Introduction

Report
Méthodes Numériques appliquées à la
physique
Bibilographie:
- Samir Al-Amer, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Saudi Arabia
- François Mauger, Université de Caen, France
- Michael T. Heath (http://www.cse.illinois.edu/heath/scicomp/notes/chap01.pdf)
- Mark H. Holmes, Introduction to Numerical Methods in Differential Equations, © 2007, Springer
Science+Business Media, LLC
- http://www.obs.u-bordeaux1.fr/radio/JMHure/Docs/MNcoursV3.pdf
- http://www.math.univ-paris13.fr/~japhet/Poly/chap1.pdf
- Calcul Scientifique, Cours, exercices corrigés et illustrations en MATLAB et Octave, Alfio Quarteroni,
Paola Gervasio and Fausto Saleri
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Introduction
Méthode numérique, algorithme
Une méthode numérique est l’algorithme, c’est-à-dire la suite finie et non-ambiguë
d’instructions pour obtenir une solution numérique à un problème mathématique.
On utilise une méthode numérique lorsque il n’existe pas de solution analytique ou
celle-ci existe mais est difficile à obtenir.
Une méthode numérique doit être:
Pratique: la solution doit être calculée en un temps raisonnable.
Précise:
• La solution doit être une bonne approximation de la solution vraie.
• Des informations concernant l’erreur commise doivent pouvoir être évaluées.
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Introduction
Erreur de troncature (et), de « schéma »
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Introduction
Erreur d’arrondi (ea), de « représentation »
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Introduction
Perte d’information
L’erreur d’arrondi ea génère une perte d’information
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Introduction
Du problème physique à la solution numérique
Problème Physique
erreur de
modèle
Solution numérique
Modèle
Mathématique
erreur de calcul = et + ea
erreur
d’arrondi
erreur de
troncature
Problème Numérique
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Introduction
Erreur absolue, relative, ordre de convergence
lorsque h  0
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Introduction
ordre de convergence d’une méthode
ec
Rq: En fait, l’erreur est inconnue, sinon on
pourrait en déduire la solution exacte:
Par contre on peut estimer comment l’erreur
varie en fonction de h.
h
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Introduction
Taylor
On appelle dérivée de y = f(x) la quantité égale à :
Formule de Taylor :
Théorème de Taylor
Soient n un entier naturel, f(x) une fonction dérivable n+1 fois dans un voisinage de x=x0
et h un réel, alors il existe  un réel compris entre x0 et x0+h tel que:
Rn est un infiniment petit en h
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Introduction
Taylor: interprétation géométrique
Approximation au 1ier
ordre:
f(x + x) = f(x) + x.f’(x)
f(x+x)
R1
f(x) + x.f’(x) + R1
f(x) + x.f’(x)
f(x)
f(x)
x
0
x
x+x
Introduction
Infiniment petit
lim f ( x)

f(x) est un infiniment petit d’ordre n si il existe un réel non nul  tel que
n
x0 x
n
Autrement dit, f(x) = .x quand x devient petit.
L’ordre n caractérise la vitesse avec laquelle la fonction f(x) tend vers zéro lorsque x devient
petit.
On écrit f(x) = O(xn).
Exemples:
x3 x5
f ( x)  sin(x)  x    ...  O ( x1 )
3! 5!
x2 x4
f ( x)  1  cos(x)  1  (1    ...)  O ( x 2 )
2! 4!
f ( x)  sin(x).(1  cos(x))  O ( x 3 )
f ( x)  sin(x)  (1  cos(x))  O ( x1 )
f(x)=exp(x) n’est pas un infiniment petit puisque exp(x)
1 quand x
0
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Introduction
Approximations des dérivées  equ. diff., equ. non lin., ...
  [x0 , x0 + h]
Erreur
Approximation de f’(x0)
En combinant le théorème de Taylor avec +x et -x , on peut obtenir une
approximation de f’(x0) pour laquelle on trouve que l’erreur varie en (x)2 :
2(x)
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Introduction
Différences finies
Différences excentrées
Taylor à l’ordre 1, différence finie à 2 pts
DFavant
DFarrière
fi+1
fi
Effets de bord: f ’(x6) ne peut pas être
calculée avec la DFavant car x7 n’est
pas défini
h
On pourra écrire:
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Introduction
Différences centrées
Différences finies
Différence finie à 3 pts
On ne peut pas calculer f ’(x6), ni f ’(x1)
avec la DFC
On pourra écrire:
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Introduction
Différences finies
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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Introduction
Exercice: DF
Erreur générée en utilisant les DF
Calculer la dérivée exacte de f(x)= (1+x)^0.5 en x=zéro .
En utilisant un pas x = 0.1, calculer à la main les erreurs commises sur la dérivée en x=0,
pour les DF avant (1), arrière (2) et centrée (3).
Ecrire des DF
a) Retrouver la DFcen (3): f’(n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) à partir des DFava (1) et DFarr (2)
b) Retrouver la DFcen (6): f’’(n) = [f(n+1)-2f(n)+f(n-1)] / h2 en utilisant le théorème de
Taylor jusqu’au deuxième ordre.
c) Retrouver les DFava (4) et (5) en utilisant le théorème de Taylor jusqu’au premier
ordre.
Erreur d’une DFC en fonction du pas
Montrer que l’erreur de la Dfcen (3) est E(h)=(h2). Pour cela, développer au 2ième ordre
f(x+h) et f(x-h) avec les restes. En déduire l’expression de la DFcen est :
f(1)(n) = [f(n+1)-f(n-1)] / (2h) et l’expression de l’erreur E(h) commise sur f(1)(x).
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Introduction
Questions de cours
1/ Quelles sont les 2 principales erreurs générées lors de l’utilisation d’une méthode
numérique. Expliquez l’origine de chacune d’elle.
2/ Quand dit-on d’une méthode numérique qu’elle est convergente d’ordre p ?
3/ Donner l’expression de la série de Taylor avec reste pour une fonction f(x).
4/ Qu’est qu’un infiniment petit d’ordre n ?
5/ Donner une approximation par différences finies à 3 points de la dérivée d’une
fonction f(x).

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