitātes aizvietošanas shēmas
a
C
iC
b
3.4.2.1. Metodes pamatnostādnes.
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
uC , n 1  uC , n C
duC
uC
C
iC  C
; i C , n 1 C
C
 uC , n 1  uC , n
dt
t
h
h
h
h
uC , n 1  i C , n 1uC , n
uC
C
h
h  const  RC   const
C
En  RC J n
i C , n 1
a
En
h
Jn 
a
RC 
R
C
C
u C , n 1
C
h
J n  uC , n
RC 
u C , n 1
En  uC , n
h
C
i C , n 1
b
b
36
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
L
i1 R1
E1
I
t0
a
uС
i4
С
R3
R2
II
i2
b
Šis uzdevums jau ir
risināts ar klasisko
un operatoru
metodēm, kā arī ar
stāvokļa mainīgo
metodi
Dots :
i3
E2
R1  R2  R3  10
L  0,6 H
C  10 3 F
E1  E2  100V
Atrast :
i4 (t )
37
t0
E1
i1 R1
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
a
R3
R2
uС
i4
b
Jāatrod : uC (0); i1 (0)
i2
i3
E2
1. Līdzstrāvas režīms pirms
komutācijas: spoli var aizvietot ar
īsslēgumu, bet kondensatoru – ar
pārtraukumu
Šajā rezīmā ir jāaprēķina vienīgi tie
lielumi, kuri pakļaujas komutācijas
likumiem: strāva spolē un
spriegums uz kondensatora
Pielietojam 2 mezglu metodi :
1
1
1
1
E1  E2
100  100
R1
R3
10
10  0
b  0; a 

1 1
1
1 1 1
 
 
R1 R2 R3
10 10 10
uC (t )  uab  b  a  0  0  0; uC (0)  0V
1
1
i1 (t )  b  a  E1   0  0  100  10 A; i1 (0)  10 A
R1
10
38
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
L
i1 R1
I
E1
a
II
uС
i4
R2
С
i2
b
in 1 R1
E1
L
in
h
L
h
t0
a
u L , n 1
h
C
u С , n 1
uC , n
i4, n 1
b
R2
i2, n 1
39
in 1 R1
L
in
h
L
h
t
a
u L , n 1
E1
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
0
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
h
C
u С , n 1
uC , n
i4, n 1
b
b , n 1  0; i0  10 A; uC , 0  0V
L 

E

in G  uC , nG4
 1
h 
a , n 1  
;
G  G4  G2
G
1
L
R1 
h

R2
i2, n 1
Eilera netiešā
algoritma (n+1)-jā
solī funkcijas vērtību
izvēlas (n+1)-ā laika
intervāla
beigās[t=(n+1)*h].
Pēc šīs izteiksmes
pirmo i4 vērtību var
atrast laika
momentā t=h, t.i., ja
n=0.
i4, n 1  a , n 1  b , n 1  uC , n G4
h
uC , n 1  i4, n 1  uC , n 
C
 a , n 1  b , n 1
h
C
1
; G4  ; G2 
R1h  L
h
R2 in 1   b , n 1  a , n 1  E1  L in G
h 

40
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
i4 ( A)
Lai atrastu i4(0), nepieciešams atrisināt shēmas
diferenciālvienādojumu sistēmu laika momentā t=0, taču tas īsti
neiederās skaitlisko metožu būtībā! Bez tam, samazinot soli h,
samazinās arī vajadzība pēc i4(0) vispār (skat. nākamos grafikus!)
i4 (t )  20e50t  30e 66, 67 t ( A)
Prasītā pārejas procesa strāva i4(t) nav stāvokļa mainīgais.
Tādēļ nav zināma tās vērtība i4(0) pirmajā brīdī pēc
komutācijas!
Eilera netiešajā algoritmā pirmo i4(t) vērtību var atrast laika
momentā t=h, t.i., ja n=0!
h  0,005s
Diskrēto
rezistīvo
shēmu
metode
uC (t )  Eilera netiešais algoritms
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
t (s)
41
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
i4 ( A)
Samazinot soli h, laiks t=h, kurā tiek aprēķināta pirmā i4(t) vērtība,
arvien vairāk pietuvojās momentam t=0!
h  0,002s
Diskrēto
rezistīvo
shēmu
metode
t (s)
42
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
i4 ( A)
Samazinot soli h, laiks t=h, kurā tiek aprēķināta pirmā i4(t) vērtība,
arvien vairāk pietuvojās momentam t=0!
h  0,0002s
Šajā grafikā pie soļa h=0,0002s ir
grūti pamanīt, ka iztrūkst i4(t)
vērtība laika momentā t=0. Bez
tam, ir skaidri redzams, ka i4(t)
grafiks laika momentā t=0 tiecās
uz vērtību i4(0)=10A. Tāda tā bija
arī klasiskajā metodē.
Diskrēto
rezistīvo
shēmu
metode
t (s)
43
3.4.2.2. Sazarota ķēde ar diviem reaktīviem elementiem.
Diskrēto rezistīvo shēmu metode
b , n 1  0; i0  10 A; uC , 0  0V
L 

 E1  in G  uC , nG4
h 
a , n 1  
;
G  G4  G2
G
Meklējamā
funkcija
(netiešais
algoritms)
1
R1 
L
h

h
C
1
; G4  ; G2 
R1h  L
h
R2
i4, n 1   a , n 1  b , n 1  uC , n G4
uC , n 1 
h
i4, n 1  uC , n
C
L 

in 1   b , n 1   a , n 1  E1  in G
h 

Klasiskā metode
i4 (t )  20e50t  30e 66, 67 t ( A
44 )
Ķēžu teorijas 2. mājas darba uzdevuma papildinājums ar diviem papildpunktiem:
P1. Atrast pārejas procesa līkni ar stāvokļa mainīgo metodi, skaitliskajam aprēķinam izmantojot
Eilera tiešo un netiešo algoritmus. Darba kārtība:
1. Shēmai sastāda stāvokļa mainīgo vienādojumu sistēmu normālformā.
2. Ar jebkuru datorprogrammu, kura pieļauj cikliskus aprēķinus, izveidot iteratīva procesa
aprakstu.
3. Integrēšanas soļa lielums h jāizvēlās tāds, pie kura pārejas procesa līknes, kuras veidotas
ar abiem Eilera algoritmiem, satuvinātos gandrīz kopā.
4. Darba protokolā jāparāda izvedums stāvokļa mainīgo vienādojumu sistēmai
normālformā no shēmas pēckomutācijas diferenciālvienādojumiem, kādi tie tika
sastādīti klasiskajā metodē. Jāizsaka arī lielums, kuram rēķina pārejas procesu.
5. Darba protokolam jāsatur iteratīvā procesa programmas izdruka, bet pašai programmai
jābūt pieejamai digitālā formā zibatmiņā.
6. Darba protokolam jāpievieno pārejas procesa līkņu datorizdrukas ar tādu integrēšanas
soli, kurš apmierina 3. punkta nosacījumus. Abas skaitliskā aprēķina līknes jāpapildina ar
precīzu pārejas procesa līkni, veidotu pēc klasiskajā metodē iegūtās izteiksmes. Visas
šajā punktā veidotās trīs līknes uzzīmēt vienā grafikā.
7. Darba protokolam jāpievieno arī pārejas procesa līkņu datorizdrukas ar tādu
integrēšanas soli, kurš ir vairākas reizes lielāks kā iepriekšējā punktā (solim h jābūt
tādam, lai līknes, kuras veidotas ar abiem Eilera algoritmiem, jūtami atšķirtos viena no
otras). Abas skaitliskā aprēķina līknes jāpapildina ar precīzu pārejas procesa līkni,
veidotu pēc klasiskajā metodē iegūtās izteiksmes. Visas šajā punktā veidotās trīs līknes
uzzīmēt vienā grafikā.
P2. Atrast pārejas procesa līkni ar diskrēto rezistīvo shēmu metodi, skaitliskajam aprēķinam
45
izmantojot Eilera netiešo algoritmu (skat. nākamo slaidu!)
Ķēžu teorijas 2. mājas darba uzdevuma papildinājums ar diviem papildpunktiem:
P2. Atrast pārejas procesa līkni ar diskrēto rezistīvo shēmu metodi, skaitliskajam aprēķinam
izmantojot Eilera netiešo algoritmu. Darba kārtība:
1. Sākotnējai shēmai sastāda ekvivalentu diskrēto rezistīvo shēmu. Ekvivalentajai shēmai
sastāda Kirhofa likumu vienādojumus.
2. Ar jebkuru datorprogrammu, kura pieļauj cikliskus aprēķinus, izveidot iteratīva procesa
aprakstu.
3. Integrēšanas soļa lielums h jāizvēlās tāds, pie kura pārejas procesa līkne, kura veidota
saskaņā ar Eilera netiešo algoritmu, satuvinātos kopā ar pārejas procesa precīzo līkni,
kura iegūta ar klasisko metodi.
4. Darba protokolā jāparāda ekvivalentās diskrētās rezistīvās shēmas Kirhofa likumu,
kontūrstrāvu vai mezglu-potenciālu metodes vienādojumi, uz kuriem balstīsies
iteratīvais algoritms. Jāizsaka arī lielums, kuram rēķina pārejas procesu.
5. Darba protokolam jāsatur iteratīvā procesa programmas izdruka, bet pašai programmai
jābūt pieejamai digitālā formā zibatmiņā.
6. Darba protokolam jāpievieno pārejas procesa līknes datorizdrukas ar tādu integrēšanas
soli, kurš apmierina 3. punkta nosacījumus. Skaitliskā aprēķina līkne jāpapildina ar
precīzu pārejas procesa līkni, veidotu pēc klasiskajā metodē iegūtās izteiksmes. Abas
šajā punktā veidotās līknes uzzīmēt vienā grafikā.
7. Darba protokolam jāpievieno arī pārejas procesa līkņu datorizdrukas ar tādu
integrēšanas soli, kurš ir vairākas reizes lielāks kā iepriekšējā punktā (solim h jābūt
tādam, lai līkne, kura aprēķināta ar diskrēto rezistīvo shēmu metodi, jūtami atšķirtos no
iepriekšējā punktā iegūtās). Skaitliskā aprēķina līkne jāpapildina ar precīzu pārejas
procesa līkni, veidotu pēc klasiskajā metodē iegūtās izteiksmes. Abas šajā punktā 46
veidotās līknes uzzīmēt vienā grafikā.

similar documents