### 物理(四)

```3-10 Gauss’ Law in Differential Form
 0   0



E  d A  q enc
E  dA 
q enc
Divergence
0

 E  d A    E d V
S

Total charge
V
  E d V
 E 


0
q enc
0

1
0
  dV
Charge density
4 電位
What is the danger if your hair
suddenly stands up?
Lightning bolt and
ground current
4-1 電位能
• Fe and Fg are
mathematically identical
• Fe is a conservative
force
U  U
f
 U i  W   


Fe  d r
4-2 電位
• Ue depends on q, but Ve does not
V 
U
q
 V  V f  Vi 

U
q
 
W
q
U
q
f

Ui
q
4-3 等位面
• Four Equipotential Surfaces

• E.S. for a uniform field, a point
charge, and an electric dipole
4-4 由電場算電位
• The differential
work done by F




dW  F  d s , dW  q 0 E  d s
f 

W  q0  E  d s
i
Ex. 1 均勻電場
(a) Along path (a)
Ex. 1 均勻電場︰路徑(a)
V f  Vi   
i
f
 
f
E  d s    E (cos 0 ) ds
i
f
f
   E ds   E  ds   Ed
i
i
Ex. 1 均勻電場︰路徑(b)
V f  Vi   
i
 
E
2

c
f
f

f


E  d s    E (cos 45 ) ds
ds  
i
E
2
2 d   Ed
4-5 點電荷的電位
E  d s  E d s cos 1 8 0  E d r 
f
V    E  ds   
i
f

E dr

V  
f
i
E 

1
q
4  0 r 
V  
V 
 
f
E  ds    E dr 
q
4  0
1
q
4  0 r
2
f
1

r

2
dr  
q
4  0
f
1
 r
 

4-6 一組點電荷的電位
• The principle of superposition
n
V 
V
i 1
i

1
4  0
n

i 1
qi
ri
Ex.2 Vc and Ec for 12 electrons
(a)
(b)
on a circle
on an arc
V   12
V   12
1
e
4  0 R
1
e
4  0 R
, E 0
, E 0
4-7 電雙極的電位

2
V 
V
i
 V  V 
i 1

r  r
q
4  0
r r

q
4  0
1
(
q
4  0 r
d cos 
r
2

)
r

( r  r  d cos  , r r  r )
2

q
p 由負電荷指向正電荷
1
4  0
p cos 
r
2
Induced Dipole Moment



6-5 Polarization (偏振)
Polarized
Light
The Plane of Polarization
Linear, Circular and Elliptical
polarization

Polarization of Light

4-8 連續電荷分佈的電位
n
V 
V
i 1
i

1
4  0
n

i 1
qi
ri

 dV

1
4  0

dq
r
Line of Charge
dq   dx ,
dV 
1
4  0
dq
r

 dx
1
4  0 ( x
2
 d )
2
1/ 2
V 




 dV

4  0

4  0

4  0
V 


L
0

 dx
1
4  0 ( x
(x
0
2
 d
2
)
)
1/ 2
1/ 2
ln(
x  (x
 d
2
ln[
L  (L  d
2
4  0
2
dx
L

 d
2
2
2
)
1/ 2
)
 L  ( L2  d
ln 
d


L
0
1/ 2
2
)
]  ln d
1/ 2
]



Charged Disk
E 

2 0
(1 
z
z  R
2
2
)

dq   ( 2  R  )( d R  )
dV 
V 

1
4  0
 dV

2 0
dq
(

z
2
 ( 2  R  )( d R  )
1

r
4  0

R
2 0
 R

0
2
(z
2
 R )
R d R 
(z
 z)
2
2 1/ 2

 R )
2
1/ 2
4-9 由電位算電場
• The work done by the
electric field
dW   q 0 dV  q 0 E (cos  ) ds
E cos   
dV
ds
Ex  
V
x
 Es  
,Ey  
V
y
V
s
, Ez  
V
z
operator 梯度運算子
Ex  
V
 x
,Ey  
V
 y
,Ez  
V
 z
E  E x iˆ  E y ˆj  E z kˆ
V ˆ
V ˆ
V ˆ
= 
i  
j 
k
 x
 y
 z
 (

 x

ˆ
i 
 y
ˆj  
 z
kˆ )V
 V
The Laplacian operator
E   V
E 
  ( V )   V 
2

2
 (

(


 x

 x
2

2



 y
2
 y
2



0
 z
2
2
0
ˆj  
 y
2
 x
2

ˆ
i 




ˆ
k)(
2
 z2
2
 z
2
 x
)V  

0

ˆ
i 
 y
ˆj  
 z
kˆ )
The Laplace Equation
(
(

 x


2
2

 y

2
 x
2

2

2
 z
2
)V  0 For 2 dimensional
problems
2
 y
2
)V  0, If V (x ,y)= X (x )Y (y)
 2 X ( x )Y ( y )
 x

2
2
 X (x)

 2 X ( x )Y ( y )
 y
2
Y ( y)
 x
2
2
 0
e
 Y ( y)
2
 X (x)
 y
2
 0
x
sin y
Solving Laplace Equation by
separation of variables
Y ( y)
 2 X (x)
 x
2
 X (x)
 x
X ( x )Y ( y )
X (x)
1
X (x)
 y
2
Y ( y)
1
 X ( x)
 2Y ( y )
 2 X (x)
 x
2
 2 X (x)
 x
2

2
2
 0
 Y ( y)
2
X (x)

X ( x )Y ( y )
 2Y ( y )
1
 y
Y ( y)
 ,
1
Y ( y)
2
 0
 2Y ( y )
 y
 y
2
2
 
 0
The Solution
 2 X ( x)
1
X (x)
 X (x)
 x
2
  ,
2
1
Y ( y)
 2Y ( y )
 y
2
2
 x
2
 Y ( y)
 
 x
  X ( x)  0  X ( x)
e
  Y ( y)  0  X (x)
sin  y
2
2
 y
2
2
2
A boundary value problem
Ex.3 The charged disk
V 

z  R
V

2 0
Ez  

(
z

2 0
2
 
(1 
2
 z)
d
(
2  0 dz
z
z  R
2
2
)
z  R
2
2
 z)
4-11一組點電荷的電位能
• For charges q1 and q2
V 
1
q1
4  0 r
U W 
Ex.4 Three charges
1
q1 q 2
4  0
r
Ex.5 An alpha particle and a gold
nucleus
K U  K 
1
( 2 e )( 79 e )
4  0
9 . 23 fm
 24 . 6 Mev
4-12 Potential of a charged isolated
conductor
• 導體內部及表面為一等位面
(equipotentail surface)
V f  Vi   
i
f


E  ds  0 ( E  0)
Discharge
Plots of E (r) and V(r)
```