Variace, permutace (VY_32_INOVACE_MA.2.05)

Report
Škola:
Šablona:
Název projektu:
Číslo projektu:
Autor:
Tematická oblast:
Název DUMu:
Kód:
Datum:
Cílová skupina:
Klíčová slova:
Anotace:
Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7
III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT
CZ.1.07/1.5.00/34.0940
Lenka Šálková
Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Variace, permutace
VY_32_INOVACE_MA.2.05
22. 11. 2012
Žáci středních škol
variace, permutace, uspořádané n-tice
Zavedení pojmu permutace, definice, procvičení, zavedení pojmu
variace, definice, procvičení.
Variace, permutace
Variace
1) Volejbalového turnaje se účastní 6 týmů. Kolika
způsoby mohou tyto týmy obsadit medailová místa
v konečném umístění?
2) Na maturitním plese se 10 hlavních cen v tombole
losuje z 250 lístků. Kolika způsoby může toto losování
dopadnout?
3) Na zkoušení jsou připraveny dvě otázky (otázky
nejsou stejné) a studenti jsou losováni náhodně. Kolika
způsoby může losování dopadnout, pokud je ve třídě
31 studentů?
Variace
Nechť je dána neprázdná konečná množina, která má
n prvků. Každá uspořádaná k -tice, sestavená z těchto
prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou, se
nazývá k-členná variace (variace k-té třídy) z n prvků.
Počet V (k, n) všech k-členných variací z n prvků je:
záleží na pořadí prvků v k-tici,
prvky se neopakují
Variace
1) Rozepiš a vypočti.
V3(4)
V1(40)
V3(3)
2) K sestavení vlajky, která má být složena ze tří
různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici
látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté.
a) Urči počet všech vlajek, které lze z látek těchto barev
sestavit.
b) Kolik vlajek má modrý pruh uprostřed?
c) Kolik vlajek má modrý pruh?
d) Kolik vlajek nemá uprostřed modrý pruh?
e) Kolik vlajek nemá žlutý pruh?
Variace
3) Z kolika různých prvků je možné vytvořit 132
variací druhé třídy?
4) Kolik různých trojciferných přirozených čísel
dělitelných deseti lze sestavit z číslic
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jestliže se žádná číslice
neopakuje.
5) Mistrovství světa v hokeji se účastní 16 mužstev.
Kolik různých umístění může být na prvních třech
místech?
Permutace
Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto
prvků tj. k = n
Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená
z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě
jednou.
Počet permutací z n prvků odvodíme ze vzorce pro počet n-členných variací z n
prvků:
záleží na pořadí prvků v k-tici,
k + 1) se neopakují
V(k, n) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n −prvky
Pro k = n:
V(n, n) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − n + 1) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 1
Permutace
Počet P(n) všech k - členných permutací z n prvků je:
P(n) = n!
Rozepište a vypočtěte:
a) P(5)
b) P(1)
c) P(3)
d) 4! e) 50!
Pozor! Hodnota faktoriálu je definována i pro nulu.
Platí: 0!=1.
Permutace
1) Kolika způsoby lze zamíchat balíček 32 karet?
2) Vytvořte všechny uspořádané trojice z prvků
množiny M = {A, B,C} tak, aby se žádný prvek
neopakoval.
3) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel,
která lze sestavit z číslic 1,2,3,4 tak, aby se žádná číslice
neopakovala.
Permutace
Počet P(n) všech k - členných permutací z n prvků je:
P(n) = n!
1) Kolika způsoby lze zamíchat balíček 32 karet?
2) Vytvořte všechny uspořádané trojice z prvků množiny
M = {A, B,C} tak, aby se žádný prvek neopakoval.
3) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel,
která lze sestavit z číslic 1,2,3,4 tak, aby se žádná číslice
neopakovala.
Permutace
4) Určete, kolika způsoby se v šestimístné lavici může
posadit šest hochů, jestliže
a) dva chtějí sedět vedle sebe
b) dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji
5) Určete, kolika způsoby mohou 4 chlapců a 5 dívek
nastoupit do zástupu tak, aby
a) nejdříve stály všechny dívky a pak všichni chlapci
b) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka ani mezi
žádnými dvěma dívkami nebyl žádný chlapec
c) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka
Permutace
6) Určete, kolika způsoby může 10 táborníků při nástupu na
ranní rozcvičku nastoupit
a) do řady
b) do řady, v níž je táborník Aleš na kraji
c) do řady, v níž táborníci Aleš a Zdeněk nestojí vedle sebe
[1]
Permutace
7) Zvětší -li se počet prvků o dva, zvětší se počet
permutací bez opakování z těchto prvků 20 krát. Určete
původní počet prvků.
8) Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova
KOMBINACE tak, aby v tomto přemístění nějaká skupina
po sobě jdoucích písmen tvořila slovo EMA.
9) Určete, kolika způsoby můžeme navléknout na nit
deset různě barevných korálků. Konec nitě poté svážeme.
Zdroje obrázků:
[1] ] Dostupný pod licencí Microsoft Office 2010 (viz.
http://www.microsoft.com/enus/legal/intellectualproperty/Permissions/default.aspx
na www:
http://office.microsoft.com/cscz/images/results.aspx?qu=skaut&ex=1#ai:MC900294020|
Archiv autora
Zápisy vzorců jsou mým vlastním dílem
Užitečné webové stránky:
Kombinatorika
http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/
http://www.realisticky.cz/
http://www.mg-akademie.cz/stranky_profesori/horsky/stat/st_3_PVC.pdf
Pravděpodobnost
http://www.realisticky.cz/
http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/pravdepodobnost/
Statistika
http://www.realisticky.cz/
http://www.gymkl.cz/web/cs-s1006--1_10-statistika
http://matikabrdickova.sweb.cz/soubory_PDF/7/8_Zaklady_statistiky.pdf
http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/statistika/
Literatura:
CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika,
pravděpodobnost a statistika. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a
fyziků, 1993, 163 s. ISBN 80-701-5444-6.
FUCHS, Eduard a Josef KUBÁT. Standardy a testové úlohy z matematiky
pro čtyřletá gymnázia. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1998, 147 s. ISBN 80-7196095-0.
KUBÁT, Eduard, Josef HRUBÝ. .: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy
– Maturitní minimum. Praha: Prometeus, 147 s. ISBN 80-719-6030-6.
JIRÁSEK, František, BRANIŠ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro
studijní obory SOU. 3., upr. vyd., dotisk. Praha: Prometheus, 1989, 479 s.
Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6012-8.
PETÁKOVÁ, Jindra, BRANIŠ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím
zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1989, 303 s.
Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

similar documents